Raportul ariilor unor astfel de triunghiuri este egal cu pătratul coeficientului. Raportul ariilor triunghiurilor similare

29.09.2019

Studiu

Segmente proporționale

Pentru a introduce conceptul de similaritate, trebuie mai întâi să ne amintim conceptul de segmente proporționale. Să ne amintim și definiția raportului dintre două segmente.

Definiția 1

Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor.

Conceptul de proporționalitate a segmentelor este valabil și pentru un număr mai mare de segmente. Fie, de exemplu, $ AB = 2 $, $ CD = 4 $, $ A_1B_1 = 1 $, $ C_1D_1 = 2 $, $ A_2B_2 = 4 $, $ C_2D_2 = 8 $, apoi

Adică segmentele $ AB $, $ A_1B_1 $, $ \ A_2B_2 $ sunt proporționale cu segmentele $ CD $, $ C_1D_1 $, $ C_2D_2 $.

Triunghiuri similare

Să ne amintim mai întâi care este conceptul de asemănare în general.

Definiție 3

Formele sunt numite similare dacă au aceeași formă, dar dimensiuni diferite.

Să ne ocupăm acum de conceptul unor astfel de triunghiuri. Luați în considerare figura 1.

Figura 1. Două triunghiuri

Fie ca aceste triunghiuri să aibă $ \ angle A = \ unghiul A_1, \ \ unghiul B = \ unghiul B_1, \ \ unghiul C = \ unghiul C_1 $. Să introducem următoarea definiție:

Definiția 4

Se spune că laturile a două triunghiuri sunt similare dacă se află opuse unghiurilor egale ale acestor triunghiuri.

În Figura 1, laturile $ AB $ și $ A_1B_1 $, $ BC $ și $ B_1C_1 $, $ AC $ și $ A_1C_1 $ sunt similare. Să introducem acum definiția unor astfel de triunghiuri.

Definiția 5

Două triunghiuri sunt numite similare dacă unghiurile tuturor unghiurilor unui triunghi sunt, respectiv, egale cu unghiurile celuilalt și ale triunghiului și toate laturile similare ale acestor triunghiuri sunt proporționale, adică

\ [\ unghiul A = \ unghiul A_1, \ \ unghiul B = \ unghiul B_1, \ \ unghiul C = \ unghiul C_1, \] \ [\ frac (AB) (A_1B_1) = \ frac (BC) ((B_1C) _1) = \ frac (AC) (A_1C_1) \]

Figura 1 prezintă triunghiuri similare.

Denumire: $ ABC \ sim A_1B_1C_1 $

Pentru conceptul de similaritate, există și conceptul de coeficient de similaritate.

Definiție 6

Numărul $ k $, egal cu raportul laturilor similare ale figurilor similare se numește coeficientul de similaritate al acestor cifre.

Zonele triunghiurilor similare

Să luăm acum în considerare o teoremă privind raportul ariilor unor astfel de triunghiuri.

Teorema 1

Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similaritate, adică

\ [\ frac (S_ (ABC)) (S_ (A_1B_1C_1)) = k ^ 2 \]

Dovadă.

Luați în considerare două triunghiuri similare și indicați ariile lor, respectiv, $ S $ și $ S_1 $ (Fig. 2).

Figura 2.

Pentru a demonstra această teoremă, reamintim următoarea teoremă:

Teorema 2

Dacă unghiul unui triunghi este egal cu unghiul celui de-al doilea triunghi, atunci ariile lor sunt legate ca produsele laturilor adiacente acestui unghi.

Deoarece triunghiurile $ ABC $ și $ A_1B_1C_1 $ sunt similare, atunci, prin definiție, $ \ angle A = \ angle A_1 $. Apoi, prin Teorema 2, obținem acest lucru

Deoarece $ \ frac (AB) (A_1B_1) = \ frac (AC) (A_1C_1) = k $, obținem

Teorema este dovedită.

Sarcini legate de conceptul de asemănare a unui triunghi

Exemplul 1

Dat fiind triunghiuri similare $ ABC $ și $ A_1B_1C_1. $ Laturile primului triunghi sunt $ AB = 2, \ BC = 5, \ AC = 6 $. Coeficientul de similaritate al acestor triunghiuri este $ k = 2 $. Găsiți laturile celui de-al doilea triunghi.

Soluţie.

Această problemă are două soluții posibile.

Fie $ k = \ frac (A_1B_1) (AB) = \ frac ((B_1C) _1) (BC) = \ frac (A_1C_1) (AC) $.

Apoi $ A_1B_1 = kAB, \ (B_1C) _1 = kBC, \ A_1C_1 = kAC $.

Prin urmare, $ A_1B_1 = 4, \ (B_1C) _1 = 10, \ A_1C_1 = 12 $

Fie $ k = \ frac (AB) (A_1B_1) = \ frac (BC) ((B_1C) _1) = \ frac (AC) (A_1C_1) $

Apoi $ A_1B_1 = \ frac (AB) (k), \ (B_1C) _1 = \ frac (BC) (k), \ A_1C_1 = \ frac (AC) (k) $.

Prin urmare, $ A_1B_1 = 1, \ (B_1C) _1 = 2,5, \ \ A_1C_1 = 3 $.

Exemplul 2

Dat fiind triunghiuri similare $ ABC $ și $ A_1B_1C_1. $ Latura primului triunghi $ AB = 2 $, latura corespunzătoare a celui de-al doilea triunghi $ A_1B_1 = 6 $. Înălțimea primului triunghi este $ CH = 4 $. Găsiți aria celui de-al doilea triunghi.

Soluţie.

Deoarece triunghiurile $ ABC $ și $ A_1B_1C_1 $ sunt similare, atunci $ k = \ frac (AB) (A_1B_1) = \ frac (1) (3) $.

Să găsim aria primului triunghi.

Prin Teorema 1, avem:

\ [\ frac (S_ (ABC)) (S_ (A_1B_1C_1)) = k ^ 2 \] \ [\ frac (4) (S_ (A_1B_1C_1)) = \ frac (1) (9) \] \

Lecția 34. Teorema despre raportul ariilor triunghiurilor similare. TEOREMĂ. Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similaritate. unde k este coeficientul de similaritate. Raportul perimetrelor a două triunghiuri similare este egal cu coeficientul de similaritate. V. A. S. R. M. K. Rezolvarea problemelor: nr. 545, 549. Teme pentru acasă: p. 56-58, nr. 544, 548.

Diapozitivul 6 din prezentare "Geometrie" Triunghiuri similare ""... Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 232 KB.

Geometrie gradul 8

rezumate ale altor prezentări

"Determinarea simetriei axiale" - Simetria în natură. Cheie. Axe de simetrie. Desenați un punct. Plotând un punct. Construcția unui triunghi. Crearea segmentelor. Popoare. Simetria în poezie. Forme care nu sunt simetrice axial. Forme cu două axe de simetrie. Dreptunghi. Simetrie. Drept. Puncte de complot. Simetrie axială. Segment de linie. Axa de simetrie. Desenați două linii drepte. Puncte situate pe aceeași perpendiculară. Proporționalitate.

„Găsirea ariei unui paralelogram” - Găsiți aria unui paralelogram. Zona paralelogramă. Înălţime. Găsiți suprafața pătratului. Zona pătrată. Înălțimile paralelogramelor. Găsiți aria triunghiului. Semne de egalitate a triunghiurilor unghiulare. Găsiți aria dreptunghiului. Determinarea înălțimii paralelogramului. Baza. Aria unui triunghi. Găsiți perimetrul pătratului. Proprietățile zonelor. Exerciții orale.

„Sarcini pentru găsirea zonei” - Lecția -explicarea noului material, realizată sub forma unei prezentări „Power point”. Obiectivul principal. "Zona unui paralelogram". „Zona trapezului”. VERIFICAREA MATERIALULUI ASISTAT. A rezolva o problemă. Caietul de lucru nr. 42, repetați toate formulele studiate. Derivați formulele pentru ariile unui dreptunghi, paralelogram, trapez, triunghi. Extindeți și aprofundați înțelegerea măsurării suprafeței. Formați conceptul de zonă în rândul elevilor.

„Geometrie triunghiuri similare” - Se spune că două triunghiuri sunt ca. Proporționalitatea laturilor colțului. Valorile sinusului, cosinusului și tangentei. Primul semn al asemănării triunghiurilor. Segmente proporționale de linie într-un triunghi unghiular. Proprietatea bisectoarei unui triunghi. Dictarea matematică. Găsiți aria unui triunghi dreptunghic isoscel. Segmente proporționale de linie. Valorile sinusurilor, cosinusului și tangentei pentru unghiurile 30 °, 45 °, 60 °.

„Dreptunghiuri” - uman. Părți opuse. Partea dreptunghiului. Povestea dreptunghiului. Laturile dreptunghiului. Dreptunghi în viață. Perimetrul dreptunghiului. Dreptunghi. Diagonale. Picturi. Diagonală. Definiție. Zona dreptunghiului.

"" Aria unui dreptunghi "gradul 8" - Aria unui pătrat umbrit. Laturile fiecărui dreptunghi. ABCD și DCMK sunt pătrate. Un paralelogram este construit pe partea AB. Unități de suprafață. Găsiți suprafața pătratului. Zona dreptunghiului. ABCD este un paralelogram. Proprietățile zonelor. Aflați aria patrulaterului. Zonele de pătrate desenate pe laturile unui dreptunghi. Podeaua camerei, în formă de dreptunghi. Aria unui pătrat este egală cu pătratul laturii sale.

Scopul lecției: dați o definiție a triunghiurilor similare, demonstrați o teoremă asupra raportului triunghiurilor similare.

Obiectivele lecției:

Educational: elevii ar trebui să cunoască definiția unor astfel de triunghiuri, teorema relației triunghiurilor similare, să fie capabili să le aplice în rezolvarea problemelor și să implementeze conexiuni interdisciplinare cu algebra și fizica.
Educational: pentru a educa sârguință, atenție, sârguință, pentru a încuraja o cultură a comportamentului în rândul elevilor.
În curs de dezvoltare: dezvoltarea atenției elevilor, dezvoltarea abilității de a raționa, gândi logic, trage concluzii, dezvolta vorbirea și gândirea matematică competentă a elevilor, dezvolta abilități de introspecție și independență.
Economisirea sănătății: respectarea standardelor sanitare și igienice, schimbarea activităților în clasă.

Echipament: computer, proiector, material didactic: lucrări independente și de control în algebră și geometrie pentru clasa a 8-a A.P. Ershova etc.

Tipul lecției:învățarea de materiale noi.

În timpul orelor

I. Momentul organizatoric(salut, verificarea disponibilității pentru lecție).

II. Mesajul subiectului lecției.

Profesor:În viața de zi cu zi, există obiecte de aceeași formă, dar de dimensiuni diferite.

Exemplu: mingi de fotbal și tenis.

În geometrie, figurile de aceeași formă sunt numite similare: oricare două cercuri, oricare două pătrate.

Să introducem conceptul de triunghiuri similare.

Definiție: Două triunghiuri sunt numite similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt.

Număr k, egal cu raportul laturilor similare ale triunghiurilor similare se numește coeficientul de similaritate. ΔABC ~ A 1 B 1 C 1

1. verbal: Sunt triunghiuri similare? De ce? (desen pregătit pe ecran).

a) Triunghiul ABC și triunghiul A 1 B 1 C 1 dacă AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A 1 = 46˚, ∠B 1 = 50 ˚ , A 1 B 1 = 10,5, B 1 C 1 = 7,5, A 1 C 1 = 6.

b) Într-un triunghi isoscel, unghiul de la vârf este de 24˚, iar în celălalt triunghi isoscel, unghiul de la bază este de 78˚.

Baieti! Să ne amintim teorema privind raportul ariilor triunghiurilor cu unghiuri egale.

Teorema: Dacă unghiul unui triunghi este egal cu unghiul celuilalt triunghi, atunci ariile acestor triunghiuri sunt legate ca produsele laturilor care cuprind unghiuri egale.

2. Lucrare scrisă conform desenelor pregătite.

Desen pe ecran:

a) Dat: BN: NC = 1: 2,

BM = 7 cm, AM = 3 cm,

S MBN = 7 cm 2.

Găsiți: S ABC

(Răspuns: 30 cm 2.)

b) Dat: AE = 2 cm,

S AEK = 8 cm 2.

Găsiți: S ABC

(Răspuns: 56 cm 2.)

3. Să dovedim o teoremă asupra raportului ariilor triunghiurilor similare ( elevul dovedește teorema pe tablă, ajută întreaga clasă).

Teorema: Raportul a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similaritate.

4. Actualizarea cunoștințelor.

Rezolvarea problemelor:

1. Zonele a două triunghiuri similare sunt 75 cm 2 și 300 cm 2. Una dintre laturile celui de-al doilea triunghi are 9cm. Găsiți latura primului triunghi care este similar cu acesta. ( Răspuns: 4,5 cm.)

2. Laturile similare ale triunghiurilor similare sunt 6cm și 4cm, iar suma ariilor lor este de 78 cm2. Găsiți suprafețele acestor triunghiuri. ( Răspuns: 54 cm 2 și 24 cm 2.)

Dacă este timp muncă independentă natura educativă.

Opțiunea 1

Triunghiuri similare au laturi similare de 7 cm și 35 cm.

Aria primului triunghi este de 27 cm 2.

Găsiți aria celui de-al doilea triunghi. ( Răspuns: 675 cm 2.)

Opțiunea 2

Suprafețele unor astfel de triunghiuri sunt de 17 cm 2 și 68 cm 2. Partea primului triunghi este de 8cm. Găsiți latura similară a celui de-al doilea triunghi. ( Răspuns: 4 cm.)

5. Teme pentru acasă: manual de geometrie 7-9 L.S. Atanasyan și alții, p. 57, 58, nr. 545, 547.

6. Rezumând lecția.

Segmente proporționale

Pentru a introduce conceptul de similaritate, trebuie mai întâi să ne amintim conceptul de segmente proporționale. Să ne amintim și definiția raportului dintre două segmente.

Definiția 1

Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor.

Adică segmentele $ AB $, $ A_1B_1 $, $ \ A_2B_2 $ sunt proporționale cu segmentele $ CD $, $ C_1D_1 $, $ C_2D_2 $.

Triunghiuri similare

Să ne amintim mai întâi care este conceptul de asemănare în general.

Definiție 3

Formele sunt numite similare dacă au aceeași formă, dar dimensiuni diferite.

Să ne ocupăm acum de conceptul unor astfel de triunghiuri. Luați în considerare figura 1.

Figura 1. Două triunghiuri

Fie ca aceste triunghiuri să aibă $ \ angle A = \ unghiul A_1, \ \ unghiul B = \ unghiul B_1, \ \ unghiul C = \ unghiul C_1 $. Să introducem următoarea definiție:

Definiția 4

Se spune că laturile a două triunghiuri sunt similare dacă se află opuse unghiurilor egale ale acestor triunghiuri.

În Figura 1, laturile $ AB $ și $ A_1B_1 $, $ BC $ și $ B_1C_1 $, $ AC $ și $ A_1C_1 $ sunt similare. Să introducem acum definiția unor astfel de triunghiuri.

Definiția 5

\ [\ unghiul A = \ unghiul A_1, \ \ unghiul B = \ unghiul B_1, \ \ unghiul C = \ unghiul C_1, \] \ [\ frac (AB) (A_1B_1) = \ frac (BC) ((B_1C) _1) = \ frac (AC) (A_1C_1) \]

Figura 1 prezintă triunghiuri similare.

Denumire: $ ABC \ sim A_1B_1C_1 $

Pentru conceptul de similaritate, există și conceptul de coeficient de similaritate.

Definiție 6

Numărul $ k $, egal cu raportul laturilor similare ale figurilor similare se numește coeficientul de similaritate al acestor cifre.

Zonele triunghiurilor similare

Să luăm acum în considerare o teoremă privind raportul ariilor unor astfel de triunghiuri.

Teorema 1

Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similaritate, adică

\ [\ frac (S_ (ABC)) (S_ (A_1B_1C_1)) = k ^ 2 \]

Dovadă.

Luați în considerare două triunghiuri similare și indicați ariile lor, respectiv, $ S $ și $ S_1 $ (Fig. 2).

Figura 2.

Pentru a demonstra această teoremă, reamintim următoarea teoremă:

Teorema 2

Dacă unghiul unui triunghi este egal cu unghiul celui de-al doilea triunghi, atunci ariile lor sunt legate ca produsele laturilor adiacente acestui unghi.

Deoarece triunghiurile $ ABC $ și $ A_1B_1C_1 $ sunt similare, atunci, prin definiție, $ \ angle A = \ angle A_1 $. Apoi, prin Teorema 2, obținem acest lucru

Deoarece $ \ frac (AB) (A_1B_1) = \ frac (AC) (A_1C_1) = k $, obținem

Teorema este dovedită.

Sarcini legate de conceptul de asemănare a unui triunghi

Exemplul 1

Soluţie.

Această problemă are două soluții posibile.

Fie $ k = \ frac (A_1B_1) (AB) = \ frac ((B_1C) _1) (BC) = \ frac (A_1C_1) (AC) $.

Apoi $ A_1B_1 = kAB, \ (B_1C) _1 = kBC, \ A_1C_1 = kAC $.

Prin urmare, $ A_1B_1 = 4, \ (B_1C) _1 = 10, \ A_1C_1 = 12 $

Fie $ k = \ frac (AB) (A_1B_1) = \ frac (BC) ((B_1C) _1) = \ frac (AC) (A_1C_1) $

Apoi $ A_1B_1 = \ frac (AB) (k), \ (B_1C) _1 = \ frac (BC) (k), \ A_1C_1 = \ frac (AC) (k) $.

Prin urmare, $ A_1B_1 = 1, \ (B_1C) _1 = 2,5, \ \ A_1C_1 = 3 $.

Exemplul 2

Soluţie.

Deoarece triunghiurile $ ABC $ și $ A_1B_1C_1 $ sunt similare, atunci $ k = \ frac (AB) (A_1B_1) = \ frac (1) (3) $.

Să găsim aria primului triunghi.

Prin Teorema 1, avem:

\ [\ frac (S_ (ABC)) (S_ (A_1B_1C_1)) = k ^ 2 \] \ [\ frac (4) (S_ (A_1B_1C_1)) = \ frac (1) (9) \] \

CAPITOLUL VIII.

PROPORȚIONALITATEA PICORILOR. CA FIGURI.

§ 92. RELAȚIA ZONELOR CU FIGURI SIMILARE.

1. Raportul suprafețelor pătratelor.

Luați în considerare raportul dintre suprafețele a două pătrate. Dacă latura unui pătrat este notată cu T, iar partea celeilalte - prin NS, atunci zonele vor fi, respectiv, egale
T 2 și NS 2 (Fig. 379).

Notând aria primului pătrat cu S și aria celui de-al doilea cu S ", obținem: S / S" = m 2 / n 2, adică zonele pătratelor sunt denumite pătratele laturilor lor.

Formula rezultată poate fi transformată astfel: S / S "= ( m / n) 2 .

Prin urmare, putem spune că raportul ariilor a două pătrate este egal cu pătratul raportului laturilor lor.

În desenul 379, raportul dintre laturile pătratelor este 3, raportul suprafețelor lor este
3 2 = 9.

2. Raportul ariilor a două triunghiuri similare.

Lasa /\ AVS /\ A "B" C "(Fig. 380). Din asemănarea triunghiurilor rezultă că
/ A = / A ", / B = / Grup / C = / C ". De asemenea, AB / A" B "= BC / B" C "= AC / A" C ".

În aceste triunghiuri de la vârfurile В și В "desenăm înălțimile și le notăm cu hși h". Aria primului triunghi va fi egală cu AC h/ 2 și aria celui de-al doilea triunghi A "C" h " / 2 .

Notând aria primului triunghi prin S și aria celui de-al doilea - prin S "obținem: S / S" = AC h/ A „C” h " sau S / S "= AC / A" C " h / h "

Din similitudinea triunghiurilor ABO și A "B" O "(sunt similare, deoarece sunt dreptunghiulare și, în plus, au un unghi egal egal, și anume / A = / A ") urmează:
h / h "= AB / A „B”. Dar AB / A "B" = AC / A "C". Prin urmare, h / h "= AC / A „C”. Înlocuirea în formula S / S "= AC / A" C " h / h " atitudine h / h " egal cu raportul AC / A "C", obținem:
S / S "= AC / A" C "AC / A" C ", sau.

Asa de, ariile triunghiurilor similare sunt denumite pătrate de laturi similare .

Formula rezultată poate fi transformată după cum urmează: S / S "= (AC / A" C ") 2.

Prin urmare, putem spune că raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul raportului laturilor lor similare.

3. Raportul ariilor poligonelor similare.

Fie ABCDE și A "B" C "D" E "poligoane similare (Fig. 381).

Se știe că /\ AVS /\ A "B" C "; /\ ACD /\ Un „C” D ”și /\ ADE /\ Un „D” E ”(§90).
În afară de,

;

Deoarece al doilea raport al acestor proporții este egal, ceea ce rezultă din similitudinea poligoanelor, atunci

Folosind proprietatea unui număr de relații egale, obținem:

unde S și S "sunt zonele acestor poligoane similare.

Prin urmare, zonele poligoanelor similare sunt denumite pătrate cu laturi similare.

Formula rezultată poate fi convertită în această formă: S / S "= (AB / A" B ") 2

Exerciții.

1. Partea primului pătrat este de 2 ori mai mare decât latura celui de-al doilea pătrat (de 5 ori). De câte ori este mai mare suprafața primului pătrat decât suprafața celui de-al doilea pătrat?

2. Partea primului pătrat este 1/3 (0,1) din latura celui de-al doilea pătrat. Cât din suprafața primului pătrat este suprafața celui de-al doilea pătrat?

3. Coeficientul de similitudine în astfel de poligoane este 4 (1/5; 0,4; 2,5). Care este raportul dintre suprafețele lor?

4. Raportul suprafețelor poligoanelor similare este de 36 (100; 0,09). Care este raportul dintre laturile similare ale acestor poligoane?