Care este suma unghiurilor adiacente? N. Nikitin Geometrie

Ce este un unghi adiacent

Colţ- Asta figură geometrică(Fig. 1), formată din două raze OA și OB (laturile unghiului), emanând dintr-un punct O (vârful unghiului).

COLTURI ADJACENTE- două unghiuri a căror sumă este 180°. Fiecare dintre aceste unghiuri se completează pe celălalt la unghiul complet.

Unghiuri adiacente- (Agles adjacets) cele care au un vârf comun și o latură comună. În cea mai mare parte, acest nume se referă la unghiuri din care celelalte două laturi se află în direcții opuse ale unei linii drepte trasate.

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.

orez. 2

În figura 2, unghiurile a1b și a2b sunt adiacente. Ei au latura comuna b, iar laturile a1, a2 sunt semilinii suplimentare.

orez. 3

Figura 3 arată linia dreaptă AB, punctul C este situat între punctele A și B. Punctul D este un punct care nu se află pe dreapta AB. Se pare că unghiurile BCD și ACD sunt adiacente. Au o latură comună CD, iar laturile CA și CB sunt semilinii suplimentare ale dreptei AB, deoarece punctele A, B sunt separate de punctul de plecare C.

Teorema unghiului adiacent

Teorema: suma unghiurilor adiacente este de 180°

Dovada:
Unghiurile a1b și a2b sunt adiacente (vezi Fig. 2) Raza b trece între laturile a1 și a2 ale unghiului desfășurat. Prin urmare, suma unghiurilor a1b și a2b este egală cu unghiul dezvoltat, adică 180°. Teorema a fost demonstrată.

Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept. Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că un unghi adiacent unui unghi drept este, de asemenea, un unghi drept. Un unghi mai mic de 90° se numește acut, iar un unghi mai mare de 90° se numește obtuz. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, atunci unghiul adiacent unui unghi ascuțit este un unghi obtuz. Un unghi adiacent unui unghi obtuz este un unghi ascuțit.

Unghiuri adiacente- două unghiuri cu un vârf comun, a căror latură este comună, iar laturile rămase se află pe aceeași linie dreaptă (nu coincide). Suma unghiurilor adiacente este de 180°.

Definiția 1. Un unghi este o parte a unui plan delimitată de două raze cu o origine comună.

Definiție 1.1. Un unghi este o figură formată dintr-un punct - vârful unghiului - și două semi-linii diferite care emană din acest punct - laturile unghiului.
De exemplu, unghiul BOC din Fig.1 Să considerăm mai întâi două drepte care se intersectează. Când liniile drepte se intersectează, ele formează unghiuri. Există cazuri speciale:

Definiția 2. Dacă laturile unui unghi sunt semilinii suplimentare ale unei drepte, atunci unghiul se numește dezvoltat.

Definiția 3. Un unghi drept este un unghi care măsoară 90 de grade.

Definiția 4. Un unghi mai mic de 90 de grade se numește unghi ascuțit.

Definiția 5. Un unghi mai mare de 90 de grade și mai mic de 180 de grade se numește unghi obtuz.
linii de intersectare.

Definiția 6. Două unghiuri, dintre care o latură este comună, iar celelalte laturi se află pe aceeași linie dreaptă, sunt numite adiacente.

Definiția 7. Unghiurile ale căror laturi se continuă între ele se numesc unghiuri verticale.
În figura 1:
adiacente: 1 și 2; 2 și 3; 3 și 4; 4 și 1
verticală: 1 și 3; 2 și 4
Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este de 180 de grade.
Pentru demonstrație, luați în considerare în fig. 4 unghiuri adiacente AOB și BOS. Suma lor este unghiul dezvoltat AOC. Prin urmare, suma acestor unghiuri adiacente este de 180 de grade.

orez. 4

Legătura dintre matematică și muzică

„Gândindu-mă la artă și știință, la legăturile și contradicțiile lor reciproce, am ajuns la concluzia că matematica și muzica se află la polii extremi ai spiritului uman, că toată activitatea spirituală creatoare a omului este limitată și determinată de acești doi antipozi și că totul se află între ei ceea ce umanitatea a creat în domeniile științei și artei”.
G. Neuhaus
S-ar părea că arta este o zonă foarte abstractă din matematică. Cu toate acestea, legătura dintre matematică și muzică este determinată atât istoric, cât și intern, în ciuda faptului că matematica este cea mai abstractă dintre științe, iar muzica este cea mai abstractă formă de artă.
Consonanța determină sunetul plăcut al unei coarde
Acest sistem muzical se baza pe două legi care poartă numele a doi mari oameni de știință - Pitagora și Archytas. Acestea sunt legile:
1. Două șiruri de sunet determină consonanța dacă lungimile lor sunt legate ca numere întregi formând numărul triunghiular 10=1+2+3+4, adică. cum ar fi 1:2, 2:3, 3:4. Mai mult, cu cât numărul n este mai mic în raportul n:(n+1) (n=1,2,3), cu atât intervalul rezultat este mai consonant.
2. Frecvența de vibrație w a coardei de sunet este invers proporțională cu lungimea sa l.
w = a:l,
unde a este un coeficient de caracterizare proprietăți fizice corzi.

Vă voi oferi și o parodie amuzantă despre o ceartă între doi matematicieni =)

Geometria din jurul nostru

Geometria în viața noastră are o importanță nu mică. Datorita faptului ca atunci cand te uiti in jur, nu va fi greu sa observi ca suntem inconjurati de diverse forme geometrice. Îi întâlnim peste tot: pe stradă, în clasă, acasă, în parc, în Sală de gimnastică, în cantina școlii, practic oriunde ne aflăm tu și cu mine. Dar subiectul lecției de astăzi este cărbunii adiacente. Deci, să ne uităm în jur și să încercăm să găsim unghiuri în acest mediu. Dacă te uiți cu atenție pe fereastră, poți vedea că unele ramuri de copaci formează colțuri adiacente, iar în pereții despărțitori de pe poartă poți vedea multe unghiuri verticale. Dați propriile exemple de unghiuri adiacente pe care le observați în mediul dumneavoastră.

Sarcina 1.

1. Există o carte pe masă pe un suport de cărți. Ce unghi formeaza?
2. Dar elevul lucrează la un laptop. Ce unghi vezi aici?
3. Ce unghi formează rama foto pe suport?
4. Crezi că este posibil ca două unghiuri adiacente să fie egale?

Sarcina 2.

În fața ta este o figură geometrică. Ce fel de figură este aceasta, numiți-o? Numiți acum toate unghiurile adiacente pe care le puteți vedea pe această figură geometrică.

Sarcina 3.

Iată o imagine a unui desen și pictură. Privește-le cu atenție și spune-mi ce tipuri de pești vezi în imagine și ce unghiuri vezi în imagine.

Rezolvarea problemelor

1) Având în vedere două unghiuri legate între ele ca 1: 2 și adiacente lor - ca 7: 5. Trebuie să găsiți aceste unghiuri.
2) Se știe că unul dintre unghiurile adiacente este de 4 ori mai mare decât celălalt. Cu ce ​​sunt egale unghiurile adiacente?
3) Este necesar să se găsească unghiuri adiacente, cu condiția ca unul dintre ele să fie cu 10 grade mai mare decât al doilea.

Dictare matematică pentru a revizui materialul învățat anterior

1) Desenați un desen: liniile drepte a I b se intersectează în punctul A. Marcați cel mai mic unghiuri formate numărul 1, iar unghiurile rămase - numerele succesive 2,3,4; razele complementare ale dreptei a trec prin a1 și a2, iar linia b trece prin b1 și b2.
2) Folosind desenul completat, introduceți valorile ceruteși explicații pentru lacunele din text:
a) unghiul 1 și unghiul .... adiacent pentru ca...
b) unghiul 1 și unghiul... verticală pentru că...
c) dacă unghiul 1 = 60°, atunci unghiul 2 = ..., deoarece...
d) dacă unghiul 1 = 60°, atunci unghiul 3 = ..., deoarece...

Rezolva probleme:

1. Suma a 3 unghiuri formate prin intersecția a 2 drepte poate fi egală cu 100°? 370°?
2. În figură, găsiți toate perechile de unghiuri adiacente. Și acum unghiurile verticale. Numiți aceste unghiuri.

3. Trebuie să găsiți un unghi când este de trei ori mai mare decât cel alăturat.
4. Două linii drepte s-au intersectat. Ca urmare a acestei intersecții s-au format patru colțuri. Determinați valoarea oricăruia dintre ele, cu condiția ca:

a) suma a 2 unghiuri din patru este de 84°;
b) diferența dintre 2 unghiuri este de 45°;
c) un unghi este de 4 ori mai mic decât al doilea;
d) suma a trei dintre aceste unghiuri este de 290°.

Rezumatul lecției

1. numiți unghiurile care se formează când se intersectează 2 drepte?
2. Numiți toate perechile posibile de unghiuri din figură și determinați tipul lor.

Teme pentru acasă:

1. Aflați raportul dintre măsurile de grade ale unghiurilor adiacente când unul dintre ele este cu 54° mai mare decât al doilea.
2. Aflați unghiurile care se formează atunci când 2 drepte se intersectează, cu condiția ca unul dintre unghiuri să fie egal cu suma a altor 2 unghiuri adiacente acestuia.
3. Este necesar să se găsească unghiuri adiacente atunci când bisectoarea unuia dintre ele formează un unghi cu latura celui de-al doilea care este cu 60° mai mare decât al doilea unghi.
4. Diferența dintre 2 unghiuri adiacente este egală cu o treime din suma acestor două unghiuri. Determinați valorile a 2 unghiuri adiacente.
5. Diferența și suma a 2 unghiuri adiacente sunt în raport de 1:5. Găsiți unghiuri adiacente.
6. Diferența dintre două adiacente este de 25% din suma lor. Cum se raportează valorile a 2 unghiuri adiacente? Determinați valorile a 2 unghiuri adiacente.

Întrebări:

1. Ce este un unghi?
2. Ce tipuri de unghiuri există?
3. Care este proprietatea unghiurilor adiacente?

Subiecte > Matematică > Matematică clasa a VII-a

În procesul de studiere a unui curs de geometrie, conceptele de „unghi”, „unghiuri verticale”, „unghiuri adiacente” sunt întâlnite destul de des. Înțelegerea fiecăruia dintre termeni vă va ajuta să înțelegeți problema și să o rezolvați corect. Ce sunt unghiurile adiacente și cum să le determinăm?

Unghiuri adiacente - definirea conceptului

Termenul „unghiuri adiacente” caracterizează două unghiuri formate dintr-o rază comună și două semilinii suplimentare situate pe aceeași linie dreaptă. Toate cele trei raze ies din același punct. O semilinie comună este simultan o latură a unuia și a celuilalt unghi.

Unghiuri adiacente - proprietăți de bază

1. Pe baza formulării unghiurilor adiacente, este ușor de observat că suma acestor unghiuri formează întotdeauna un unghi invers, a cărui măsură este de 180°:

• Dacă μ și η sunt unghiuri adiacente, atunci μ + η = 180°.
• Cunoscând mărimea unuia dintre unghiurile adiacente (de exemplu, μ), puteți calcula cu ușurință măsura gradului celui de-al doilea unghi (η) folosind expresia η = 180° – μ.

2. Această proprietate a unghiurilor ne permite să tragem următoarea concluzie: un unghi care este adiacent unghi drept, va fi, de asemenea, direct.

3. Considerând funcțiile trigonometrice (sin, cos, tg, ctg), pe baza formulelor de reducere pentru unghiurile adiacente μ și η, este adevărat:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Unghiuri adiacente - exemple

Exemplul 1

Dat un triunghi cu vârfurile M, P, Q – ΔMPQ. Găsiți unghiurile adiacente unghiurilor ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Să extindem fiecare parte a triunghiului cu o linie dreaptă.
• Știind că unghiurile adiacente se completează până la un unghi inversat, aflăm că:

adiacent unghiului ∠QMP este ∠LMP,

adiacent unghiului ∠MPQ este ∠SPQ,

adiacent unghiului ∠PQM este ∠HQP.

Exemplul 2

Valoarea unui unghi adiacent este de 35°. Care este măsura gradului celui de-al doilea unghi adiacent?

• Două unghiuri adiacente se adaugă până la 180°.
• Dacă ∠μ = 35°, atunci adiacent acestuia ∠η = 180° – 35° = 145°.

Exemplul 3

Determinați valorile unghiurilor adiacente dacă se știe că gradul de măsură a unuia dintre ele este de trei ori mai mare decât gradul de măsurare a celuilalt unghi.

• Să notăm mărimea unui unghi (mai mic) cu – ∠μ = λ.
• Apoi, conform condițiilor problemei, valoarea celui de-al doilea unghi va fi egală cu ∠η = 3λ.
• Pe baza proprietății de bază a unghiurilor adiacente, urmează μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Aceasta înseamnă că primul unghi este ∠μ = λ = 45°, iar al doilea unghi este ∠η = 3λ = 135°.

Abilitatea de a folosi terminologia, precum și cunoașterea proprietăților de bază ale unghiurilor adiacente, vă vor ajuta să rezolvați multe probleme geometrice.

Întrebarea 1. Ce unghiuri se numesc adiacente?
Răspuns. Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.
În figura 31, unghiurile (a 1 b) și (a 2 b) sunt adiacente. Ele au latura b în comun, iar laturile a 1 și a 2 sunt semilinii suplimentare.

Întrebarea 2. Demonstrați că suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Răspuns. Teorema 2.1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Dovada. Fie ca unghiul (a 1 b) și unghiul (a 2 b) să fie date unghiuri adiacente (vezi Fig. 31). Raza b trece între laturile a 1 și a 2 ale unui unghi drept. Prin urmare, suma unghiurilor (a 1 b) și (a 2 b) este egală cu unghiul desfășurat, adică 180°. Q.E.D.

Întrebarea 3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.
Răspuns.

Din teoremă 2.1 Rezultă că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale.
Să presupunem că unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale. Trebuie să demonstrăm că unghiurile (a 2 b) și (c 2 d) sunt de asemenea egale.
Suma unghiurilor adiacente este de 180°. De aici rezultă că a 1 b + a 2 b = 180° și c 1 d + c 2 d = 180°. Prin urmare, a 2 b = 180° - a 1 b și c 2 d = 180° - c 1 d. Deoarece unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale, obținem că a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Din proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Întrebarea 4. Ce unghi se numește drept (acut, obtuz)?
Răspuns. Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept.
Un unghi mai mic de 90° se numește unghi ascuțit.
Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește obtuz.

Întrebarea 5. Demonstrați că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.
Răspuns. Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Întrebarea 6. Ce unghiuri se numesc verticale?
Răspuns. Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt.

Întrebarea 7. Demonstrați că unghiurile verticale sunt egale.
Răspuns. Teorema 2.2. Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada. Fie (a 1 b 1) și (a 2 b 2) unghiurile verticale date (Fig. 34). Unghiul (a 1 b 2) este adiacent unghiului (a 1 b 1) și unghiului (a 2 b 2). De aici, folosind teorema privind suma unghiurilor adiacente, concluzionăm că fiecare dintre unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) completează unghiul (a 1 b 2) la 180°, adică. unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) sunt egale. Q.E.D.

Întrebarea 8. Demonstrați că dacă, atunci când două drepte se intersectează, unul dintre unghiuri este drept, atunci și celelalte trei unghiuri sunt drepte.
Răspuns. Să presupunem că liniile AB și CD se intersectează în punctul O. Să presupunem că unghiul AOD este de 90°. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, obținem că AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Unghiul COB este vertical față de unghiul AOD, deci sunt egali. Adică unghiul COB = 90°. Unghiul COA este vertical la unghiul BOD, deci sunt egali. Adică unghiul BOD = 90°. Astfel, toate unghiurile sunt egale cu 90°, adică toate sunt unghiuri drepte. Q.E.D.

Întrebarea 9. Ce drepte se numesc perpendiculare? Ce semn este folosit pentru a indica perpendicularitatea dreptelor?
Răspuns. Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.
Perpendicularitatea dreptelor este indicată prin semnul \(\perp\). Intrarea \(a\perp b\) spune: „Linia a este perpendiculară pe dreapta b”.

Întrebarea 10. Demonstrați că prin orice punct de pe o dreaptă puteți trage o dreaptă perpendiculară pe acesta și numai una.
Răspuns. Teorema 2.3. Prin fiecare linie puteți trage o linie perpendiculară pe ea și numai una.
Dovada. Fie a o dreaptă dată și A un punct dat pe ea. Să notăm cu a 1 una dintre semiliniile dreptei a cu punctul de plecare A (Fig. 38). Să scădem un unghi (a 1 b 1) egal cu 90° din semilinia a 1. Atunci linia dreaptă care conține raza b 1 va fi perpendiculară pe dreapta a.

Să presupunem că există o altă dreaptă, care trece tot prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Să notăm cu c 1 semilinia acestei drepte situată în același semiplan cu raza b 1 .
Unghiurile (a 1 b 1) și (a 1 c 1), fiecare egal cu 90°, sunt așezate într-un semiplan de la semilinia a 1. Dar din semi-linie un 1 poate fi pus într-un semiplan dat doar un unghi egal cu 90°. Prin urmare, nu poate exista o altă dreaptă care trece prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 11. Ce este perpendicular pe o dreaptă?
Răspuns. O perpendiculară pe o dreaptă dată este un segment de dreaptă perpendicular pe o dreaptă dată, care are unul dintre capete în punctul de intersecție. Acest capăt al segmentului se numește bază perpendicular.

Întrebarea 12. Explicați în ce constă dovada prin contradicție.
Răspuns. Metoda de demonstrare pe care am folosit-o în teorema 2.3 se numește demonstrație prin contradicție. Această metodă de demonstrare constă în a face mai întâi o presupunere opusă a ceea ce afirmă teorema. Apoi, raționând, bazându-ne pe axiome și teoreme dovedite, ajungem la o concluzie care contrazice fie condițiile teoremei, fie una dintre axiome, fie o teoremă demonstrată anterior. Pe această bază, concluzionăm că presupunerea noastră a fost incorectă și, prin urmare, afirmația teoremei este adevărată.

Întrebarea 13. Care este bisectoarea unui unghi?
Răspuns. Bisectoarea unui unghi este raza care emană din vârful unghiului, trece între laturile sale și împarte unghiul la jumătate.

colţ celui desfășurat, adică egal cu 180°, deci pentru a le găsi, scădeți din aceasta valoarea cunoscută a unghiului principal α₁ = α₂ = 180°-α.

Din aceasta sunt . Dacă două unghiuri sunt ambele adiacente și egale, atunci sunt unghiuri drepte. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, adică 90 de grade, atunci și celălalt unghi este drept. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este acut, atunci celălalt va fi obtuz. În mod similar, dacă unul dintre unghiuri este obtuz, atunci al doilea, în consecință, va fi acut.

Un unghi ascuțit este unul a cărui măsură de grad este mai mică de 90 de grade, dar mai mare de 0. Un unghi obtuz are o măsură de grad mai mare de 90 de grade, dar mai mică de 180.

O altă proprietate a unghiurilor adiacente este formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente lor sunt și ele egale. Aceasta înseamnă că dacă există două unghiuri pentru care măsura gradului este aceeași (de exemplu, este de 50 de grade) și, în același timp, unul dintre ele are un unghi adiacent, atunci și valorile acestor unghiuri adiacente coincid ( în exemplu, măsura gradului lor va fi egală cu 130 de grade).

Surse:

• Mare Dicţionar enciclopedic- Colțuri adiacente
• unghi de 180 de grade

Cuvântul „” are interpretări diferite. În geometrie, un unghi este o parte a unui plan delimitată de două raze care emană dintr-un punct - vârful. Când vorbim despre unghiuri drepte, acute și desfăcute, ne referim la unghiuri geometrice.

Ca orice figuri din geometrie, unghiurile pot fi comparate. Egalitatea unghiurilor se determină folosind mișcarea. Este ușor să împărțiți unghiul în două părți egale. Împărțirea în trei părți este puțin mai dificilă, dar se poate face totuși folosind o riglă și o busolă. Apropo, această sarcină părea destul de dificilă. A descrie că un unghi este mai mare sau mai mic decât altul este simplu din punct de vedere geometric.

Unitatea de măsură pentru unghiuri este 1/180

CAPITOLUL I.

CONCEPTE DE BAZĂ.

§11. COLTURI ADJACENTE SI VERTICALE.

1. Unghiuri adiacente.

Dacă extindem latura oricărui unghi dincolo de vârful său, obținem două unghiuri (Fig. 72): / Și soarele și / SVD, în care o parte BC este comună, iar celelalte două A și BD formează o linie dreaptă.

Două unghiuri în care o latură este comună și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc unghiuri adiacente.

Unghiurile adiacente se pot obține și în acest fel: dacă desenăm o rază dintr-un punct de pe o dreaptă (nu se află pe o dreaptă dată), vom obține unghiuri adiacente.
De exemplu, / ADF și / FDВ - unghiuri adiacente (Fig. 73).

Unghiurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).

Unghiurile adiacente se adaugă la un unghi drept, deci umma a două unghiuri adiacente este egală 2d.

Prin urmare, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.

Cunoscând dimensiunea unuia dintre unghiurile adiacente, putem găsi dimensiunea celuilalt unghi adiacent acestuia.

De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este 3/5 d, atunci al doilea unghi va fi egal cu:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Unghiuri verticale.

Dacă extindem laturile unghiului dincolo de vârful său, obținem unghiuri verticale. În desenul 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt de asemenea verticale.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt continuarea laturilor celuilalt unghi.

Lasă / 1 = 7 / 8 d(Figura 76). Adiacent acestuia / 2 va fi egal cu 2 d- 7 / 8 d, adică 1 1/8 d.

În același mod, puteți calcula cu ce sunt egale / 3 și / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Diagrama 77).

Vedem asta / 1 = / 3 și / 2 = / 4.

Puteți rezolva mai multe probleme de aceeași problemă și de fiecare dată veți obține același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.

Cu toate acestea, pentru a vă asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luați în considerare individual exemple numerice, deoarece concluziile trase pe baza unor exemple particulare pot fi uneori eronate.

Este necesar să se verifice validitatea proprietăților unghiurilor verticale prin raționament, prin demonstrare.

Dovada poate fi efectuată după cum urmează(desenul 78):

/ a+/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(deoarece suma unghiurilor adiacente este 2 d).

/ a+/ c = / b+/ c

(precum și partea stângă această egalitate este egală cu 2 d, iar partea sa dreaptă este, de asemenea, egală cu 2 d).

Această egalitate include același unghi Cu.

Dacă scădem cantități egale din cantități egale, atunci vor rămâne cantități egale. Rezultatul va fi: / o = / b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.

Când luăm în considerare problema unghiurilor verticale, am explicat mai întâi care unghiuri sunt numite verticale, adică. definiţie unghiuri verticale.

Apoi am făcut o judecată (afirmație) despre egalitatea unghiurilor verticale și ne-am convins de validitatea acestei judecăți prin demonstrație. Se numesc astfel de hotărâri, a căror validitate trebuie dovedită teoreme. Astfel, în această secțiune am dat o definiție a unghiurilor verticale și am enunțat și demonstrat o teoremă despre proprietățile lor.

În viitor, atunci când studiem geometria, va trebui să întâlnim constant definiții și dovezi ale teoremelor.

3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.

Pe desenul 79 / 1, / 2, / 3 și / 4 sunt situate pe o parte a unei linii și au un vârf comun pe această linie. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi drept, adică.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Pe desenul 80 / 1, / 2, / 3, / 4 și / 5 au un vârf comun. Suma acestor unghiuri este unghi complet, adică / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Exerciții.

1. Unul dintre unghiurile adiacente este 0,72 d. Calculați unghiul format de bisectoarele acestor unghiuri adiacente.

2. Demonstrați că bisectoarele a două unghiuri adiacente formează un unghi drept.

3. Demonstrați că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.

4. Câte perechi de unghiuri adiacente sunt în desenul 81?

5. Poate o pereche de unghiuri adiacente să fie formată din două unghiuri ascuțite? din două unghiuri obtuze? din unghiuri drepte și obtuze? din directă şi unghi ascuțit?

6. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, atunci ce se poate spune despre mărimea unghiului adiacent acestuia?

7. Dacă la intersecția a două drepte un unghi este drept, atunci ce se poate spune despre mărimea celorlalte trei unghiuri?