N. Nikitin Geometrie. Unghiuri adiacente și verticale. Linii perpendiculare

Noțiuni introductive cu unghiuri

Să ni se dea două raze arbitrare. Să le punem unul peste altul. Apoi

Definiția 1

Vom numi un unghi două raze care au aceeași origine.

Definiția 2

Punctul care este începutul razelor în cadrul Definiției 3 se numește vârful acestui unghi.

Vom desemna unghiul prin următoarele trei puncte: vârful, un punct pe una dintre raze și un punct pe cealaltă rază, iar vârful unghiului este scris în mijlocul denumirii sale (Fig. 1).

Să determinăm acum care este mărimea unghiului.

Pentru a face acest lucru, trebuie să selectăm un fel de unghi de „referință”, pe care îl vom lua ca unitate. Cel mai adesea, acest unghi este unghiul care este egal cu partea $\frac(1)(180)$ a unghiului desfășurat. Această cantitate se numește grad. După alegerea unui astfel de unghi, comparăm unghiurile cu acesta, a căror valoare trebuie găsită.

Există 4 tipuri de unghiuri:

Definiția 3

Un unghi se numește ascuțit dacă este mai mic de $90^0$.

Definiția 4

Un unghi se numește obtuz dacă este mai mare de $90^0$.

Definiția 5

Un unghi se numește dezvoltat dacă este egal cu $180^0$.

Definiția 6

Un unghi se numește drept dacă este egal cu $90^0$.

Pe lângă tipurile de unghiuri descrise mai sus, putem distinge tipuri de unghiuri unul în raport cu celălalt, și anume unghiuri verticale și adiacente.

Unghiuri adiacente

Luați în considerare unghiul inversat $COB$. Din vârful său tragem o rază $OA$. Această rază o va împărți pe cea originală în două unghiuri. Apoi

Definiția 7

Vom numi două unghiuri adiacente dacă o pereche de laturile lor este un unghi dezvoltat, iar cealaltă pereche coincide (Fig. 2).

În acest caz, unghiurile $COA$ și $BOA$ sunt adiacente.

Teorema 1

Suma unghiurilor adiacente este $180^0$.

Dovada.

Să ne uităm la Figura 2.

Prin definiția 7, unghiul $COB$ din acesta va fi egal cu $180^0$. Deoarece a doua pereche de laturi ale unghiurilor adiacente coincide, raza $OA$ va împărți unghiul desfășurat la 2, prin urmare

$∠COA+∠BOA=180^0$

Teorema este demonstrată.

Să luăm în considerare rezolvarea problemei folosind acest concept.

Exemplul 1

Găsiți unghiul $C$ din figura de mai jos

Prin definiția 7 aflăm că unghiurile $BDA$ și $ADC$ sunt adiacente. Prin urmare, prin teorema 1, obținem

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Prin teorema despre suma unghiurilor dintr-un triunghi, avem

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Răspuns: $40^0$.

Unghiuri verticale

Luați în considerare unghiurile desfășurate $AOB$ și $MOC$. Să le aliniem vârfurile între ele (adică să punem punctul $O"$ pe punctul $O$) astfel încât nicio latură a acestor unghiuri să nu coincidă. Apoi

Definiția 8

Vom numi două unghiuri verticale dacă perechile laturilor lor sunt unghiuri desfăcute și valorile lor coincid (Fig. 3).

În acest caz, unghiurile $MOA$ și $BOC$ sunt verticale, iar unghiurile $MOB$ și $AOC$ sunt de asemenea verticale.

Teorema 2

Unghiurile verticale sunt egale între ele.

Dovada.

Să ne uităm la Figura 3. Să demonstrăm, de exemplu, că unghiul $MOA$ este egal cu unghiul $BOC$.

Ce este un unghi adiacent

Colţ este o figură geometrică (Fig. 1), formată din două raze OA și OB (laturile unghiului), emanând dintr-un punct O (vârful unghiului).

COLTURI ADJACENTE- două unghiuri a căror sumă este 180°. Fiecare dintre aceste unghiuri se completează pe celălalt la unghiul complet.

Unghiuri adiacente- (Agles adjacets) cele care au un vârf comun și o latură comună. În cea mai mare parte, acest nume se referă la unghiuri din care celelalte două laturi se află în direcții opuse ale unei linii drepte trasate.

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.

orez. 2

În figura 2, unghiurile a1b și a2b sunt adiacente. Au o latură comună b, iar laturile a1, a2 sunt semilinii suplimentare.

orez. 3

Figura 3 arată linia dreaptă AB, punctul C este situat între punctele A și B. Punctul D este un punct care nu se află pe dreapta AB. Se pare că unghiurile BCD și ACD sunt adiacente. Au o latură comună CD, iar laturile CA și CB sunt semilinii suplimentare ale dreptei AB, deoarece punctele A, B sunt separate de punctul de plecare C.

Teorema unghiului adiacent

Teorema: suma unghiurilor adiacente este de 180°

Dovada:
Unghiurile a1b și a2b sunt adiacente (vezi Fig. 2) Raza b trece între laturile a1 și a2 ale unghiului desfășurat. Prin urmare, suma unghiurilor a1b și a2b este egală cu unghiul dezvoltat, adică 180°. Teorema este demonstrată.

Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept. Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că un unghi adiacent unui unghi drept este, de asemenea, un unghi drept. Un unghi mai mic de 90° se numește acut, iar un unghi mai mare de 90° se numește obtuz. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, atunci unghiul adiacent unui unghi ascuțit este un unghi obtuz. Un unghi adiacent unui unghi obtuz este un unghi ascuțit.

Unghiuri adiacente- două unghiuri cu un vârf comun, a căror latură este comună, iar laturile rămase se află pe aceeași linie dreaptă (nu coincide). Suma unghiurilor adiacente este de 180°.

Definiția 1. Un unghi este o parte a unui plan delimitată de două raze cu o origine comună.

Definiție 1.1. Un unghi este o figură formată dintr-un punct - vârful unghiului - și două semi-linii diferite care emană din acest punct - laturile unghiului.
De exemplu, unghiul BOC din Fig.1 Să considerăm mai întâi două drepte care se intersectează. Când liniile drepte se intersectează, ele formează unghiuri. Există cazuri speciale:

Definiția 2. Dacă laturile unui unghi sunt semilinii suplimentare ale unei drepte, atunci unghiul se numește dezvoltat.

Definiția 3. Un unghi drept este un unghi care măsoară 90 de grade.

Definiția 4. Un unghi mai mic de 90 de grade se numește unghi ascuțit.

Definiția 5. Un unghi mai mare de 90 de grade și mai mic de 180 de grade se numește unghi obtuz.
linii de intersectare.

Definiția 6. Două unghiuri, dintre care o latură este comună, iar celelalte laturi se află pe aceeași linie dreaptă, sunt numite adiacente.

Definiția 7. Unghiurile ale căror laturi se continuă între ele se numesc unghiuri verticale.
În figura 1:
adiacente: 1 și 2; 2 și 3; 3 și 4; 4 și 1
verticală: 1 și 3; 2 și 4
Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este de 180 de grade.
Pentru demonstrație, luați în considerare în fig. 4 unghiuri adiacente AOB și BOC. Suma lor este unghiul dezvoltat AOC. Prin urmare, suma acestor unghiuri adiacente este de 180 de grade.

orez. 4

Legătura dintre matematică și muzică

„Gândindu-mă la artă și știință, la legăturile și contradicțiile lor reciproce, am ajuns la concluzia că matematica și muzica se află la polii extremi ai spiritului uman, că toată activitatea spirituală creatoare a omului este limitată și determinată de acești doi antipozi și că totul se află între ei ceea ce umanitatea a creat în domeniile științei și artei”.
G. Neuhaus
S-ar părea că arta este o zonă foarte abstractă din matematică. Cu toate acestea, legătura dintre matematică și muzică este determinată atât istoric, cât și intern, în ciuda faptului că matematica este cea mai abstractă dintre științe, iar muzica este cea mai abstractă formă de artă.
Consonanța determină sunetul plăcut al unei coarde
Acest sistem muzical se baza pe două legi care poartă numele a doi mari oameni de știință - Pitagora și Archytas. Acestea sunt legile:
1. Două șiruri de sunet determină consonanța dacă lungimile lor sunt legate ca numere întregi formând un număr triunghiular 10=1+2+3+4, adică. cum ar fi 1:2, 2:3, 3:4. Mai mult, cu cât numărul n este mai mic în raportul n:(n+1) (n=1,2,3), cu atât intervalul rezultat este mai consonant.
2. Frecvența de vibrație w a coardei de sunet este invers proporțională cu lungimea sa l.
w = a:l,
unde a este un coeficient care caracterizează proprietățile fizice ale șirului.

Îți voi oferi și o parodie amuzantă despre o ceartă între doi matematicieni =)

Geometria din jurul nostru

Geometria în viața noastră are o importanță nu mică. Datorita faptului ca atunci cand te uiti in jur, nu va fi greu sa observi ca suntem inconjurati de diverse forme geometrice. Îi întâlnim peste tot: pe stradă, în clasă, acasă, în parc, în sală, în cantina școlii, practic oriunde ne-am afla. Dar subiectul lecției de astăzi este cărbunii adiacente. Deci, să ne uităm în jur și să încercăm să găsim unghiuri în acest mediu. Dacă te uiți cu atenție la fereastră, poți vedea că unele ramuri de copac formează colțuri adiacente, iar în pereții despărțitori de pe poartă se văd multe unghiuri verticale. Dați propriile exemple de unghiuri adiacente pe care le observați în mediul dumneavoastră.

Exercitiul 1.

1. Există o carte pe masă pe un suport de cărți. Ce unghi formeaza?
2. Dar studentul lucrează la un laptop. Ce unghi vezi aici?
3. Ce unghi formează rama foto pe suport?
4. Crezi că este posibil ca două unghiuri adiacente să fie egale?

Sarcina 2.

În fața ta este o figură geometrică. Ce fel de figură este aceasta, numiți-o? Numiți acum toate unghiurile adiacente pe care le puteți vedea pe această figură geometrică.

Sarcina 3.

Iată o imagine a unui desen și pictură. Privește-le cu atenție și spune-mi ce tipuri de pești vezi în imagine și ce unghiuri vezi în imagine.

Rezolvarea problemelor

1) Având în vedere două unghiuri legate între ele ca 1: 2 și adiacente lor - ca 7: 5. Trebuie să găsiți aceste unghiuri.
2) Se știe că unul dintre unghiurile adiacente este de 4 ori mai mare decât celălalt. Cu ce ​​sunt egale unghiurile adiacente?
3) Este necesar să se găsească unghiuri adiacente, cu condiția ca unul dintre ele să fie cu 10 grade mai mare decât al doilea.

Dictare matematică pentru a revizui materialul învățat anterior

1) Completează desenul: liniile drepte a I b se intersectează în punctul A. Se marchează cel mai mic dintre unghiurile formate cu numărul 1, iar unghiurile rămase - secvenţial cu numerele 2,3,4; razele complementare ale dreptei a trec prin a1 și a2, iar linia b trece prin b1 și b2.
2) Folosind desenul completat, introduceți semnificațiile și explicațiile necesare în golurile din text:
a) unghiul 1 și unghiul .... adiacent pentru ca...
b) unghiul 1 și unghiul... verticală pentru că...
c) dacă unghiul 1 = 60°, atunci unghiul 2 = ..., deoarece...
d) dacă unghiul 1 = 60°, atunci unghiul 3 = ..., deoarece...

Rezolva probleme:

1. Suma a 3 unghiuri formate prin intersecția a 2 drepte poate fi egală cu 100°? 370°?
2. În figură, găsiți toate perechile de unghiuri adiacente. Și acum unghiurile verticale. Numiți aceste unghiuri.

3. Trebuie să găsiți un unghi când este de trei ori mai mare decât cel alăturat.
4. Două linii drepte s-au intersectat. Ca urmare a acestei intersectii s-au format patru colturi. Determinați valoarea oricăruia dintre ele, cu condiția ca:

a) suma a 2 unghiuri din patru este de 84°;
b) diferența dintre 2 unghiuri este de 45°;
c) un unghi este de 4 ori mai mic decât al doilea;
d) suma a trei dintre aceste unghiuri este de 290°.

Rezumatul lecției

1. numiți unghiurile care se formează când se intersectează 2 drepte?
2. Numiți toate perechile posibile de unghiuri din figură și determinați tipul lor.

Teme pentru acasă:

1. Aflați raportul dintre gradele unghiurilor adiacente când unul dintre ele este cu 54° mai mare decât al doilea.
2. Aflați unghiurile care se formează atunci când 2 drepte se intersectează, cu condiția ca unul dintre unghiuri să fie egal cu suma a altor 2 unghiuri adiacente acestuia.
3. Este necesar să se găsească unghiuri adiacente atunci când bisectoarea unuia dintre ele formează un unghi cu latura celui de-al doilea care este cu 60° mai mare decât al doilea unghi.
4. Diferența dintre 2 unghiuri adiacente este egală cu o treime din suma acestor două unghiuri. Determinați valorile a 2 unghiuri adiacente.
5. Diferența și suma a 2 unghiuri adiacente sunt în raport de 1:5. Găsiți unghiuri adiacente.
6. Diferența dintre două adiacente este de 25% din suma lor. Cum se raportează valorile a 2 unghiuri adiacente? Determinați valorile a 2 unghiuri adiacente.

Întrebări:

1. Ce este un unghi?
2. Ce tipuri de unghiuri există?
3. Care este proprietatea unghiurilor adiacente?

Subiecte > Matematică > Matematică clasa a VII-a

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt raze complementare. În Figura 20, unghiurile AOB și BOC sunt adiacente.

Suma unghiurilor adiacente este de 180°

Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.

Dovada. Grinda OB (vezi Fig. 1) trece între laturile unghiului desfășurat. De aceea ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Din teorema 1 rezultă că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale.

Unghiurile verticale sunt egale

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt raze complementare ale laturilor celuilalt. Unghiurile AOB și COD, BOD și AOC, formate la intersecția a două drepte, sunt verticale (Fig. 2).

Teorema 2. Unghiurile verticale sunt egale.

Dovada. Să luăm în considerare unghiurile verticale AOB și COD (vezi Fig. 2). Unghiul BOD este adiacent fiecărui unghi AOB și COD. Prin teorema 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

De aici concluzionăm că ∠ AOB = ∠ COD.

Corolarul 1. Un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.

Să considerăm două drepte care se intersectează AC și BD (Fig. 3). Ele formează patru colțuri. Dacă unul dintre ele este drept (unghiul 1 din Fig. 3), atunci și unghiurile rămase sunt drepte (unghiurile 1 și 2, 1 și 4 sunt adiacente, unghiurile 1 și 3 sunt verticale). În acest caz, ei spun că aceste drepte se intersectează în unghi drept și se numesc perpendiculare (sau reciproc perpendiculare). Perpendicularitatea dreptelor AC și BD se notează astfel: AC ⊥ BD.

O bisectoare perpendiculară pe un segment este o dreaptă perpendiculară pe acest segment și care trece prin punctul său de mijloc.

AN - perpendicular pe o dreaptă

Să considerăm o dreaptă a și un punct A care nu se află pe ea (Fig. 4). Să conectăm punctul A cu un segment de punctul H cu linia dreaptă a. Segmentul AN se numește perpendiculară trasată de la punctul A la dreapta a dacă dreptele AN și a sunt perpendiculare. Punctul H se numește baza perpendicularei.

Pătrat de desen

Următoarea teoremă este adevărată.

Teorema 3. Din orice punct care nu se află pe o dreaptă, se poate trasa o perpendiculară pe această dreaptă și, în plus, doar una.

Pentru a desena o perpendiculară de la un punct la o linie dreaptă într-un desen, utilizați un pătrat de desen (Fig. 5).

Cometariu. Formularea teoremei constă de obicei din două părți. O parte vorbește despre ceea ce este dat. Această parte se numește condiția teoremei. Cealaltă parte vorbește despre ceea ce trebuie dovedit. Această parte se numește concluzia teoremei. De exemplu, condiția teoremei 2 este ca unghiurile să fie verticale; concluzie - aceste unghiuri sunt egale.

Orice teoremă poate fi exprimată în detaliu în cuvinte, astfel încât starea sa să înceapă cu cuvântul „dacă” și încheierea cu cuvântul „atunci”. De exemplu, teorema 2 poate fi formulată în detaliu după cum urmează: „Dacă două unghiuri sunt verticale, atunci sunt egale”.

Exemplul 1. Unul dintre unghiurile adiacente este de 44°. Cu ce ​​este egal celălalt?

Soluţie. Să notăm măsura în grade a altui unghi cu x, apoi conform teoremei 1.
44° + x = 180°.
Rezolvând ecuația rezultată, aflăm că x = 136°. Prin urmare, celălalt unghi este de 136°.

Exemplul 2. Fie unghiul COD din figura 21 să fie de 45°. Care sunt unghiurile AOB și AOC?

Soluţie. Unghiurile COD și AOB sunt verticale, prin urmare, prin teorema 1.2 sunt egale, adică ∠ AOB = 45°. Unghiul AOC este adiacent unghiului COD, ceea ce înseamnă conform teoremei 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Exemplul 3. Găsiți unghiuri adiacente dacă unul dintre ele este de 3 ori mai mare decât celălalt.

Soluţie. Să notăm gradul de măsură a unghiului mai mic cu x. Apoi măsura gradului unghiului mai mare va fi de 3x. Deoarece suma unghiurilor adiacente este egală cu 180° (Teorema 1), atunci x + 3x = 180°, de unde x = 45°.
Aceasta înseamnă că unghiurile adiacente sunt de 45° și 135°.

Exemplul 4. Suma a două unghiuri verticale este de 100°. Aflați dimensiunea fiecăruia dintre cele patru unghiuri.

Soluţie. Fie condițiile problemei să corespundă cu figura 2. Unghiurile verticale COD față de AOB sunt egale (Teorema 2), ceea ce înseamnă că și măsurile gradului lor sunt egale. Prin urmare, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (suma lor conform condiției este 100°). Unghiul BOD (de asemenea unghiul AOC) este adiacent unghiului COD și, prin urmare, prin teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

colţ celui desfășurat, adică egal cu 180°, deci pentru a le găsi, scădeți din aceasta valoarea cunoscută a unghiului principal α₁ = α₂ = 180°-α.

Din aceasta sunt . Dacă două unghiuri sunt ambele adiacente și egale, atunci sunt unghiuri drepte. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, adică 90 de grade, atunci și celălalt unghi este drept. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este acut, atunci celălalt va fi obtuz. În mod similar, dacă unul dintre unghiuri este obtuz, atunci al doilea, în consecință, va fi acut.

Un unghi ascuțit este unul a cărui măsură de grad este mai mică de 90 de grade, dar mai mare de 0. Un unghi obtuz are o măsură de grad mai mare de 90 de grade, dar mai mică de 180.

O altă proprietate a unghiurilor adiacente este formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente lor sunt și ele egale. Aceasta înseamnă că dacă există două unghiuri pentru care măsura gradului este aceeași (de exemplu, este de 50 de grade) și, în același timp, unul dintre ele are un unghi adiacent, atunci și valorile acestor unghiuri adiacente coincid ( în exemplu, măsura gradului lor va fi egală cu 130 de grade).

Surse:

• Big Enciclopedic Dictionary - Adjacent angles
• unghi de 180 de grade

Cuvântul „” are interpretări diferite. În geometrie, un unghi este o parte a unui plan delimitată de două raze care emană dintr-un punct - vârful. Când vorbim despre unghiuri drepte, acute și desfăcute, ne referim la unghiuri geometrice.

Ca orice figuri din geometrie, unghiurile pot fi comparate. Egalitatea unghiurilor se determină folosind mișcarea. Este ușor să împărțiți unghiul în două părți egale. Împărțirea în trei părți este puțin mai dificilă, dar se poate face totuși folosind o riglă și o busolă. Apropo, această sarcină părea destul de dificilă. A descrie că un unghi este mai mare sau mai mic decât altul este simplu din punct de vedere geometric.

Unitatea de măsură pentru unghiuri este 1/180

CAPITOLUL I.

NOȚIUNI DE BAZĂ.

§unsprezece. COLTURI ADJACENTE SI VERTICALE.

1. Unghiuri adiacente.

Dacă extindem latura oricărui unghi dincolo de vârful său, obținem două unghiuri (Fig. 72): / Și soarele și / SVD, în care o parte BC este comună, iar celelalte două A și BD formează o linie dreaptă.

Două unghiuri în care o latură este comună și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc unghiuri adiacente.

Unghiurile adiacente se pot obține și în acest fel: dacă desenăm o rază dintr-un punct de pe o dreaptă (nu se află pe o dreaptă dată), vom obține unghiuri adiacente.
De exemplu, / ADF și / FDВ - unghiuri adiacente (Fig. 73).

Unghiurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).

Unghiurile adiacente se adună la un unghi drept, deci umma a două unghiuri adiacente este egală 2d.

Prin urmare, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.

Cunoscând dimensiunea unuia dintre unghiurile adiacente, putem găsi dimensiunea celuilalt unghi adiacent acestuia.

De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este 3/5 d, atunci al doilea unghi va fi egal cu:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Unghiuri verticale.

Dacă extindem laturile unghiului dincolo de vârful său, obținem unghiuri verticale. În desenul 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt de asemenea verticale.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt continuarea laturilor celuilalt unghi.

Lăsa / 1 = 7 / 8 d(Figura 76). Adiacent acestuia / 2 va fi egal cu 2 d- 7 / 8 d, adică 1 1/8 d.

În același mod, puteți calcula cu ce sunt egale / 3 și / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Diagrama 77).

Noi vedem asta / 1 = / 3 și / 2 = / 4.

Puteți rezolva mai multe probleme de aceeași problemă și de fiecare dată veți obține același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.

Cu toate acestea, pentru a vă asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luați în considerare exemple numerice individuale, deoarece concluziile trase din anumite exemple pot fi uneori eronate.

Este necesar să se verifice validitatea proprietăților unghiurilor verticale prin raționament, prin demonstrare.

Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):

/ un +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(deoarece suma unghiurilor adiacente este 2 d).

/ un +/ c = / b+/ c

(deoarece partea stângă a acestei egalități este, de asemenea, egală cu 2 d, iar partea sa dreaptă este, de asemenea, egală cu 2 d).

Această egalitate include același unghi Cu.

Dacă scădem cantități egale din cantități egale, atunci vor rămâne cantități egale. Rezultatul va fi: / A = / b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.

Când luăm în considerare problema unghiurilor verticale, am explicat mai întâi care unghiuri sunt numite verticale, adică. definiție unghiuri verticale.

Apoi am făcut o judecată (afirmație) despre egalitatea unghiurilor verticale și ne-am convins de validitatea acestei judecăți prin demonstrație. Se numesc astfel de hotărâri, a căror validitate trebuie dovedită teoreme. Astfel, în această secțiune am dat o definiție a unghiurilor verticale și am enunțat și demonstrat o teoremă despre proprietățile lor.

În viitor, atunci când studiem geometria, va trebui să întâlnim constant definiții și dovezi ale teoremelor.

3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.

Pe desenul 79 / 1, / 2, / 3 și / 4 sunt situate pe o parte a unei linii și au un vârf comun pe această linie. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi drept, adică.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Pe desenul 80 / 1, / 2, / 3, / 4 și / 5 au un vârf comun. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi complet, adică. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Exerciții.

1. Unul dintre unghiurile adiacente este 0,72 d. Calculați unghiul format de bisectoarele acestor unghiuri adiacente.

2. Demonstrați că bisectoarele a două unghiuri adiacente formează un unghi drept.

3. Demonstrați că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.

4. Câte perechi de unghiuri adiacente sunt în desenul 81?

5. Poate o pereche de unghiuri adiacente să fie formată din două unghiuri ascuțite? din două unghiuri obtuze? din unghiuri drepte și obtuze? dintr-un unghi drept si ascutit?

6. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, atunci ce se poate spune despre mărimea unghiului adiacent acestuia?

7. Dacă la intersecția a două drepte un unghi este drept, atunci ce se poate spune despre mărimea celorlalte trei unghiuri?