Să luăm în considerare două egalități:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Această egalitate va fi valabilă pentru orice valoare a variabilei a. Gama de valori acceptabile pentru acea egalitate va fi întregul set de numere reale.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Această inegalitate va fi adevărată pentru toate valorile variabilei a, cu excepția unui egal cu zero. Intervalul de valori acceptabile pentru această inegalitate va fi întregul set de numere reale, cu excepția zero.
Pentru fiecare dintre aceste egalități se poate susține că va fi adevărat pentru orice valori admisibile ale variabilelor a. Astfel de egalități în matematică se numesc identități.
Conceptul de identitate
O identitate este o egalitate care este adevărată pentru orice valori admisibile ale variabilelor. Dacă înlocuiți orice valoare validă în această egalitate în loc de variabile, ar trebui să obțineți o egalitate numerică corectă.
Este de remarcat faptul că adevăratele egalități numerice sunt și identități. Identitățile, de exemplu, vor fi proprietăți ale acțiunilor asupra numerelor.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Dacă două expresii pentru orice variabile admisibile sunt, respectiv, egale, atunci se numesc astfel de expresii identic egale. Mai jos sunt câteva exemple de expresii identice:
1. (a 2) 4 și a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) şi -a3*b2;
3. ((x 3 *x 8)/x) și x 10.
Putem înlocui întotdeauna o expresie cu orice altă expresie identică cu prima. O astfel de înlocuire va fi o transformare de identitate.
Exemple de identități
Exemplul 1: sunt următoarele egalități:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Nu toate expresiile prezentate mai sus vor fi identități. Dintre aceste egalități, doar 1, 2 și 3 egalități sunt identități. Indiferent ce numere înlocuim în ele, în loc de variabilele a și b vom obține în continuare egalități numerice corecte.
Dar egalitatea nu mai este o identitate. Pentru că această egalitate nu va fi valabilă pentru toate valorile valide. De exemplu, cu valorile a = 5 și b = 2, se va obține următorul rezultat:
Această egalitate nu este adevărată, deoarece numărul 3 nu este egal cu numărul -3.
În timp ce studiam algebra, am dat peste conceptele de polinom (de exemplu ($y-x$,$\ 2x^2-2x$ etc.) și de fracție algebrică (de exemplu $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ etc.) Asemănarea acestor concepte este că atât polinoamele cât și fracțiile algebrice conțin variabile și valori numerice , iar aritmetica se realizează: adunare, scădere, înmulțire, exponențiere Diferența dintre aceste concepte este că în polinoame nu se realizează împărțirea printr-o variabilă, dar în fracții algebrice se poate face.
Atât polinoamele, cât și fracțiile algebrice sunt numite expresii algebrice raționale în matematică. Dar polinoamele sunt expresii raționale întregi, iar fracțiile algebrice sunt expresii raționale fracționale.
Puteți obține un număr întreg dintr-o expresie rațională fracțională expresie algebrică folosind transformarea identităţii, care în în acest caz, va fi proprietatea principală a unei fracții - reducerea fracțiilor. Să verificăm acest lucru în practică:
Exemplul 1
Convertiți:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
Soluţie: Această ecuație rațională fracțională poate fi transformată folosind proprietatea de bază fracții – abrevieri, adică împărțirea numărătorului și numitorului la același număr sau expresie, alta decât $0$.
Această fracție nu poate fi redusă imediat, numărătorul trebuie transformat.
Să transformăm expresia în numărătorul fracției, pentru aceasta folosim formula pentru pătratul diferenței: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Fracția arată ca
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]
Acum vedem că numărătorul și numitorul au un factor comun - aceasta este expresia $x-2$, prin care vom reduce fracția
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]
După reducere, am constatat că expresia rațională fracțională originală $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ a devenit un polinom $x-2$, adică. întreg raţional.
Acum să acordăm atenție faptului că expresiile $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ și $x-2\ $ pot fi considerate identice nu pentru toate valorile variabilei, deoarece pentru ca o expresie rațională fracțională să existe și să se poată reduce cu polinomul $x-2$, numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu $0$ (precum și factorul cu care reducem. În această de exemplu, numitorul și factorul sunt aceiași, dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna).
Valorile variabilei la care va exista fracția algebrică se numesc valori admisibile ale variabilei.
Să punem o condiție pe numitorul fracției: $x-2≠0$, apoi $x≠2$.
Aceasta înseamnă că expresiile $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ și $x-2$ sunt identice pentru toate valorile variabilei, cu excepția $2$.
Definiția 1
Identic egal expresiile sunt acelea care sunt egale pentru toate valorile valide ale variabilei.
O transformare identică este orice înlocuire a expresiei originale cu una identică. Astfel de transformări includ efectuarea de acțiuni: adunarea, scăderea, înmulțirea, plasarea unui factor comun dintre paranteze, reducerea. fracții algebrice La numitor comun, reducerea fracțiilor algebrice, reducerea termenilor similari etc. Este necesar să se țină cont de faptul că o serie de transformări, cum ar fi reducerea, reducerea termenilor similari, pot modifica valorile admisibile ale variabilei.
Tehnici folosite pentru a dovedi identitatea
Duce partea stângă identități la dreapta sau invers folosind transformări identitare
Reduceți ambele părți la aceeași expresie folosind transformări identice
Transferați expresiile dintr-o parte a expresiei în alta și demonstrați că diferența rezultată este egală cu $0$
Care dintre metodele de mai sus să folosiți pentru a dovedi o anumită identitate depinde de identitatea originală.
Exemplul 2
Demonstrați identitatea $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Soluţie: Pentru a demonstra această identitate, vom folosi prima dintre metodele de mai sus și anume, vom transforma partea stângă a identității până când aceasta este egală cu dreapta.
Să considerăm partea stângă a identității: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - reprezintă diferența a două polinoame. În acest caz, primul polinom este pătratul sumei a trei termeni Pentru a pătra suma mai multor termeni, folosim formula:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțim un număr cu un polinom. Amintiți-vă că pentru aceasta trebuie să înmulțim factorul comun din spatele parantezei cu fiecare termen al polinomului din paranteze.
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Acum să revenim la polinomul original, acesta va lua forma:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Vă rugăm să rețineți că înainte de paranteză există un semn „-”, ceea ce înseamnă că atunci când parantezele sunt deschise, toate semnele care au fost în paranteze se schimbă la opus.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Să prezentăm termeni similari, apoi obținem că monomiile $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ și $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ se anulează reciproc, i.e. suma lor este $0$.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Aceasta înseamnă că prin intermediul transformărilor identice am obținut o expresie identică în partea stângă a identității originale
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Rețineți că expresia rezultată arată că identitatea originală este adevărată.
Vă rugăm să rețineți că în identitatea originală sunt permise toate valorile variabilei, ceea ce înseamnă că am demonstrat identitatea folosind transformări de identitate și este adevărat pentru toate valorile posibile ale variabilei.
Subiectul "Dovezi de identitate» Clasa a VII-a (KRO)
Manual Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.
Obiectivele lecției
Educațional:
introduceți și consolidați inițial conceptele de „expresii identice egale”, „identitate”, „transformări identice”;
ia în considerare modalități de demonstrare a identităților, promovează dezvoltarea abilităților în demonstrarea identităților;
pentru a verifica asimilarea de către elevi a materialului acoperit, pentru a dezvolta capacitatea de a folosi ceea ce au învățat pentru a percepe lucruri noi.
Dezvoltare:
Dezvoltați discursul matematic competent al elevilor (îmbogățiți și complicați vocabularul atunci când utilizați termeni matematici speciali),
dezvolta gandirea,
Educațional: pentru a cultiva munca grea, acuratețea și înregistrarea corectă a soluțiilor de exerciții.
Tipul de lecție: învățarea de materiale noi
Progresul lecției
1 . Moment organizatoric.
Verificarea temelor.
Întrebări legate de teme.
Analiza soluției la bord.
Este nevoie de matematică
Este imposibil fără ea
Învățăm, predăm, prieteni,
Ce ne amintim dimineața?
2 . Hai să facem o încălzire.
Rezultatul adunării. (Sumă)
Câte numere știi? (Zece)
A suta parte dintr-un număr. (La sută)
Rezultatul diviziunii? (Privat)
Cel mai mic număr natural? (1)
Este posibil la împărțire numere naturale a lua zero? (Nu)
Numiți cel mai mare număr întreg număr negativ. (-1)
La ce număr nu se poate împărți? (0)
Rezultatul înmulțirii? (Lucru)
Rezultatul scăderii. (Diferenţă)
Proprietatea comutativă a adăugării. (Suma nu se modifică prin rearanjarea locurilor termenilor)
Proprietatea comutativă a înmulțirii. (Produsul nu se modifică de la rearanjarea locurilor factorilor)
Studiind subiect nou(definiție cu intrare în caiet)
Să găsim valoarea expresiilor pentru x=5 și y=4
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3х+3у=3*5+3*4=27
Am obtinut acelasi rezultat. Din proprietatea distributivă rezultă că, în general, pentru orice valoare a variabilelor, valorile expresiilor 3(x+y) și 3x+3y sunt egale.
Să luăm acum în considerare expresiile 2x+y și 2xy. Când x=1 și y=2 au valori egale:
Cu toate acestea, puteți specifica valori pentru x și y astfel încât valorile acestor expresii să nu fie egale. De exemplu, dacă x=3, y=4, atunci
Definiţie: Două expresii ale căror valori sunt egale pentru orice valoare a variabilelor sunt numite identic egale.
Expresiile 3(x+y) și 3x+3y sunt identic egale, dar expresiile 2x+y și 2xy nu sunt identic egale.
Egalitatea 3(x+y) și 3x+3y este adevărată pentru orice valoare a lui x și y. Astfel de egalități se numesc identități.
Definiţie: O egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor se numește identitate.
Egalitățile numerice adevărate sunt, de asemenea, considerate identități. Am întâlnit deja identități. Identitățile sunt egalități care exprimă proprietățile de bază ale operațiilor asupra numerelor (Elevii comentează fiecare proprietate, pronunțând-o).
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Dați alte exemple de identități
Definiţie: Înlocuirea unei expresii cu o altă expresie identică egală se numește o transformare identică sau pur și simplu o transformare a unei expresii.
Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.
Transformările identice ale expresiilor sunt utilizate pe scară largă în calcularea valorilor expresiilor și rezolvarea altor probleme. Ați trebuit deja să efectuați niște transformări identice, de exemplu, aducând termeni similari, deschizând paranteze.
5 . Nr. 691, Nr. 692 (cu pronunția regulilor de deschidere a parantezelor, înmulțirea negativului și numere pozitive)
Identități pentru alegerea unei soluții raționale:(lucrare din fata)
6 . Rezumând lecția.
Profesorul pune întrebări, iar elevii le răspund după bunul plac.
Despre care două expresii se spune că sunt identic egale? Dați exemple.
Ce fel de egalitate se numește identitate? Da un exemplu.
Ce transformări de identitate cunoașteți?
7. Teme pentru acasă. Învață definiții, dă exemple de expresii identice (cel puțin 5), notează-le în caiet
§ 2. Expresii identice, identitate. Transformarea identică a unei expresii. Dovezi de identitate
Să găsim valorile expresiilor 2(x - 1) 2x - 2 pentru valorile date ale variabilei x. Să scriem rezultatele în tabel:
Putem ajunge la concluzia că valorile expresiilor 2(x - 1) 2x - 2 pentru fiecare valoare dată variabilele x sunt egale între ele. Conform proprietății distributive a înmulțirii relativ la scădere, 2(x - 1) = 2x - 2. Prin urmare, pentru orice altă valoare a variabilei x, valoarea expresiei 2(x - 1) 2x - 2 va fi și ea egale între ele. Astfel de expresii sunt numite identic egale.
De exemplu, expresiile 2x + 3x și 5x sunt sinonime, deoarece pentru fiecare valoare a variabilei x aceste expresii capătă aceleași valori (aceasta rezultă din proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la adunare, deoarece 2x + 3x = 5x).
Să luăm acum în considerare expresiile 3x + 2y și 5xy. Dacă x = 1 și b = 1, atunci valorile corespunzătoare ale acestor expresii sunt egale între ele:
3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Cu toate acestea, puteți specifica valori pentru x și y pentru care valorile acestor expresii nu vor fi egale între ele. De exemplu, dacă x = 2; y = 0, atunci
3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.
În consecință, există valori ale variabilelor pentru care valorile corespunzătoare ale expresiilor 3x + 2y și 5xy nu sunt egale între ele. Prin urmare, expresiile 3x + 2y și 5xy nu sunt identic egale.
Pe baza celor de mai sus, identitățile, în special, sunt egalitățile: 2(x - 1) = 2x - 2 și 2x + 3x = 5x.
O identitate este orice egalitate care este scrisă proprietăți cunoscute acțiuni asupra numerelor. De exemplu,
a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;
ab = bа; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.
Identitățile includ următoarele egalități:
a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;
a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Dacă combinăm termeni similari în expresia -5x + 2x - 9, obținem că 5x + 2x - 9 = 7x - 9. În acest caz, se spune că expresia 5x + 2x - 9 a fost înlocuită cu expresia identică 7x - 9.
Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează folosind proprietățile operațiilor asupra numerelor. În special, transformări identice cu paranteze de deschidere, construirea de termeni similari și altele asemenea.
Transformări identice trebuie efectuate la simplificarea unei expresii, adică înlocuirea unei anumite expresii cu o expresie identică, ceea ce ar trebui să facă notația mai scurtă.
Exemplul 1. Simplificați expresia:
1) -0,3 m ∙ 5n;
2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);
3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;
2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - O + 2 b + 3 b - O= 3a + 5b + 2.
Pentru a demonstra că egalitatea este o identitate (cu alte cuvinte, pentru a demonstra identitatea, se folosesc transformări identice ale expresiilor.
Puteți dovedi identitatea în unul dintre următoarele moduri:
- efectuează transformări identice pe partea stângă, reducându-l astfel la forma părții drepte;
- efectuează transformări identice pe partea dreaptă, reducându-l astfel la forma părții stângi;
- efectuează transformări identice pe ambele părți ale sale, ridicând astfel ambele părți la aceleași expresii.
Exemplul 2. Demonstrați identitatea:
1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;
2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);
3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.
R a s i z a n i .
1) Transformați partea stângă a acestei egalități:
2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.
Prin intermediul transformărilor identitare, expresia din partea stângă a egalității a fost redusă la forma laturii drepte și s-a dovedit astfel că această egalitate este o identitate.
2) Transformă partea dreaptă egalitate dată:
5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.
Prin intermediul transformărilor identitare, partea dreaptă a egalității a fost redusă la forma părții stângi și, prin urmare, s-a dovedit că această egalitate este o identitate.
3) În acest caz, este convenabil să simplificați ambele părți din stânga și din dreapta ale egalității și să comparați rezultatele:
2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;
13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.
Prin transformări identice, părțile stânga și dreaptă ale egalității au fost reduse la aceeași formă: 26x - 44. Prin urmare, această egalitate este o identitate.
Ce expresii se numesc identice? Dați un exemplu de expresii identice. Ce fel de egalitate se numește identitate? Dați un exemplu de identitate. Ce se numește o transformare de identitate a unei expresii? Cum se dovedește identitatea?
- (Verbal) Sau există expresii care sunt identic egale:
1) 2a + a și 3a;
2) 7x + 6 și 6 + 7x;
3) x + x + x și x 3 ;
4) 2(x - 2) și 2x - 4;
5) m - n și n - m;
6) 2a ∙ p și 2p ∙ a?
- Sunt expresiile identice egale:
1) 7x - 2x și 5x;
2) 5a - 4 și 4 - 5a;
3) 4m + n și n + 4m;
4) a + a și a 2;
5) 3(a - 4) și 3a - 12;
6) 5m ∙ n și 5m + n?
- (Verbal) este egalitatea identității Lee:
1) 2a + 106 = 12ab;
2) 7р - 1 = -1 + 7р;
3) 3(x - y) = 3x - 5y?
- Extindeți parantezele:
- Extindeți parantezele:
- Combinați termeni similari:
- Numiți câteva expresii expresii identice 2a + 3a.
- Simplificați expresia folosind permutarea și proprietățile conjunctive ale înmulțirii:
1) -2,5 x ∙ 4;
2) 4р ∙ (-1,5);
3) 0,2 x ∙ (0,3 g);
4)- x ∙<-7у).
- Simplificați expresia:
1) -2р ∙ 3,5;
2) 7a ∙ (-1,2);
3) 0,2 x ∙ (-3у);
4) - 1 m ∙ (-3n).
- (Oral) Simplificați expresia:
1) 2x - 9 + 5x;
2) 7a - 3b + 2a + 3b;
4) 4a ∙ (-2b).
- Combinați termeni similari:
1) 56 - 8a + 4b - a;
2) 17 - 2p + 3p + 19;
3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;
4) 5 - 7s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.
1) 4(5x - 7) + 3x + 13;
2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);
3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);
4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).
- Deschideți parantezele și combinați termeni similari:
1) 3(8a - 4) + 6a;
2) 7p - 2(3p - 1);
3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);
4) 3(5m - 7) - (15m - 2).
1) 0,6 x + 0,4(x - 20), dacă x = 2,4;
2) 1,3(2a - 1) - 16,4, dacă a = 10;
3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), dacă m = -3,7;
4) 2x - 3(x + y) + 4y, dacă x = -1, y = 1.
- Simplificați expresia și găsiți-i sensul:
1) 0,7 x + 0,3(x - 4), dacă x = -0,7;
2) 1,7(y - 11) - 16,3, dacă b = 20;
3) 0,6(2a - 14) - 0,4(5a - 1), dacă a = -1;
4) 5(m - n) - 4m + 7n, dacă m = 1,8; n = -0,9.
- Dovediți identitatea:
1) -(2x - y)=y - 2x;
2) 2(x - 1) - 2x = -2;
3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;
4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).
- Dovediți identitatea:
1) -(m - 3n) = 3n - m;
2) 7(2 - p) + 7p = 14;
3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);
4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.
- Lungimea uneia dintre laturile triunghiului este de un cm, iar lungimea fiecăreia dintre celelalte două laturi este cu 2 cm mai mare decât aceasta. Notați perimetrul triunghiului ca expresie și simplificați expresia.
- Lățimea dreptunghiului este de x cm, iar lungimea este cu 3 cm mai mare decât lățimea. Notați perimetrul dreptunghiului ca expresie și simplificați expresia.
1) x - (x - (2x - 3));
2) 5m - ((n - m) + 3n);
3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));
4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));
5) (6a - b) - (4 a – 33b);
6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).
- Deschideți parantezele și simplificați expresia:
1) a - (a - (3a - 1));
2) 12m - ((a - m) + 12a);
3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));
6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).
- Dovediți identitatea:
1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);
2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);
3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).
- Dovediți identitatea:
1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);
2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Demonstrați că sensul expresiei
1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) nu depinde de valoarea variabilei.
- Demonstrați că pentru orice valoare a variabilei valoarea expresiei
a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)
este același număr.
- Demonstrați că suma a trei numere pare consecutive este divizibilă cu 6.
- Demonstrați că dacă n este un număr natural, atunci valoarea expresiei -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) este un număr par.
Exerciții de repetat
- Un aliaj care cântărește 1,6 kg conține 15% cupru. Câte kg de cupru sunt conținute în acest aliaj?
- Ce procent este numărul 20 din el:
1) pătrat;
- Turistul a mers 2 ore pe jos și 3 ore a mers cu bicicleta. În total, turistul a parcurs 56 km. Aflați viteza cu care turistul mergea cu bicicleta, dacă este cu 12 km/h mai mult decât viteza cu care mergea.
Sarcini interesante pentru studenții leneși
- 11 echipe participă la campionatul de fotbal al orașului. Fiecare echipă joacă un meci împotriva celeilalte. Demonstrați că în orice moment al competiției există o echipă care va fi jucat un număr par de meciuri în acel moment sau nu a jucat încă niciunul.
După ce ne-am ocupat de conceptul de identități, putem trece la studiul expresiilor identice egale. Scopul acestui articol este de a explica ce este și de a arăta cu exemple care expresii vor fi identice cu altele.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Expresii identice egale: definiție
Conceptul de expresii identice egale este de obicei studiat împreună cu conceptul de identitate în sine, ca parte a unui curs de algebră școlară. Iată definiția de bază luată dintr-un manual:
Definiția 1
Identic egal reciproc vor exista astfel de expresii, ale căror valori vor fi aceleași pentru orice valori posibile ale variabilelor incluse în componența lor.
De asemenea, acele expresii numerice cărora le vor corespunde aceleași valori sunt considerate identic egale.
Aceasta este o definiție destul de largă, care va fi adevărată pentru toate expresiile întregi a căror semnificație nu se schimbă atunci când se schimbă valorile variabilelor. Cu toate acestea, mai târziu devine necesară clarificarea acestei definiții, deoarece pe lângă numerele întregi, există și alte tipuri de expresii care nu vor avea sens cu anumite variabile. Acest lucru dă naștere conceptului de admisibilitate și inadmisibilitate a anumitor valori variabile, precum și necesitatea de a determina intervalul de valori admisibile. Să formulăm o definiție rafinată.
Definiția 2
Expresii identice egale– sunt acele expresii ale căror valori sunt egale între ele pentru orice valori admisibile ale variabilelor incluse în componența lor. Expresiile numerice vor fi identice între ele, cu condiția să aibă aceleași valori.
Expresia „pentru orice valori valide ale variabilelor” indică toate acele valori ale variabilelor pentru care ambele expresii vor avea sens. Vom explica acest punct mai târziu când vom da exemple de expresii identice egale.
De asemenea, puteți oferi următoarea definiție:
Definiția 3
Expresiile identice egale sunt expresii situate în aceeași identitate pe părțile stânga și dreapta.
Exemple de expresii care sunt identic egale între ele
Folosind definițiile date mai sus, să ne uităm la câteva exemple de astfel de expresii.
Să începem cu expresii numerice.
Exemplul 1
Astfel, 2 + 4 și 4 + 2 vor fi identic între ele, deoarece rezultatele lor vor fi egale (6 și 6).
Exemplul 2
În același mod, expresiile 3 și 30 sunt identic egale: 10, (2 2) 3 și 2 6 (pentru a calcula valoarea ultimei expresii trebuie să cunoașteți proprietățile gradului).
Exemplul 3
Dar expresiile 4 - 2 și 9 - 1 nu vor fi egale, deoarece valorile lor sunt diferite.
Să trecem la exemple de expresii literale. a + b și b + a vor fi identic egali, iar acest lucru nu depinde de valorile variabilelor (egalitatea expresiilor în acest caz este determinată de proprietatea comutativă a adunării).
Exemplul 4
De exemplu, dacă a este egal cu 4 și b este egal cu 5, atunci rezultatele vor fi în continuare aceleași.
Un alt exemplu de expresii identice cu litere este 0 · x · y · z și 0 . Oricare ar fi valorile variabilelor în acest caz, atunci când sunt înmulțite cu 0, acestea vor da 0. Expresiile inegale sunt 6 x și 8 x, deoarece nu vor fi egale pentru niciun x.
În cazul în care intervalele de valori admisibile ale variabilelor coincid, de exemplu, în expresiile a + 6 și 6 + a sau a · b · 0 și 0, sau x 4 și x și valorile expresiile în sine sunt egale pentru orice variabilă, atunci astfel de expresii sunt considerate identic egale. Deci, a + 8 = 8 + a pentru orice valoare a lui a și a · b · 0 = 0, deoarece înmulțirea oricărui număr cu 0 are ca rezultat 0. Expresiile x 4 și x vor fi identic egale pentru orice x din intervalul [ 0 , + ∞) .
Dar intervalul de valori valide dintr-o expresie poate fi diferit de intervalul alteia.
Exemplul 5
De exemplu, să luăm două expresii: x − 1 și x - 1 · x x. Pentru primul dintre ele, intervalul de valori permise ale lui x va fi întregul set de numere reale, iar pentru al doilea - setul tuturor numerelor reale, cu excepția zero, deoarece atunci vom obține 0 în numitor, iar o astfel de împărțire nu este definită. Aceste două expresii au un interval comun de valori format prin intersecția a două intervale separate. Putem concluziona că ambele expresii x - 1 · x x și x - 1 vor avea sens pentru orice valoare reală a variabilelor, cu excepția lui 0.
Proprietatea de bază a fracției ne permite, de asemenea, să concluzionam că x - 1 x x și x - 1 vor fi egale pentru orice x care nu este 0. Aceasta înseamnă că, în gama generală de valori admisibile, aceste expresii vor fi identice între ele, dar pentru orice x real nu putem vorbi de egalitate identică.
Dacă înlocuim o expresie cu alta, care este identic egală cu ea, atunci acest proces se numește transformare de identitate. Acest concept este foarte important și vom vorbi despre el în detaliu într-un material separat.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
