Dacă fiecare număr natural n potrivește un număr real un n , atunci ei spun că dat succesiune de numere :
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n , . . . .
Deci, o secvență numerică este o funcție a unui argument natural.
Număr A 1 numit primul membru al secvenței , număr A 2 — al doilea membru al secvenței , număr A 3 — al treilea si asa mai departe. Număr un n numit al n-lea membru al secvenței , și numărul natural n — numărul lui .
De la doi membri vecini un n și un n +1 secvențe de membri un n +1 numit ulterior (către un n ), A un n — anterior (către un n +1 ).
Pentru a specifica o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.
Adesea secvența este dată cu formule al n-lea termen , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al secvenței după numărul său.
De exemplu,
succesiunea numerelor impare pozitive poate fi dată prin formula
un n= 2n- 1,
iar succesiunea alternării 1 și -1 - formulă
b n = (-1)n +1 . ◄
Secvența poate fi determinată formulă recurentă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).
De exemplu,
dacă A 1 = 1 , A un n +1 = un n + 5
A 1 = 1,
A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
În cazul în care un a 1= 1, a 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 , atunci primii șapte membri ai secvenței numerice sunt setate după cum urmează:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,
A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Secvențele pot fi final și fără sfârşit .
Secvența este numită final dacă are un număr finit de membri. Secvența este numită fără sfârşit dacă are infinit de membri.
De exemplu,
succesiune de numere naturale din două cifre:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Succesiunea numerelor prime:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
fără sfârşit. ◄
Secvența este numită crescând , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât precedentul.
Secvența este numită în scădere , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât precedentul.
De exemplu,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . este o secvență ascendentă;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . este o secvență descendentă. ◄
Se numește o succesiune ale cărei elemente nu descresc odată cu creșterea numărului sau, dimpotrivă, nu cresc succesiune monotonă .
Secvențele monotone, în special, sunt secvențe crescătoare și secvențe descrescătoare.
Progresie aritmetică
Progresie aritmetică se numește o secvență, fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, la care se adaugă același număr.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n, . . .
este o progresie aritmetică dacă pentru orice număr natural n condiția este îndeplinită:
un n +1 = un n + d,
Unde d - un număr.
Astfel, diferența dintre membrii următori și anteriori ai unei progresii aritmetice date este întotdeauna constantă:
a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = . . . = un n +1 - un n = d.
Număr d numit diferența unei progresii aritmetice.
Pentru a seta o progresie aritmetică, este suficient să specificați primul său termen și diferența.
De exemplu,
dacă A 1 = 3, d = 4 , atunci primii cinci termeni ai secvenței se găsesc după cum urmează:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
A 5 = A 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Pentru o progresie aritmetică cu primul termen A 1 si diferenta d a ei n
un n = a 1 + (n- 1)d.
De exemplu,
găsiți al treizecilea termen al unei progresii aritmetice
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
un 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = a 1 + (n- 2)d,
un n= a 1 + (n- 1)d,
un n +1 = A 1 + nd,
atunci evident
| un n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
fiecare membru al progresiei aritmetice, incepand de la al doilea, este egal cu media aritmetica a membrilor anteriori si urmatori.
numerele a, b și c sunt membri consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ele este egal cu media aritmetică a celorlalte două.
De exemplu,
un n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.
Să folosim afirmația de mai sus. Avem:
un n = 2n- 7,
un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Prin urmare,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = un n,
|
| 2
| 2
|
◄
Rețineți că n -al-lea membru al unei progresii aritmetice poate fi găsit nu numai prin A 1 , dar și orice anterioară un k
un n = un k + (n- k)d.
De exemplu,
pentru A 5 poate fi scris
un 5 = a 1 + 4d,
un 5 = a 2 + 3d,
un 5 = a 3 + 2d,
un 5 = a 4 + d. ◄
un n = un n-k + kd,
un n = un n+k - kd,
atunci evident
| un n=
| A n-k
+a n+k
|
| 2
|
orice membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu jumătate din suma membrilor acestei progresii aritmetice distanțate egal de acesta.
În plus, pentru orice progresie aritmetică, egalitatea este adevărată:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
De exemplu,
în progresie aritmetică
1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;
2) 28 = un 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, deoarece
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ un n,
primul n membrii unei progresii aritmetice este egal cu produsul dintre jumătate din suma termenilor extremi cu numărul de termeni:
Din aceasta, în special, rezultă că dacă este necesar să se însumeze termenii
un k, un k +1 , . . . , un n,
atunci formula anterioară își păstrează structura:
De exemplu,
în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Dacă este dată o progresie aritmetică, atunci cantitățile A 1 , un n, d, nșiS n legate prin două formule:
Prin urmare, dacă sunt date valorile a trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.
O progresie aritmetică este o succesiune monotonă. în care:
- dacă d > 0 , atunci este în creștere;
- dacă d < 0 , atunci este în scădere;
- dacă d = 0 , atunci secvența va fi staționară.
Progresie geometrică
progresie geometrică se numește o secvență, al cărei termen, începând cu al doilea, este egal cu cel anterior, înmulțit cu același număr.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n condiția este îndeplinită:
b n +1 = b n · q,
Unde q ≠ 0 - un număr.
Astfel, raportul dintre următorul termen al acestei progresii geometrice și cel precedent este un număr constant:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Număr q numit numitorul unei progresii geometrice.
Pentru a seta o progresie geometrică, este suficient să specificați primul său termen și numitorul.
De exemplu,
dacă b 1 = 1, q = -3 , atunci primii cinci termeni ai secvenței se găsesc după cum urmează:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 și numitorul q a ei n -al-lea termen poate fi găsit prin formula:
b n = b 1 · q n -1 .
De exemplu,
găsiți al șaptelea termen al unei progresii geometrice 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
atunci evident
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
fiecare membru al progresiei geometrice, incepand de la al doilea, este egal cu media geometrica (proportionala) a membrilor anteriori si urmatori.
Întrucât este și inversul adevărat, următoarea afirmație este valabilă:
numerele a, b și c sunt membri consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ele este egal cu produsul celorlalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.
De exemplu,
să demonstrăm că succesiunea dată de formulă b n= -3 2 n , este o progresie geometrică. Să folosim afirmația de mai sus. Avem:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Prin urmare,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
care dovedeşte afirmaţia cerută. ◄
Rețineți că n al treilea termen al unei progresii geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 , dar și orice mandat anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula
b n = b k · q n - k.
De exemplu,
pentru b 5 poate fi scris
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
atunci evident
b n 2 = b n - k· b n + k
pătratul oricărui membru al unei progresii geometrice, începând de la al doilea, este egal cu produsul membrilor acestei progresii echidistante de acesta.
În plus, pentru orice progresie geometrică, egalitatea este adevărată:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
De exemplu,
exponenţial
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , deoarece
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
primul n membrii unei progresii geometrice cu numitor q ≠ 0 calculat prin formula:
Și atunci când q = 1 - conform formulei
S n= n.b. 1
Rețineți că dacă trebuie să însumăm termenii
b k, b k +1 , . . . , b n,
atunci se folosește formula:
| S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
De exemplu,
exponenţial 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Dacă este dată o progresie geometrică, atunci mărimile b 1 , b n, q, nși S n legate prin două formule:
Prin urmare, dacă sunt date valorile oricăror trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.
Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q au loc următoarele proprietăți de monotonitate :
- progresia crește dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
b 1 > 0 și q> 1;
b 1 < 0 și 0 < q< 1;
- O progresie este în scădere dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
b 1 > 0 și 0 < q< 1;
b 1 < 0 și q> 1.
În cazul în care un q< 0 , atunci progresia geometrică este alternantă de semne: termenii săi impari au același semn ca primul său termen, iar termenii pari au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.
Produsul primului n termenii unei progresii geometrice pot fi calculați prin formula:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
De exemplu,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progresie geometrică în scădere infinită
Progresie geometrică în scădere infinită se numește progresie geometrică infinită al cărei modul numitorului este mai mic decât 1 , acesta este
|q| < 1 .
Rețineți că o progresie geometrică infinit descrescătoare poate să nu fie o succesiune descrescătoare. Acest lucru se potrivește cazului
1 < q< 0 .
Cu un astfel de numitor, succesiunea este alternantă de semne. De exemplu,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare numiți numărul la care suma primului n termenii progresiei cu o creștere nelimitată a numărului n . Acest număr este întotdeauna finit și este exprimat prin formula
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
De exemplu,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relația dintre progresiile aritmetice și geometrice
Progresiile aritmetice și geometrice sunt strâns legate. Să luăm în considerare doar două exemple.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . d , apoi
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
De exemplu,
1, 3, 5, . . . — progresie aritmetică cu diferență 2 și
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . este o progresie geometrică cu numitor 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . este o progresie geometrică cu numitor q , apoi
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — progresie aritmetică cu diferență log aq .
De exemplu,
2, 12, 72, . . . este o progresie geometrică cu numitor 6 și
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — progresie aritmetică cu diferență lg 6 . ◄
Instruire
10, 30, 90, 270...
Este necesar să se găsească numitorul unei progresii geometrice.
Soluţie:
1 opțiune. Să luăm un membru arbitrar al progresiei (de exemplu, 90) și să-l împărțim la cel anterior (30): 90/30=3.
Dacă se cunoaște suma mai multor membri ai unei progresii geometrice sau suma tuturor membrilor unei progresii geometrice descrescătoare, atunci pentru a găsi numitorul progresiei, utilizați formulele adecvate:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), unde Sn este suma primilor n termeni ai progresiei geometrice și
S = b1/(1-q), unde S este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare (suma tuturor membrilor progresiei cu un numitor mai mic de unu).
Exemplu.
Primul termen al unei progresii geometrice descrescătoare este egal cu unu, iar suma tuturor termenilor săi este egală cu doi.
Este necesar să se determine numitorul acestei progresii.
Soluţie:
Înlocuiți datele din sarcină în formulă. Obține:
2=1/(1-q), de unde – q=1/2.
O progresie este o succesiune de numere. Într-o progresie geometrică, fiecare termen ulterior se obține prin înmulțirea celui precedent cu un anumit număr q, numit numitor al progresiei.
Instruire
Dacă se cunosc două membre învecinate ale geometricului b(n+1) și b(n), pentru a obține numitorul este necesară împărțirea numărului cu număr mare la cel care îl precede: q=b(n +1)/b(n). Aceasta rezultă din definiția progresiei și a numitorului acesteia. O condiție importantă este ca primul termen și numitorul progresiei să nu fie egale cu zero, altfel este considerat nedefinit.
Astfel, între membrii progresiei se stabilesc următoarele relații: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Prin formula b(n)=b1 q^(n-1) poate fi calculat orice membru al unei progresii geometrice, în care numitorul q și membrul b1 sunt cunoscuți. De asemenea, fiecare modulo de progresie este egal cu media membrilor săi vecini: |b(n)|=√, deci progresia are .
Un analog al unei progresii geometrice este cea mai simplă funcție exponențială y=a^x, unde x este în exponent, a este un număr. În acest caz, numitorul progresiei coincide cu primul termen și este egal cu numărul a. Valoarea funcției y poate fi înțeleasă ca al n-lea membru al progresiei, dacă argumentul x este luat ca număr natural n (contor).
Există pentru suma primilor n membri ai unei progresii geometrice: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Această formulă este valabilă pentru q≠1. Dacă q=1, atunci suma primilor n termeni se calculează prin formula S(n)=n b1. Apropo, progresia va fi numită crescătoare pentru q mai mare de unu și pozitiv b1. Când numitorul progresiei, modulo nu depășește unu, progresia se va numi descrescătoare.
Un caz special al unei progresii geometrice este o progresie geometrică infinit descrescătoare (b.u.g.p.). Faptul este că membrii unei progresii geometrice descrescătoare vor scădea din nou și din nou, dar nu vor ajunge niciodată la zero. În ciuda acestui fapt, este posibil să se găsească suma tuturor termenilor unei astfel de progresii. Se determină prin formula S=b1/(1-q). Numărul total de membri n este infinit.
Pentru a vizualiza cum puteți adăuga un număr infinit de numere și nu obține infinit, coaceți o prăjitură. Tăiați jumătate din ea. Apoi tăiați 1/2 din jumătate și așa mai departe. Piesele pe care le veți obține nu sunt altceva decât membri ai unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu un numitor de 1/2. Dacă puneți toate aceste bucăți împreună, obțineți tortul original.
Problemele de geometrie sunt un tip special de exercițiu care necesită gândire spațială. Dacă nu poți rezolva geometria sarcinăîncercați să respectați regulile de mai jos.
Instruire
Citiți cu atenție starea problemei, dacă nu vă amintiți sau nu înțelegeți ceva, recitiți-o din nou.
Încercați să determinați ce fel de probleme geometrice este vorba, de exemplu: de calcul, când trebuie să aflați o anumită valoare, sarcini pentru necesitatea unui lanț logic de raționament, sarcini pentru construirea folosind o busolă și o riglă. Probleme mai mixte. Odată ce v-ați dat seama de tipul de problemă, încercați să gândiți logic.
Aplicați teorema necesară pentru această problemă, dacă există îndoieli sau nu există deloc opțiuni, atunci încercați să vă amintiți teoria pe care ați studiat-o pe tema relevantă.
Faceți și o schiță a problemei. Încercați să utilizați metode cunoscute pentru a verifica corectitudinea soluției dvs.
Completați cu grijă rezolvarea problemei într-un caiet, fără pete și baraje, și cel mai important -. Poate că va dura timp și efort pentru a rezolva primele probleme geometrice. Cu toate acestea, odată ce ați înțeles acest proces, veți începe să faceți clic pe sarcini precum nuci și să vă distrați făcându-l!
O progresie geometrică este o succesiune de numere b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) astfel încât b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Cu alte cuvinte, fiecare membru al progresiei se obține din cel precedent înmulțindu-l cu vreun numitor diferit de zero al progresiei q.
Instruire
Problemele pe o progresie se rezolvă cel mai adesea prin compilarea și urmărirea unui sistem în raport cu primul termen al progresiei b1 și numitorul progresiei q. Pentru a scrie ecuații, este util să rețineți câteva formule.
Cum se exprimă al n-lea membru al progresiei prin primul membru al progresiei și numitorul progresiei: b(n)=b1*q^(n-1).
Luați în considerare separat cazul |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Să luăm în considerare o serie.
7 28 112 448 1792...
Este absolut clar că valoarea oricăruia dintre elementele sale este exact de patru ori mai mare decât cea precedentă. Deci această serie este o progresie.
O progresie geometrică este o succesiune infinită de numere, a cărei caracteristică principală este că următorul număr se obține din cel anterior prin înmulțirea cu un anumit număr. Aceasta este exprimată prin următoarea formulă.
a z +1 =a z q, unde z este numărul elementului selectat.
În consecință, z ∈ N.
Perioada în care o progresie geometrică este studiată la școală este clasa a 9-a. Exemplele vă vor ajuta să înțelegeți conceptul:
0.25 0.125 0.0625...
Pe baza acestei formule, numitorul progresiei poate fi găsit după cum urmează:
Nici q, nici b z nu pot fi zero. De asemenea, fiecare dintre elementele progresiei nu trebuie să fie egal cu zero.
În consecință, pentru a afla următorul număr din serie, trebuie să îl înmulțiți pe ultimul cu q.
Pentru a specifica această progresie, trebuie să specificați primul ei element și numitorul. După aceea, este posibil să găsiți oricare dintre termenii următori și suma lor.
Soiuri
În funcție de q și a 1, această progresie este împărțită în mai multe tipuri:
- Dacă atât a 1 cât și q sunt mai mari decât unu, atunci o astfel de secvență este o progresie geometrică care crește cu fiecare element următor. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.
Exemplu: a 1 =3, q=2 - ambii parametri sunt mai mari decât unul.
Apoi șirul numeric poate fi scris astfel:
3 6 12 24 48 ...
- Dacă |q| mai puțin de unu, adică înmulțirea cu ea este echivalentă cu împărțirea, atunci o progresie cu condiții similare este o progresie geometrică descrescătoare. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.
Exemplu: a 1 =6, q=1/3 - a 1 este mai mare decât unu, q este mai mic.
Apoi, succesiunea numerică poate fi scrisă după cum urmează:
6 2 2/3 ... - orice element este de 3 ori mai mare decât elementul care îl urmează.
- Variabila semnului. Dacă q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Exemplu: a 1 = -3 , q = -2 - ambii parametri sunt mai mici decât zero.
Apoi secvența poate fi scrisă astfel:
3, 6, -12, 24,...
Formule
Pentru utilizarea convenabilă a progresiilor geometrice, există multe formule:
- Formula membrului z. Vă permite să calculați elementul sub un anumit număr fără a calcula numerele anterioare.
Exemplu:q = 3, A 1 = 4. Este necesar să se calculeze al patrulea element al progresiei.
Soluţie:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Suma primelor elemente al căror număr este z. Vă permite să calculați suma tuturor elementelor unei secvențe până laa zinclusiv.
Din moment ce (1-q) este la numitor, atunci (1 - q)≠ 0, prin urmare q nu este egal cu 1.
Notă: dacă q=1, atunci progresia ar fi o serie de un număr care se repetă la infinit.
Suma unei progresii geometrice, exemple:A 1 = 2, q= -2. Calculați S 5 .
Soluţie:S 5 = 22 - calcul prin formula.
- Suma dacă |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Exemplu:A 1 = 2 , q= 0,5. Găsiți suma.
Soluţie:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Unele proprietăți:
- proprietate caracteristică. Dacă apare următoarea condiție efectuat pentru oricez, atunci seria de numere dată este o progresie geometrică:
a z 2 = a z -1 · Az+1
- De asemenea, pătratul oricărui număr al unei progresii geometrice se găsește prin adăugarea pătratelor oricăror alte două numere dintr-o serie dată, dacă acestea sunt echidistante de acest element.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Undeteste distanța dintre aceste numere.
- Elementediferă în qo singura data.
- Logaritmii elementelor de progresie formează și ele o progresie, dar deja aritmetică, adică fiecare dintre ele este mai mare decât precedentul cu un anumit număr.
Exemple de probleme clasice
Pentru a înțelege mai bine ce este o progresie geometrică, pot ajuta exemple cu o soluție pentru clasa a 9-a.
- Termeni:A 1 = 3, A 3 = 48. Găsițiq.
Soluție: fiecare element următor este mai mare decât cel anterior înq o singura data.Este necesară exprimarea unor elemente prin altele folosind un numitor.
Prin urmare,A 3 = q 2 · A 1
La înlocuireq= 4
- Termeni:A 2 = 6, A 3 = 12. Calculați S 6 .
Soluţie:Pentru a face acest lucru, este suficient să găsiți q, primul element și să îl înlocuiți în formulă.
A 3 = q· A 2 , Prin urmare,q= 2
a 2 = q a 1,de aceea a 1 = 3
S6 = 189
- · A 1 = 10, q= -2. Găsiți al patrulea element al progresiei.
Soluție: pentru a face acest lucru, este suficient să exprimați al patrulea element prin primul și prin numitor.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Exemplu de aplicare:
- Clientul băncii a făcut un depozit în valoare de 10.000 de ruble, în condițiile căreia în fiecare an clientul va adăuga 6% din aceasta la suma principală. Câți bani vor fi în cont după 4 ani?
Soluție: Suma inițială este de 10 mii de ruble. Deci, la un an de la investiție, contul va avea o sumă egală cu 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06
În consecință, suma din cont după un alt an va fi exprimată după cum urmează:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Adică în fiecare an suma crește de 1,06 ori. Aceasta înseamnă că pentru a găsi suma de fonduri în cont după 4 ani, este suficient să găsiți al patrulea element al progresiei, care este dat de primul element egal cu 10 mii, iar numitorul egal cu 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Exemple de sarcini pentru calcularea sumei:
În diverse probleme se folosește o progresie geometrică. Un exemplu pentru găsirea sumei poate fi dat după cum urmează:
A 1 = 4, q= 2, calculeazăS5.
Soluție: toate datele necesare pentru calcul sunt cunoscute, trebuie doar să le înlocuiți în formulă.
S 5 = 124
- A 2 = 6, A 3 = 18. Calculați suma primelor șase elemente.
Soluţie:
Geom. progresie, fiecare element următor este de q ori mai mare decât cel anterior, adică pentru a calcula suma, trebuie să cunoașteți elementulA 1 și numitorulq.
A 2 · q = A 3
q = 3
În mod similar, trebuie să găsimA 1 , știindA 2 șiq.
A 1 · q = A 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Matematica este ceea ceoamenii controlează natura și pe ei înșiși.
Matematicianul sovietic, academicianul A.N. Kolmogorov
Progresie geometrică.
Alături de sarcinile pentru progresii aritmetice, sarcinile legate de conceptul de progresie geometrică sunt, de asemenea, frecvente la testele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile unei progresii geometrice și să aveți bune abilități în utilizarea lor.
Acest articol este dedicat prezentării principalelor proprietăți ale unei progresii geometrice. De asemenea, oferă exemple de rezolvare a unor probleme tipice, împrumutat din sarcinile probelor de admitere la matematică.
Să notăm în prealabil principalele proprietăți ale unei progresii geometrice și să amintim cele mai importante formule și enunțuri, asociat cu acest concept.
Definiție. O succesiune numerică se numește progresie geometrică dacă fiecare dintre numerele sale, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, înmulțit cu același număr. Numărul se numește numitorul unei progresii geometrice.
Pentru o progresie geometricăformulele sunt valabile
, (1)
Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii geometrice, iar formula (2) este proprietatea principală a unei progresii geometrice: fiecare membru al progresiei coincide cu media geometrică a membrilor săi învecinați și .
Notă, că tocmai din cauza acestei proprietăţi progresia în cauză se numeşte „geometrică”.
Formulele (1) și (2) de mai sus sunt rezumate după cum urmează:
, (3)
Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii geometricese aplica formula
Dacă desemnăm
Unde . Deoarece , formula (6) este o generalizare a formulei (5).
În cazul când și progresie geometricăeste în scădere infinită. Pentru a calcula sumadintre toți membrii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, se utilizează formula
. (7)
De exemplu , folosind formula (7), se poate arăta, ce
Unde . Aceste egalități se obțin din formula (7) cu condiția ca , (prima egalitate) și , (a doua egalitate).
Teorema. Daca atunci
Dovada. Daca atunci ,
Teorema a fost demonstrată.
Să trecem la luarea în considerare a exemplelor de rezolvare a problemelor pe tema „Progresiune geometrică”.
Exemplul 1 Având în vedere: , și . Găsi .
Soluţie. Dacă se aplică formula (5), atunci
Răspuns: .
Exemplul 2 Lasă și . Găsi .
Soluţie. Deoarece și , folosim formulele (5), (6) și obținem sistemul de ecuații
Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită la prima, apoi sau . Din aceasta rezultă . Să luăm în considerare două cazuri.
1. Dacă , atunci din prima ecuație a sistemului (9) avem.
2. Dacă , atunci .
Exemplul 3 Să , și . Găsi .
Soluţie. Din formula (2) rezultă că sau . De când , atunci sau .
După condiție. Cu toate acestea , prin urmare . Pentru că și, atunci aici avem un sistem de ecuații
Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită la prima, atunci sau .
Deoarece , ecuația are o singură rădăcină adecvată . În acest caz, prima ecuație a sistemului implică .
Ținând cont de formula (7), obținem.
Răspuns: .
Exemplul 4 Având în vedere: și . Găsi .
Soluţie. De atunci .
Pentru că, atunci sau
Conform formulei (2), avem . În acest sens, din egalitatea (10) obținem sau .
Cu toate acestea, prin condiție, prin urmare.
Exemplul 5 Se știe că . Găsi .
Soluţie. Conform teoremei, avem două egalități
De când , atunci sau . Pentru că atunci .
Răspuns: .
Exemplul 6 Având în vedere: și . Găsi .
Soluţie.Ținând cont de formula (5), obținem
De atunci . De când , și , atunci .
Exemplul 7 Lasă și . Găsi .
Soluţie. Conform formulei (1), putem scrie
Prin urmare, avem sau . Se știe că și , prin urmare și .
Răspuns: .
Exemplul 8 Aflați numitorul unei progresii geometrice descrescătoare infinite dacă
și .
Soluţie. Din formula (7) rezultăși . De aici și din starea problemei, obținem sistemul de ecuații
Dacă prima ecuație a sistemului este la pătrat, și apoi împărțiți ecuația rezultată la a doua ecuație, apoi primim
Sau .
Răspuns: .
Exemplul 9 Găsiți toate valorile pentru care șirul , , este o progresie geometrică.
Soluţie. Să , și . Conform formulei (2), care definește proprietatea principală a unei progresii geometrice, putem scrie sau .
De aici obținem ecuația pătratică, ale căror rădăcini suntși .
Să verificăm: dacă, apoi , și ; dacă , atunci , și .
În primul caz avemși , iar în al doilea - și .
Răspuns: , .
Exemplul 10rezolva ecuatia
, (11)
unde si .
Soluţie. Partea stângă a ecuației (11) este suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite, în care și , cu condiția: și .
Din formula (7) rezultă, ce . În acest sens, ecuația (11) ia forma sau . rădăcină potrivită ecuația pătratică este
Răspuns: .
Exemplul 11. P succesiune de numere pozitiveformează o progresie aritmetică, A - progresie geometrică, ce legatura are cu . Găsi .
Soluţie. pentru că succesiune aritmetică, apoi (proprietatea principală a unei progresii aritmetice). Pentru că, apoi sau . Asta implică , că progresia geometrică este. Conform formulei (2), apoi scriem asta .
De când și , atunci . În acest caz, expresia ia forma sau . După condiție, deci din ecuațieobţinem soluţia unică a problemei luate în considerare, adică .
Răspuns: .
Exemplul 12. Calculați suma
. (12)
Soluţie. Înmulțiți ambele părți ale egalității (12) cu 5 și obțineți
Dacă scădem (12) din expresia rezultată, apoi
sau .
Pentru a calcula, înlocuim valorile în formula (7) și obținem . De atunci .
Răspuns: .
Exemplele de rezolvare a problemelor prezentate aici vor fi utile candidaților în pregătirea examenelor de admitere. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, asociat cu o progresie geometrică, puteți folosi tutorialele din lista de literatură recomandată.
1. Culegere de sarcini la matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.
3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în sarcini și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. - 208 p.
Aveti vreo intrebare?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Progresia geometrică, împreună cu aritmetica, este o serie de numere importantă care este studiată în cursul școlar de algebră din clasa a 9-a. În acest articol, vom lua în considerare numitorul unei progresii geometrice și modul în care valoarea acesteia îi afectează proprietățile.
Definiţia geometric progression
Pentru început, dăm definiția acestei serii de numere. O progresie geometrică este o serie de numere raționale care se formează prin înmulțirea succesivă a primului său element cu un număr constant numit numitor.
De exemplu, numerele din seria 3, 6, 12, 24, ... sunt o progresie geometrică, deoarece dacă înmulțim 3 (primul element) cu 2, obținem 6. Dacă înmulțim 6 cu 2, obținem 12 și așa mai departe.
Membrii secvenței luate în considerare sunt de obicei notați cu simbolul ai, unde i este un număr întreg care indică numărul elementului din serie.
Definiția de mai sus a unei progresii poate fi scrisă în limbajul matematicii astfel: an = bn-1 * a1, unde b este numitorul. Este ușor să verificăm această formulă: dacă n = 1, atunci b1-1 = 1 și obținem a1 = a1. Dacă n = 2, atunci an = b * a1 și ajungem din nou la definiția seriei de numere luate în considerare. Raționament similar poate fi continuat pentru valori mari ale lui n.
Numitorul unei progresii geometrice
Numărul b determină complet ce caracter va avea întreaga serie de numere. Numitorul b poate fi pozitiv, negativ sau mai mare sau mai mic decât unu. Toate opțiunile de mai sus conduc la secvențe diferite:
- b > 1. Există o serie crescândă de numere raţionale. De exemplu, 1, 2, 4, 8, ... Dacă elementul a1 este negativ, atunci întreaga secvență va crește doar modulo, dar va scădea ținând cont de semnul numerelor.
- b = 1. Adesea un astfel de caz nu se numește progresie, deoarece există o serie obișnuită de numere raționale identice. De exemplu, -4, -4, -4.
Formula pentru suma
Înainte de a trece la examinarea problemelor specifice folosind numitorul tipului de progresie luat în considerare, ar trebui dată o formulă importantă pentru suma primelor sale n elemente. Formula este: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Puteți obține această expresie singur dacă luați în considerare o secvență recursivă de membri ai progresiei. De asemenea, rețineți că în formula de mai sus este suficient să cunoașteți doar primul element și numitorul pentru a găsi suma unui număr arbitrar de termeni.
Secvență infinit descrescătoare
Mai sus a fost o explicație a ceea ce este. Acum, cunoscând formula pentru Sn, să o aplicăm acestei serii de numere. Deoarece orice număr al cărui modul nu depășește 1 tinde spre zero atunci când este ridicat la puteri mari, adică b∞ => 0 dacă -1
Deoarece diferența (1 - b) va fi întotdeauna pozitivă, indiferent de valoarea numitorului, semnul sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare S∞ este determinat în mod unic de semnul primului său element a1.
Acum vom lua în considerare câteva probleme, în care vom arăta cum să aplicăm cunoștințele dobândite unor numere specifice.
Sarcina numărul 1. Calculul elementelor necunoscute ale progresiei și ale sumei
Având în vedere o progresie geometrică, numitorul progresiei este 2, iar primul său element este 3. Care va fi al 7-lea și al 10-lea termen și care este suma celor șapte elemente inițiale?
Starea problemei este destul de simplă și implică utilizarea directă a formulelor de mai sus. Deci, pentru a calcula elementul cu numărul n, folosim expresia an = bn-1 * a1. Pentru al 7-lea element avem: a7 = b6 * a1, înlocuind datele cunoscute, obținem: a7 = 26 * 3 = 192. Facem același lucru pentru al 10-lea membru: a10 = 29 * 3 = 1536.
Folosim formula binecunoscută pentru sumă și determinăm această valoare pentru primele 7 elemente ale seriei. Avem: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Sarcina numărul 2. Determinarea sumei elementelor arbitrare ale progresiei
Fie -2 numitorul progresiei exponențiale bn-1 * 4, unde n este un număr întreg. Este necesar să se determine suma de la al 5-lea la al 10-lea element din această serie, inclusiv.
Problema pusă nu poate fi rezolvată direct folosind formule cunoscute. Poate fi rezolvată în 2 moduri diferite. De dragul completității, le prezentăm pe ambele.
Metoda 1. Ideea sa este simplă: trebuie să calculați cele două sume corespunzătoare ale primilor termeni, apoi să scădeți pe celălalt dintr-unul. Calculați suma mai mică: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Acum calculăm suma mare: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Rețineți că în ultima expresie au fost însumați doar 4 termeni, deoarece al 5-lea este deja inclus în suma care trebuie calculată în funcție de starea problemei. În cele din urmă, luăm diferența: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Înainte de a înlocui numerele și de a număra, puteți obține o formulă pentru suma dintre termenii m și n ai seriei în cauză. Acționăm exact la fel ca în metoda 1, doar că lucrăm mai întâi cu reprezentarea simbolică a sumei. Avem: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puteți înlocui numere cunoscute în expresia rezultată și puteți calcula rezultatul final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Sarcina numărul 3. Care este numitorul?
Fie a1 = 2, găsiți numitorul progresiei geometrice, cu condiția ca suma sa infinită să fie 3 și se știe că aceasta este o serie descrescătoare de numere.
În funcție de starea problemei, nu este greu de ghicit ce formulă ar trebui utilizată pentru a o rezolva. Desigur, pentru suma unei progresii infinit descrescătoare. Avem: S∞ = a1 / (1 - b). De unde exprimăm numitorul: b = 1 - a1 / S∞. Rămâne să înlocuiți valorile cunoscute și să obțineți numărul necesar: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 sau -0,333 (3). Putem verifica acest rezultat calitativ dacă ne amintim că pentru acest tip de secvență, modulul b nu trebuie să depășească 1. După cum puteți vedea, |-1 / 3|
Sarcina numărul 4. Restaurarea unei serii de numere
Să fie date 2 elemente dintr-o serie de numere, de exemplu, al 5-lea este egal cu 30 și al 10-lea este egal cu 60. Este necesar să restabilim întreaga serie din aceste date, știind că satisface proprietățile unei progresii geometrice.
Pentru a rezolva problema, trebuie mai întâi să scrieți expresia corespunzătoare pentru fiecare membru cunoscut. Avem: a5 = b4 * a1 și a10 = b9 * a1. Acum împărțim a doua expresie la prima, obținem: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. De aici determinăm numitorul luând rădăcina de gradul cinci a raportului membrilor cunoscut din condiția problemei, b = 1,148698. Înlocuim numărul rezultat într-una dintre expresiile unui element cunoscut, obținem: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Astfel, am găsit care este numitorul progresiei bn, iar progresia geometrică bn-1 * 17,2304966 = an, unde b = 1,148698.
Unde se folosesc progresiile geometrice?
Dacă nu ar exista o aplicare a acestei serii numerice în practică, atunci studiul ei s-ar reduce la un interes pur teoretic. Dar există o astfel de aplicație.
Cele mai cunoscute 3 exemple sunt enumerate mai jos:
- Paradoxul lui Zenon, în care agilul Ahile nu poate ajunge din urmă cu broasca țestoasă lentă, este rezolvat folosind conceptul unei secvențe de numere infinit descrescătoare.
- Dacă boabele de grâu sunt plasate pe fiecare celulă a tablei de șah, astfel încât 1 bob să fie plasat pe prima celulă, 2 - pe a 2-a, 3 - pe a 3-a și așa mai departe, atunci vor fi necesare 18446744073709551615 boabe pentru a umple toate celulele tabla!
- În jocul „Tower of Hanoi”, pentru a rearanja discurile de la o tijă la alta, este necesar să efectuați 2n - 1 operații, adică numărul lor crește exponențial de la numărul de discuri n utilizate.
