Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Derivacija prirodnog logaritma od x jednaka je jedan podijeljeno s x:
(1) (ln x)′ =.

Derivacija logaritma na bazu a jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom x pomnoženom s prirodnim logaritmom od a:
(2) (log a x)′ =.

Dokaz

Neka postoji neki pozitivan broj koji nije jednak jedan. Razmotrimo funkciju koja ovisi o varijabli x, koja je logaritam baze:
.
Ova je funkcija definirana na . Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Da bismo to učinili, moramo znati sljedeće činjenice:
A) Svojstva logaritma. Trebat će nam sljedeće formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet logaritma i svojstvo limita za kontinuiranu funkciju:
(7) .
Ovdje je funkcija koja ima limit i taj limit je pozitivan.
U) Značenje druge izvanredne granice:
(8) .

Primijenimo ove činjenice do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Da bismo to učinili, primijenimo svojstva (4) i (5).

.

Iskoristimo svojstvo (7) i drugu izvanrednu granicu (8):
.

I konačno, primjenjujemo svojstvo (6):
.
Logaritam prema bazi e nazvao prirodni logaritam. Označava se na sljedeći način:
.
Zatim ;
.

Tako smo dobili formulu (2) za derivaciju logaritma.

Derivacija prirodnog logaritma

Još jednom ispisujemo formulu za derivaciju logaritma na bazi a:
.
Ova formula ima najjednostavniji oblik za prirodni logaritam, za koji je , . Zatim
(1) .

Zbog ove jednostavnosti, prirodni logaritam se vrlo široko koristi u matematičkoj analizi iu drugim granama matematike koje se odnose na diferencijalni račun. Logaritamske funkcije s drugim bazama mogu se izraziti u terminima prirodnog logaritma pomoću svojstva (6):
.

Derivacija logaritma s obzirom na bazu može se pronaći iz formule (1), ako konstantu izvadite iz znaka diferencijacije:
.

Drugi načini dokazivanja derivacije logaritma

Ovdje pretpostavljamo da znamo formulu za derivaciju eksponencijala:
(9) .
Tada možemo izvesti formulu za izvod prirodnog logaritma, s obzirom da je logaritam inverzna funkcija eksponencijala.

Dokažimo formulu za izvod prirodnog logaritma, primjenom formule za izvod inverzne funkcije:
.
U našem slučaju. Funkcija inverzna prirodnom logaritmu je eksponencijalna:
.
Njegov derivat je određen formulom (9). Varijable se mogu označiti bilo kojim slovom. U formuli (9) zamijenite varijablu x s ​​y:
.
Od tad
.
Zatim
.
Formula je dokazana.

Sada ćemo dokazati formulu za izvod prirodnog logaritma pomoću pravila za razlikovanje složenih funkcija. Budući da su funkcije i inverzne jedna drugoj, onda
.
Razlikujmo ovu jednadžbu s obzirom na varijablu x:
(10) .
Derivacija od x jednaka je jedan:
.
Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija:
.
ovdje . Zamijenimo u (10):
.
Odavde
.

Primjer

Pronađite izvedenice od U 2x, U 3x I lnnx.

Riješenje

Izvorne funkcije imaju sličan oblik. Stoga ćemo pronaći izvod funkcije y = log nx. Zatim zamijenimo n = 2 i n = 3. I, tako, dobivamo formule za derivate U 2x I U 3x .

Dakle, tražimo izvod funkcije
y = log nx .
Zamislimo ovu funkciju kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
1) Funkcije ovisne o varijabli: ;
2) Funkcije ovisne o varijabli: .
Tada je izvorna funkcija sastavljena od funkcija i :
.

Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađimo izvod funkcije s obzirom na varijablu:
.
Primjenjujemo formulu za izvod složene funkcije.
.
Ovdje smo ga postavili.

Tako smo pronašli:
(11) .
Vidimo da derivacija ne ovisi o n. Ovaj rezultat je sasvim prirodan ako transformiramo izvornu funkciju pomoću formule za logaritam umnoška:
.
- ovo je konstanta. Njegova derivacija je nula. Tada prema pravilu diferenciranja zbroja imamo:
.

Odgovor

; ; .

Derivacija logaritma modula x

Nađimo izvod još jedne vrlo važne funkcije - prirodnog logaritma modula x:
(12) .

Razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
.
Njegov derivat je određen formulom (1):
.

Razmotrimo sada slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
,
Gdje .
Ali također smo pronašli izvod ove funkcije u gornjem primjeru. Ne ovisi o n i jednako je
.
Zatim
.

Kombiniramo ova dva slučaja u jednu formulu:
.

Prema tome, za logaritam na bazi a imamo:
.

Derivacije viših redova prirodnog logaritma

Razmotrite funkciju
.
Našli smo njegovu derivaciju prvog reda:
(13) .

Nađimo izvod drugog reda:
.
Nađimo izvod trećeg reda:
.
Nađimo izvod četvrtog reda:
.

Možete primijetiti da izvod n-tog reda ima oblik:
(14) .
Dokažimo to matematičkom indukcijom.

Dokaz

Zamijenimo vrijednost n = 1 u formulu (14):
.
Budući da je , onda kada je n = 1 , vrijedi formula (14).

Pretpostavimo da je formula (14) zadovoljena za n = k. Dokažimo da ovo implicira da formula vrijedi za n = k + 1 .

Doista, za n = k imamo:
.
Diferenciraj s obzirom na varijablu x:

.
Pa smo dobili:
.
Ova formula se podudara s formulom (14) za n = k + 1 . Dakle, iz pretpostavke da formula (14) vrijedi za n = k, slijedi da formula (14) vrijedi za n = k + 1 .

Stoga formula (14), za derivaciju n-tog reda, vrijedi za bilo koji n.

Derivacije viših redova logaritma na bazu a

Da biste pronašli izvod logaritma n-tog reda na bazu a, morate ga izraziti u smislu prirodnog logaritma:
.
Primjenom formule (14) nalazimo n-tu derivaciju:
.

Složene izvedenice. Logaritamska derivacija.
Derivacija potencne eksponencijalne funkcije

Nastavljamo poboljšavati našu tehniku ​​razlikovanja. U ovoj lekciji ćemo učvrstiti pređeno gradivo, pogledati složenije izvode, a također se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebice s logaritamskim izvodom.

Oni čitatelji koji imaju nisku razinu pripreme trebali bi se obratiti članku Kako pronaći izvedenicu? Primjeri rješenja, koji će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivacija složene funkcije, razumjeti i riješiti svi primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je savladate pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzeti stav “Gdje drugdje? Dosta je!”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivacija složene funkcije Pogledali smo brojne primjere s detaljnim komentarima. Tijekom proučavanja diferencijalnog računa i drugih grana matematičke analize, morat ćete vrlo često razlikovati, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek potrebno) opisivati ​​primjere u detalje. Stoga ćemo usmeno vježbati pronalaženje izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferenciranja složenih funkcija :

Kod budućeg proučavanja drugih matan tema najčešće nije potrebna tako detaljna evidencija, pretpostavlja se da student zna pronaći takve izvedenice na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutro zazvonio telefon i ugodan glas upitao: "Kolika je derivacija tangensa dva X-a?" Ovo bi trebao biti popraćen gotovo trenutnim i pristojnim odgovorom: .

Prvi primjer bit će odmah namijenjen za samostalno rješavanje.

Primjer 1

Pronađi usmeno, jednom radnjom, sljedeće izvedenice, npr.: . Za dovršenje zadatka trebate samo koristiti tablica izvodnica elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem ponovno čitanje lekcije Derivacija složene funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složene izvedenice

Nakon preliminarne topničke pripreme, primjeri s 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje strašni. Sljedeća dva primjera mogu se nekome činiti kompliciranima, ali ako ih razumijete (netko će patiti), onda će vam se gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu činiti kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već navedeno, pri pronalaženju izvoda složene funkcije, prije svega, potrebno je Pravo RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost "x", na primjer, i pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) zamijeniti tu vrijednost u "užasan izraz".

1) Prvo moramo izračunati izraz, što znači da je zbroj najdublje uloženje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim kubirajte kosinus:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema najunutarnjoj. Mi odlučujemo:

Čini se da nema grešaka...

(1) Izvadite kvadratni korijen.

(2) Derivaciju razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivacija trojke je nula. U drugom članu uzimamo izvod stupnja (kocke).

(4) Uzmite derivaciju kosinusa.

(5) Uzmite derivaciju logaritma.

(6) I na kraju, uzimamo izvod najdublje uklopljenosti.

Možda se čini preteškim, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, zbirku Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analizirane izvedenice. Primijetio sam da sličnu stvar vole dati na ispitu kako bi provjerili razumije li student kako pronaći izvod složene funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer je za vas da sami riješite.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da prijeđemo na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje umnožak ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju umnoška tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo gledamo, je li moguće umnožak tri funkcije pretvoriti u umnožak dviju funkcija? Na primjer, ako imamo dva polinoma u umnošku, tada bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra sve su funkcije različite: stupanj, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima potrebno je sekvencijalno primijeniti pravilo razlikovanja proizvoda dvaput

Trik je u tome što s "y" označavamo umnožak dviju funkcija: , a s "ve" označavamo logaritam: . Zašto se to može učiniti? Je li stvarno – ovo nije produkt dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplicirano:

Sada ostaje primijeniti pravilo drugi put u zagradu:

Također se možete uvrnuti i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju bolje je ostaviti odgovor točno u ovom obliku - lakše ćete ga provjeriti.

Razmatrani primjer može se riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno jednaka.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješenje, u uzorku je riješeno prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere s razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Postoji nekoliko načina na koje možete doći ovdje:

Ili ovako:

No rješenje će biti kompaktnije napisano ako prvo upotrijebimo pravilo diferenciranja kvocijenta , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako ostane takav, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli može li se odgovor pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i riješimo se trokatnice frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od pogreške ne pri pronalaženju izvedenice, već tijekom banalnih školskih transformacija. S druge strane, učitelji često odbijaju zadatak i traže da se izvedenica “dosjeti pameti”.

Jednostavniji primjer za samostalno rješavanje:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo svladavati metode pronalaženja derivata, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada je "strašni" logaritam predložen za diferencijaciju

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah baci u malodušnost - morate uzeti neugodnu izvedenicu iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zato prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, najprije se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule izravno tamo. Ako nemate bilježnicu, prepišite ih na list papira, budući da će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje može se napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se za diferencijaciju predlaže sličan logaritam, uvijek ga je preporučljivo "raščlaniti".

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori su na kraju lekcije.

Logaritamska derivacija

Ako je derivat logaritama tako slatka glazba, onda se postavlja pitanje: je li moguće u nekim slučajevima umjetno organizirati logaritam? Limenka! Pa čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. Što uraditi? Možete redom primijeniti pravilo diferenciranja kvocijenta, a zatim pravilo diferenciranja umnoška. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete golemu trokatnicu, s kojom uopće ne želite imati posla.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamska derivacija. Logaritmi se mogu organizirati umjetno tako da se "okače" s obje strane:

Bilješka : jer funkcija može imati negativne vrijednosti, onda, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, prihvatljiv je i trenutni dizajn, koji je prema zadanim postavkama uzet u obzir kompleks značenja. Ali ako u svoj strogosti, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu da.

Sada morate "rastaviti" logaritam desne strane što je više moguće (formule pred vašim očima?). Opisat ću ovaj proces vrlo detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod prajmom:

Izvedenica desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati jer ako čitate ovaj tekst trebali biste se s njom sigurno snaći.

Što je s lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: "Zašto, postoji li jedno slovo "Y" ispod logaritma?"

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - SAM JE FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivacija implicitno navedene funkcije). Stoga je logaritam vanjska funkcija, a "y" je unutarnja funkcija. I koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao čarolijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se prisjetimo o kakvoj smo funkciji "igrača" govorili tijekom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ogledni dizajn primjera ove vrste nalazi se na kraju lekcije.

Pomoću logaritamske derivacije bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su funkcije tamo jednostavnije, a možda uporaba logaritamske derivacije nije baš opravdana.

Derivacija potencne eksponencijalne funkcije

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Power-eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stupanj i baza ovise o "x". Klasičan primjer koji će vam se dati u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći derivaciju eksponencijalne funkcije?

Potrebno je koristiti tehniku ​​o kojoj smo upravo govorili - logaritamsku derivaciju. Objesimo logaritme s obje strane:

U pravilu se na desnoj strani stupanj vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo produkt dviju funkcija, koje ćemo razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo derivat; da bismo to učinili, oba dijela stavljamo ispod poteza:

Daljnje radnje su jednostavne:

Konačno:

Ako neka pretvorba nije posve jasna, molimo ponovno pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim zadacima potencna eksponencijalna funkcija uvijek će biti kompliciranija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamsku derivaciju.

Na desnoj strani imamo konstantu i umnožak dva faktora - “x” i “logaritam logaritma x” (još jedan logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Kod diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je konstantu odmah maknuti iz predznaka izvoda da ne smeta; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :

Pri diferenciranju funkcija eksponencijalne snage ili glomaznih frakcijskih izraza prikladno je koristiti logaritamsku derivaciju. U ovom članku ćemo pogledati primjere njegove primjene s detaljnim rješenjima.

Daljnje izlaganje podrazumijeva sposobnost korištenja tablice derivacija, pravila diferenciranja i poznavanje formule za derivaciju složene funkcije.

Derivacija formule za logaritamsku derivaciju.

Prvo uzimamo logaritme s bazom e, pojednostavljujemo oblik funkcije koristeći svojstva logaritma, a zatim pronalazimo derivaciju implicitno navedene funkcije:

Na primjer, pronađimo derivaciju eksponencijalne potencije x na potenciju x.

Uzimanje logaritma daje . Prema svojstvima logaritma. Razlikovanje obje strane jednakosti dovodi do rezultata:

Odgovor: .

Isti primjer može se riješiti bez korištenja logaritamske derivacije. Možete provesti neke transformacije i prijeći s diferencijacije eksponencijalne funkcije snage na pronalaženje derivacije složene funkcije:

Primjer.

Pronađite izvod funkcije .

Riješenje.

U ovom primjeru funkcija je razlomak i njegova se derivacija može pronaći korištenjem pravila diferenciranja. Ali zbog glomaznosti izraza, to će zahtijevati mnoge transformacije. U takvim slučajevima, razumnije je koristiti formulu logaritamske derivacije . Zašto? Sad ćeš razumjeti.

Prvo ga pronađimo. U transformacijama ćemo koristiti svojstva logaritma (logaritam razlomka jednak je razlici logaritama, a logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama, a stupanj izraza ispod znaka logaritma može se uzeti kao koeficijent ispred logaritma):

Ove transformacije dovele su nas do prilično jednostavnog izraza čiju je izvedenicu lako pronaći:

Dobiveni rezultat zamijenimo formulom za logaritamsku derivaciju i dobijemo odgovor:

Da bismo konsolidirali materijal, dat ćemo još nekoliko primjera bez detaljnih objašnjenja.

Primjer.

Nađite derivaciju eksponencijalne potencije

Osjećate li da ima još puno vremena do ispita? Je li ovo mjesec dana? Dva? Godina? Praksa pokazuje da se student najbolje nosi s ispitom ako se za njega počne pripremati unaprijed. Postoji mnogo teških zadataka na Jedinstvenom državnom ispitu koji stoje na putu školarcima i budućim kandidatima do najviših bodova. Morate naučiti prevladati te prepreke, a osim toga, to nije teško učiniti. Morate razumjeti princip rada s raznim zadacima iz ulaznica. Tada neće biti problema s novima.

Logaritmi na prvi pogled izgledaju nevjerojatno složeni, no detaljnom analizom situacija postaje puno jednostavnija. Ako želite položiti jedinstveni državni ispit s najvišom ocjenom, trebali biste razumjeti dotični koncept, što predlažemo u ovom članku.

Prvo, razdvojimo ove definicije. Što je logaritam (log)? Ovo je pokazatelj snage na koju se baza mora podići da bi se dobio navedeni broj. Ako nije jasno, pogledajmo elementarni primjer.

U ovom slučaju, baza na dnu mora biti podignuta na drugu potenciju da bi se dobio broj 4.

Sada pogledajmo drugi koncept. Derivacija funkcije u bilo kojem obliku je pojam koji karakterizira promjenu funkcije u danoj točki. No, radi se o školskom kurikulumu i ako imate problema s ovim pojmovima pojedinačno, vrijedi ponoviti temu.

Derivacija logaritma

U zadacima Jedinstvenog državnog ispita na ovu temu možete dati nekoliko zadataka kao primjer. Za početak, najjednostavniji logaritamski izvod. Potrebno je pronaći derivaciju sljedeće funkcije.

Moramo pronaći sljedeći izvod

Postoji posebna formula.

U ovom slučaju x=u, log3x=v. Vrijednosti iz naše funkcije zamijenimo u formulu.

Derivacija x bit će jednaka jedan. Logaritam je malo teži. Ali ćete razumjeti princip ako jednostavno zamijenite vrijednosti. Podsjetimo se da je derivacija od lg x derivacija decimalnog logaritma, a derivacija od ln x je derivacija prirodnog logaritma (na temelju e).

Sada samo uključite dobivene vrijednosti u formulu. Pokušajte sami, pa ćemo provjeriti odgovor.

Što bi tu nekima mogao biti problem? Uveli smo pojam prirodnog logaritma. Razgovarajmo o tome, au isto vrijeme smislimo kako s njim riješiti probleme. Nećete vidjeti ništa komplicirano, pogotovo kada razumijete načelo njegovog rada. Trebalo bi se naviknuti na njega, jer se često koristi u matematici (još više u visokoškolskim ustanovama).

Derivacija prirodnog logaritma

U svojoj srži, to je derivacija logaritma s bazom e (što je iracionalan broj koji iznosi približno 2,7). Zapravo, ln je vrlo jednostavan, pa se često koristi u matematici općenito. Zapravo, niti riješiti problem s njim neće biti problem. Vrijedno je zapamtiti da će derivacija prirodnog logaritma na bazu e biti jednaka jedan podijeljeno s x. Najviše će otkriti rješenje sljedećeg primjera.

Zamislimo to kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije jednostavne.

Dovoljno je pretvoriti

Tražimo derivaciju od u u odnosu na x