Instrucțiuni
Folosiți Pi pentru a găsi raza pe baza zonei cunoscute a cercului. Această constantă stabilește proporția dintre diametrul cercului și lungimea chenarului său (cerc). Lungimea unui cerc este aria maximă a unui plan care poate fi acoperită cu el, iar diametrul este egal cu două raze, prin urmare, aria cu raza se corelează și ele cu o proporție care poate fi exprimată prin numărul Pi. Această constantă (π) este definită ca aria (S) și raza pătrată (r) a cercului. Rezultă din aceasta că raza poate fi exprimată ca rădăcina pătrată a coeficientului de împărțire a ariei la numărul Pi: r = √ (S / π).
Multă vreme, Erastofen a condus Biblioteca Alexandriei, cea mai renumită bibliotecă din lumea antică. Pe lângă calculul dimensiunii planetei noastre, el a făcut o serie de invenții și descoperiri importante. El a inventat o metodă simplă pentru determinarea numerelor prime, numită acum „sita Erastofen”.
El a desenat o „hartă a lumii” în care arăta toate părțile lumii cunoscute grecilor antici în acea perioadă. Harta a fost considerată una dintre cele mai bune pentru timpul său. Dezvoltarea unui sistem de longitudine și latitudine și un calendar care a inclus ani bisecți. A inventat sfera armilară, un dispozitiv mecanic folosit de astronomii timpurii pentru a demonstra și prezice mișcarea aparentă a stelelor pe cer. De asemenea, a compilat un catalog stelar de 675 de stele.
Surse:
- Omul de știință grec Eratostene din Cirena a calculat raza Pământului pentru prima dată în lume
- Eratostene „Calculul circumferinței Pământului”
- Eratostene
Un cerc este o colecție vizibilă de multe puncte care se află la aceeași distanță de centru. Pentru a-i găsi aria, trebuie să știți care sunt raza, diametrul, numărul π și circumferința.
Cantitățile implicate în calcularea ariei unui cerc
Distanța delimitată de punctul central al cercului și de oricare dintre punctele cercului se numește raza acestei figuri geometrice. Lungimile tuturor razelor unui cerc sunt aceleași. Segmentul dintre oricare 2 puncte ale cercului care trece prin punctul central se numește diametru. Lungimea diametrului este egală cu lungimea razei de 2.
Pentru a calcula aria unui cerc, utilizați valoarea π. Această valoare este egală cu raportul dintre circumferință și lungimea diametrului cercului și are o valoare constantă. Π = 3,1415926. Circumferința este calculată prin formula L = 2πR.
Găsiți zona unui cerc prin rază
Prin urmare, aria unui cerc este egală cu produsul numărului π de raza cercului, ridicat la puterea 2. De exemplu, să luăm lungimea razei cercului egală cu 5 cm. Atunci aria cercului S va fi egală cu 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 metri pătrați. cm.
Aria unui cerc prin diametru
Aria unui cerc poate fi calculată și prin cunoașterea mărimii diametrului cercului. În acest caz, S = (π / 4) * d ^ 2, unde d este diametrul cercului. Să luăm același exemplu, unde raza este de 5 cm. Atunci diametrul său va fi 5 * 2 = 10 cm. Aria cercului S = 3,14 / 4 * 10 ^ 2 = 78,5 pătrat Cm. Rezultatul egal cu totalul calculelor din primul exemplu confirmă corectitudinea calculelor în ambele cazuri.
Aria unui cerc prin circumferință
Dacă raza cercului este reprezentată în termeni de circumferință, atunci formula va arăta astfel: R = (L / 2) π. Înlocuim această expresie în formulă cu aria unui cerc și, ca rezultat, obținem S = (L ^ 2) / 4π. Luați în considerare un exemplu în care circumferința este de 10 cm. Atunci aria cercului este S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 sq. cm.
Aria unui cerc prin lungimea unei laturi a unui pătrat inscripționat
Dacă un pătrat este înscris într-un cerc, atunci lungimea diametrului cercului este egală cu lungimea diagonalei pătratului. Cunoscând dimensiunea laturii pătratului, puteți afla cu ușurință diametrul cercului prin formula: d ^ 2 = 2a ^ 2. Cu alte cuvinte, diametrul de putere 2 este partea de putere 2 a pătratului ori 2.
După ce ați calculat lungimea diametrului unui cerc, puteți afla raza acestuia și apoi utilizați una dintre formulele pentru determinarea ariei unui cerc.
Aria unui sector al unui cerc
Un sector este o parte a unui cerc mărginit de 2 raze și un arc între ele. Pentru a afla aria sa, trebuie să măsurați unghiul sectorului. După aceea, trebuie să faceți o fracție, în numeratorul căreia va exista valoarea unghiului sectorului și în numitorul - 360. Pentru a calcula aria sectorului, valoarea obținută ca rezultat de împărțire a fracției trebuie înmulțită cu aria cercului calculată folosind una dintre formulele de mai sus.
În geometrie în jurul se numește un ansamblu al tuturor punctelor din plan care sunt îndepărtate dintr-un punct, numit centrul său, la o distanță nu mai mare decât una dată, numită raza sa. În acest caz, limita exterioară a cercului este cerc, și dacă lungimea razei este zero, cerc degenerează până la un punct.
Determinarea ariei unui cerc
Daca este necesar zona unui cerc poate fi calculat prin formula:
| S | πr 2 | D 2 |
r- raza cercului
D- diametrul cercului
S- aria unui cerc
π - 3.14
Această figură geometrică este foarte comună atât în tehnologie, cât și în arhitectură. Proiectanții de mașini și mecanisme dezvoltă diverse părți, ale căror secțiuni sunt multe cerc... De exemplu, acestea sunt arbori, tije, tije, cilindri, osii, pistoane și așa mai departe. La fabricarea acestor piese, se utilizează semifabricate din diverse materiale (metale, lemn, materiale plastice), secțiunile lor reprezentând, de asemenea, exact cerc... Este de la sine înțeles că dezvoltatorii trebuie adesea să calculeze zona unui cerc prin diametru sau rază, folosind în acest scop formule matematice simple descoperite în cele mai vechi timpuri.
Exact atunci elemente rotunde a început să fie utilizat în mod activ și pe scară largă în arhitectură. Unul dintre cele mai izbitoare exemple este circul, care este un fel de clădiri concepute pentru diverse evenimente de divertisment. Arenele lor au formă de cerc, și pentru prima dată au început să fie construite în antichitate. Cuvântul „ circ„Tradus din latină înseamnă” cerc". Dacă în vremuri străvechi spectacole de teatru și lupte de gladiatori se țineau în circuri, acum servesc drept loc în care spectacolele de circ se desfășoară aproape exclusiv cu participarea formatorilor, acrobaților, magilor, clovnilor etc. Diametrul standard al arenei circului este de 13 metri, și acest lucru este absolut nu este o coincidență: faptul este că el este cel care oferă parametrii geometrici minimi necesari ai arenei, de-a lungul cărora caii de circ pot alerga într-un cerc în galop. Dacă calculăm zona unui cerc prin diametru, se dovedește că pentru o arenă de circ această valoare este de 113,04 metri pătrați.
Elementele arhitecturale care pot lua forma unui cerc sunt ferestrele. Desigur, în majoritatea cazurilor sunt dreptunghiulare sau pătrate (și în mare parte datorită faptului că este mai ușor atât pentru arhitecți, cât și pentru constructori), dar în unele clădiri puteți găsi și ferestre rotunde. Mai mult, în vehicule precum avioanele, navele maritime și fluviale, acestea sunt cel mai adesea la fel.
Nu este deloc neobișnuit să se utilizeze elemente rotunde pentru a realiza mobilier, cum ar fi mese și scaune. Există chiar și un concept „ masa rotunda”, Ceea ce implică o discuție constructivă, în cadrul căreia există o discuție cuprinzătoare asupra diferitelor probleme importante și dezvoltarea unor modalități de rezolvare a acestora. În ceea ce privește fabricarea blaturilor în sine, care au o formă rotundă, atunci sunt utilizate instrumente și echipamente specializate pentru producția lor, sub rezerva participării lucrătorilor cu calificări destul de ridicate.
Cercurile necesită o abordare mai atentă și sunt mult mai puțin frecvente în articolele B5. În același timp, schema generală de soluții este chiar mai simplă decât în cazul poligoanelor (vezi lecția „Zone de poligoane pe o grilă de coordonate”).
Tot ce este necesar în astfel de sarcini este să găsești raza cercului R. Apoi puteți calcula aria cercului folosind formula S = πR 2. De asemenea, din această formulă rezultă că pentru o soluție este suficient să se găsească R2.
Pentru a găsi valorile indicate, este suficient să indicați cercul de pe punctul care se află la intersecția liniilor de rețea. Și apoi folosiți teorema lui Pitagora. Să luăm în considerare exemple specifice de calcul al razei:
Sarcină. Găsiți razele celor trei cercuri prezentate în figură:
Să realizăm construcții suplimentare în fiecare cerc:
În fiecare caz, punctul B este selectat pe cerc, astfel încât să se afle la intersecția liniilor de rețea. Punctul C din cercurile 1 și 3 completează forma unui triunghi unghiular. Rămâne să găsim razele:
Luați în considerare un triunghi ABC în primul cerc. Prin teorema lui Pitagora: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Pentru al doilea cerc, totul este evident: R = AB = 2.
Al treilea caz este similar cu primul. Din triunghiul ABC de teorema lui Pitagora: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.
Acum știm cum să găsim raza unui cerc (sau cel puțin pătratul său). Prin urmare, putem găsi zona. Există sarcini în care trebuie să găsiți aria unui sector și nu întregul cerc. În astfel de cazuri, este ușor să aflați ce parte a cercului este acest sector și, astfel, să găsiți zona.
Sarcină. Găsiți zona S a sectorului umplut. Vă rugăm să indicați S / π în răspunsul dvs.
Evident, sectorul este de un sfert de cerc. Prin urmare, S = 0,25 · S cerc.
Rămâne să găsiți S al cercului - aria cercului. Pentru a face acest lucru, vom efectua o construcție suplimentară:
Triunghiul ABC este dreptunghiular. Prin teorema lui Pitagora avem: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Acum găsim ariile cercului și ale sectorului: S al cercului = πR 2 = 8π; S = 0,25 S cerc = 2π.
În cele din urmă, valoarea căutată este S / π = 2.
Zona sectorului pe o rază necunoscută
Acesta este un tip complet nou de problemă, nimic similar cu cel din 2010-2011. Prin condiție, ni se dă un cerc al unei anumite zone (și anume zona, nu raza!). Apoi, în interiorul acestui cerc, este evidențiat un sector, a cărui zonă se găsește.
Vestea bună este că astfel de probleme sunt cele mai ușoare dintre toate problemele pătrate care se află la examenul de matematică. În plus, cercul și sectorul sunt întotdeauna așezate pe grilă. Prin urmare, pentru a afla cum să rezolvați astfel de probleme, aruncați o privire asupra imaginii:
Fă cercul original să aibă aria S a cercului = 80. Apoi poate fi împărțit în două sectoare cu aria S = 40 fiecare (vezi pasul 2). În mod similar, fiecare dintre aceste „jumătăți” de sectoare poate fi împărțit din nou în jumătate - obținem patru sectoare cu aria S = 20 fiecare (a se vedea pasul 3). În cele din urmă, putem împărți fiecare dintre aceste sectoare în încă două - obținem 8 sectoare „resturi”. Suprafața fiecăreia dintre aceste „resturi” va fi S = 10.
Vă rugăm să rețineți: nu există o diviziune mai bună în nicio problemă de utilizare a matematicii! Astfel, algoritmul pentru rezolvarea problemei B-3 este după cum urmează:
- Tăiați cercul original în 8 sectoare „resturi”. Aria fiecăruia dintre ele este exact 1/8 din aria întregului cerc. De exemplu, dacă conform condiției cercul are aria S a cercului = 240, atunci „resturile” au aria S = 240: 8 = 30;
- Aflați câte „resturi” sunt plasate în sectorul original, a cărui zonă doriți să o găsiți. De exemplu, dacă în sectorul nostru există 3 „piese” cu o suprafață de 30, atunci aria sectorului dorit este S = 3 · 30 = 90. Acesta va fi răspunsul.
Asta e tot! Problema este rezolvată practic pe cale orală. Dacă tot nu înțelegi ceva, cumpără o pizza și taie-o în 8 bucăți. Fiecare astfel de piesă va fi același sector de „resturi” care poate fi combinat în bucăți mai mari.
Să vedem acum exemple din examenul de probă:
Sarcină. Pe hârtia în carouri este desenat un cerc, a cărui suprafață este 40. Găsiți aria figurii umbrite.
Deci, aria cercului este 40. Să o împărțim în 8 sectoare - fiecare cu aria S = 40: 5 = 8. Obținem:
Evident, sectorul umbrit constă din exact două sectoare „resturi”. Prin urmare, aria sa este 2 · 5 = 10. Aceasta este întreaga soluție!
Sarcină. Pe hârtia în carouri este desenat un cerc, a cărui suprafață este 64. Găsiți aria figurii umbrite.
Împarte din nou întregul cerc în 8 sectoare egale. Evident, zona uneia dintre ele este exact ceea ce trebuie să găsiți. Prin urmare, aria sa este S = 64: 8 = 8.
Sarcină. Un cerc este desenat pe hârtie în carouri, a cărui suprafață este 48. Găsiți aria figurii umbrite.
Împărțiți din nou cercul în 8 sectoare egale. Aria fiecăruia dintre ele este egală cu S = 48: 8 = 6. Exact trei sectoare sunt plasate în sectorul căutat - o „piesă” (vezi figura). Prin urmare, aria sectorului dorit este 3 6 = 18.
Este o figură plană care este un set de puncte echidistante de centru. Toți sunt la aceeași distanță și formează un cerc.
Segmentul care leagă centrul cercului cu punctele cercului său se numește rază... În fiecare cerc, toate razele sunt egale una cu cealaltă. Se numește o linie dreaptă care leagă două puncte pe un cerc și care trece prin centru diametru... Formula pentru aria unui cerc este calculată folosind o constantă matematică - numărul π ..
Este interesant : Numărul π. este raportul dintre circumferința unui cerc și lungimea diametrului său și este constant. Valoarea π = 3,1415926 a fost aplicată după lucrările lui L. Euler în 1737.
Aria unui cerc poate fi calculată folosind constanta π. și raza cercului. Formula pentru aria unui cerc în termeni de rază arată astfel:
Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unui cerc în termeni de rază. Să se dea un cerc cu raza R = 4 cm. Să găsim aria figurii.
Circumferința noastră va fi de 50,24 metri pătrați. cm.
Există o formulă aria unui cerc prin diametru... De asemenea, este utilizat pe scară largă pentru a calcula parametrii necesari. Aceste formule pot fi folosite pentru a găsi.
Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unui cerc prin diametru, cunoscând raza acestuia. Să se dea un cerc cu raza R = 4 cm. Pentru început, găsim diametrul care, după cum știți, este de două ori raza.
Acum folosim datele pentru un exemplu de calcul al ariei unui cerc folosind formula de mai sus:
După cum puteți vedea, rezultatul este același răspuns ca în primele calcule.
Cunoașterea formulelor standard pentru calcularea ariei unui cerc va ajuta în viitor să se determine cu ușurință zona sectoruluiși este ușor să găsiți cantități lipsă.
Știm deja că formula pentru aria unui cerc este calculată prin produsul unei constante π de pătratul razei cercului. Raza poate fi exprimată în funcție de circumferință și expresia poate fi substituită în formula zonei unui cerc în funcție de circumferință:
Acum înlocuim această egalitate în formula de calcul a ariei unui cerc și obținem formula pentru găsirea ariei unui cerc, prin circumferință
Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unui cerc în termeni de circumferință. Să se dea un cerc cu lungimea de l = 8 cm. Înlocuim valoarea din formula derivată: 
Suprafața totală a cercului va fi de 5 metri pătrați. cm.
Aria unui cerc circumscris în jurul unui pătrat
Este foarte ușor să găsești aria unui cerc circumscris în jurul unui pătrat.
Acest lucru necesită doar latura pătratului și cunoașterea formulelor simple. Diagonala pătratului va fi egală cu diagonala circumcercului. Cunoscând latura a, poate fi găsită de teorema lui Pitagora: de aici.
După găsirea diagonalei, putem calcula raza:.
Și apoi înlocuim totul în formula de bază pentru aria unui cerc descris în jurul unui pătrat:
