Explorați metodele de calcul diferențiale. Funcții de cercetare și construcții grafice

Studiul funcției se face pe o schemă clară și necesită un student de cunoaștere solidă a conceptelor matematice de bază, cum ar fi zona de definiție și valori, continuitatea funcției, asimptota, punctele extremum, paritatea, frecvența, etc. Studentul trebuie să diferențieze liber funcțiile și să rezolve ecuațiile care uneori sunt foarte complicate.

Adică, această sarcină verifică un loc semnificativ de cunoaștere, orice decalaj în care va fi un obstacol în calea obținerii soluției potrivite. Mai ales dificultăți apar cu construirea de grafice de funcții. Această eroare se grăbește imediat în ochi la profesor și poate foarte mult pentru a vă strica evaluarea, chiar dacă totul a fost făcut corect. Aici puteți găsi sarcini pentru funcțiile de cercetare online: Examinați exemple, descărcați soluții, sarcini de comandă.

Explorați funcția și construiți o diagramă: exemple și soluții online

Am pregătit pentru dvs. o mulțime de funcții de funcții gata făcute, ambele plătite în reschebnik și gratuit în exemplele secțiunii de funcții de cercetare. Pe baza acestor sarcini solvabile, vă puteți familiariza în detaliu cu metodologia de a efectua astfel de sarcini, prin analogie pentru a vă îndeplini studiul.

Oferim exemple de cercetare complete și de construcție a funcției celor mai frecvente tipuri: polinomii, funcții fracționate-raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice. Un program gata realizat cu puncte cheie dedicate, asimptote, maxime și minimă este atașat la fiecare problemă rezolvată, soluția este efectuată în funcție de algoritmul de cercetare a funcțiilor.

Exemplele rezolvate, în orice caz, va fi un ajutor bun pentru dvs., deoarece acoperă cele mai populare tipuri de funcții. Vă oferim sute de probleme deja rezolvate, dar, după cum știți, funcțiile matematice din lume sunt o sumă infinită, iar profesorii sunt mari de mastaki pentru a inventa toate sarcinile de lucru noi și noi pentru studenții săraci. Deci, studenți scumpi, ajutor calificat nu vă va răni.

Rezolvarea sarcinilor pentru a studia funcția la comandă

În acest caz, partenerii noștri vă vor oferi un alt serviciu - funcția de cercetare completă online a comanda. Sarcina va fi efectuată pentru dvs. în conformitate cu toate cerințele pentru algoritm pentru rezolvarea acestor sarcini, care vă va plăcea foarte mult profesorului dumneavoastră.

Vom face pentru dvs. un studiu complet al funcției: Vom găsi zona de definiție și gama de valori, investigăm pentru continuitate și discontinuitate, setați paritatea, verificați funcția la frecvență, vom găsi punctele de intersecție axele de coordonate. Bineînțeles, mai departe, cu ajutorul calculului diferențial: sortarea asimptotelor, calculați extremurile, punctele de inflexiune, vom construi un program în sine.

Dacă sarcina este de a finaliza un studiu complet al funcției F (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 cu construirea programului său, luați în considerare acest principiu în detaliu.

Pentru a rezolva sarcina de acest tip, utilizați proprietățile și graficele principalelor funcții elementare. Algoritmul de studiu include pașii:

Yandex.rtb r-a-339285-1

Găsirea unui câmp de definiție

Deoarece cercetarea se efectuează pe zona de definiție a câmpului, este necesar să începeți din acest pas.

Exemplul 1.

Exemplul specificat implică fundamentul numitorului zerourilor pentru a le exclude de OTZ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞.

Ca rezultat, puteți obține rădăcini, logaritmi și așa mai departe. Apoi, OTZ poate fi căutat pentru un grad uniform de tip G (x) 4 prin inegalitate G (x) ≥ 0, pentru logaritmul Log A G (X) prin inegalitate G (X)\u003e 0.

Studiul frontierelor de frontieră și găsirea asimptotului vertical

La limitele funcției există asimptote verticale atunci când limitele unilaterale la astfel de puncte sunt infinite.

Exemplul 2.

De exemplu, ia în considerare punctele de frontieră egale cu x \u003d ± 1 2.

Apoi este necesar să studiați funcția de a găsi o limită unilaterală. Apoi, luăm: Lim X → - 1 2 - 0 F (x) \u003d Lim X → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d LIM X → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · 0 \u003d + ∞ Lim x → - 1 2 + 0 F (X) \u003d Lim X → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d Lim X → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · (+ 0) \u003d - ∞ Lim x → 1 2 - 0 F (x) \u003d Lim X → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim X → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) · 2 \u003d - ∞ Lim x → 1 2 - 0 F (x) \u003d lim X → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (+ 0 ) · 2 \u003d + ∞

Se poate observa că limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă X \u003d ± 1 2 - asimptote verticale ale graficului.

Funcția de cercetare și paritatea sau ciudățenii

Când este îndeplinită starea y (- x) \u003d y (x), funcția este considerată chiar. Acest lucru sugerează că programul este situat simetric față de O. Când condiția Y (- X) \u003d - Y (x) este îndeplinită, funcția este considerată ciudată. Aceasta înseamnă că simetria vine în raport cu începutul coordonatelor. Cu implicit, cel puțin o inegalitate, obținem o funcție comună.

Implementarea egalității y (-x) \u003d y (x) sugerează că funcția este chiar. Atunci când se construiesc, este necesar să se țină seama de faptul că va exista o simetrie față de O.

Pentru soluționarea spațiilor de creștere și descendente cu condițiile f "(x) ≥ 0 și f" (x) ≤ 0, respectiv.

Definiție 1.

Puncte staționare- Acestea sunt punctele care transformă derivatul în zero.

Puncte critice - Acestea sunt puncte interne din zona de definiție, unde derivatul funcției este zero sau nu există.

La rezolvare, este necesar să se țină seama de următoarele observații:

• cu extensiile creșterii și coborârii inegalității formei F "(x)\u003e 0, punctele critice din soluție nu sunt incluse;
• punctele în care funcția este definită fără un derivat finit trebuie să fie incluse în golurile de creștere și descendentă (de exemplu, y \u003d x3, unde punctul X \u003d 0 face ca funcția definită, derivatul are valoarea infinității la acest lucru punct, y "\u003d 1 3 · x 2 3, y" (0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 este inclus în intervalul în creștere);
• pentru a evita dezacordurile, se recomandă utilizarea literaturii matematice, care este recomandată de Ministerul Educației.

Includerea punctelor critice în decalajele de creștere și descendenți în cazul în care acestea îndeplinesc zonele de definiție a câmpului.

Definiția 2.

Pentru definițiile lacunelor de creștere și de descendentă trebuie găsite:

• derivat;
• puncte critice;
• împărțiți zona de definiție cu puncte critice la intervale;
• determinați semnul derivatului pe fiecare dintre lacunele, unde + este o creștere a și este descendentă.

Exemplul 3.

Găsiți un derivat pe câmpul de definiție F "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1 ) 2.

Decizie

Pentru a rezolva nevoie de:

• găsiți puncte staționare, acest exemplu are x \u003d 0;
• găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero la x \u003d ± 1 2.

Puncte de testare pe axa numerică pentru a determina derivatul la fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din decalaj și să faceți un calcul. Cu un rezultat pozitiv, graficul prezintă +, ceea ce înseamnă a crește funcția și - înseamnă scăderea acestuia.

De exemplu, F "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, înseamnă că primul interval al stângului are un semn +. Luați în considerare pe o linie numerică.

Răspuns:

• există o creștere a funcției în intervalul - ∞; - 1 2 și (- 1 2; 0];
• scăderea intervalului [0; 1 2) și 1 2; + ∞.

În diagrama cu + și - pozitivitatea și negativitatea funcției sunt descrise, iar shooterul este scăzut și în creștere.

Funcția punctelor extremum - puncte în care funcția este definită și prin care derivatul modifică semnul.

Exemplul 4.

Dacă luăm în considerare un exemplu în care x \u003d 0, atunci valoarea funcției în acesta este egală cu F (0) \u003d 0 2 4 · 0 2 - 1 \u003d 0. La schimbarea semnului derivatului cu + pe - și trecerea prin punctul X \u003d 0, atunci punctul cu coordonate (0; 0) este considerat un punct maxim. La schimbarea semnului c - on + avem un punct minim.

Conversia și concavitatea se determină la rezolvarea inegalităților formei F "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0. Mai puțin adesea folosiți numele de bulgăre în loc de concav, iar umflarea în loc de convexitate.

Definiția 3.

Pentru determinarea lacunelor concave și a bulgei Nevoie:

• găsiți al doilea derivat;
• găsiți zerouri de funcția celui de-al doilea derivat;
• împărțiți zona de definiție care a apărut pe intervale;
• determină semnul intervalului.

Exemplul 5.

Găsiți al doilea derivat din zona de definiție.

Decizie

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Noi găsim zerouri de numărător și numitor, unde, pe exemplul exemplarului nostru, avem zeroul de numitor al denominatorului x \u003d ± 1 2

Acum trebuie să aplicați puncte la axa numerică și să definiți un semn al celui de-al doilea derivat al fiecărui decalaj. Obținem asta

Răspuns:

• funcția este convexă din decalajul - 1 2; 12;
• funcția este concavă din golurile - ∞; - 1 2 și 1 2; + ∞.

Definiție 4.

Punct de inflexiune - este un punct de tip x 0; f (x 0). Când are tangentă grafica funcției, atunci când trece prin X 0, funcția modifică semnul la opusul.

Cu alte cuvinte, acesta este un astfel de punct prin care cel de-al doilea derivat trece și schimbă semnul, iar în punctele în sine este egal cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate o zonă de definiție a câmpului.

În exemplul, a fost clar că punctele de inflexiune sunt absente, deoarece al doilea derivat modifică semnul în timpul trecerii prin punctele X \u003d ± 1 2. Ele, la rândul lor, nu sunt incluse în domeniul definiției.

Găsirea asimptotelor orizontale și înclinate

Când se determină funcția la infinit, este necesar să căutați asimptote orizontale și înclinate.

Definiție 5.

Înclinat asymptotes.imaginile sunt descrise utilizând direcția specificată de ecuația y \u003d k x + b, unde k \u003d lim X → ∞ f (x) x și b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

La K \u003d 0 și B, nu egale cu infinitatea, obținem că asimptota înclinată devine orizontală.

Cu alte cuvinte, asimptotele consideră liniile la care se apropie programul funcției. Acest lucru contribuie la construirea rapidă a graficelor funcției.

Dacă lipsesc asimptote, dar funcția este determinată pe ambele infinițieri, este necesar să se calculeze limita funcției pe aceste infinituri, de a înțelege cum va fi graficul funcției în sine.

Exemplul 6.

Pe exemplu, luați în considerare acest lucru

k \u003d Lim X → ∞ F (x) x \u003d Lim X → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d Lim X → ∞ (F (x) - KX) \u003d Lim X → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

este asimptota orizontală. După cercetare, funcția poate fi inițiată pentru ao construi.

Calculați valoarea funcției la punctele intermediare

Pentru a construi programul este cel mai precis, se recomandă găsirea mai multor funcții ale funcției la punctele intermediare.

Exemplul 7.

Din exemplul pe care l-am luat în considerare, este necesar să găsim valorile funcției la punctele X \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Deoarece funcția este chiar, obținem că valorile coincid cu valorile la aceste puncte, adică obținem x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Scriem și rezolvăm:

F (-2) \u003d f (2) \u003d 2 2 4 · 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0, 27 F (- 1) - F (1) \u003d 1 2 4 · 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 F - 3 4 \u003d F3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0, 45 F - 1 4 \u003d F14 \u003d 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0, 08

Pentru a determina maximele și minimele funcției, punctele de inflexiune, punctele intermediare trebuie să construiască asimptote. Pentru o denumire convenabilă, sunt înregistrate lacunele de creștere, scădere, bulge, concavele. Luați în considerare în figura prezentată mai jos.

Este necesar prin punctele marcate pentru a efectua liniile graficului, care va aduce mai aproape de asimpttotam, urmând arogenele.

Acest lucru încheie studiul complet al funcției. Există cazuri de construire a unor funcții elementare pentru care se utilizează transformări geometrice.

Dacă observați o greșeală în text, selectați-o și apăsați CTRL + ENTER

Investigăm funcția \\ (y \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x) \\) și să-i construim programul.

1. Zona de definire.
Zona de determinare a funcției raționale (fracțiunea) va fi: Numitorul nu este zero, adică. \\ (1 -x \\ ne 0 \u003d\u003e x \\ ne 1 \\). Zona de definiție $$ d_f \u003d (- \\ infaty; 1) \\ Cup (1; + \\ \\ infaty) $$

2. Punctele de rupere a punctului și clasificarea acestora.
Funcția are un punct de spațiu x \u003d 1
investigăm punctul X \u003d 1. găsim limita funcției spre dreapta și spre stânga punctului de decalaj, dreapta $$ \\ Lim_ (x \\ la 1 + 0) (\\ frac (x ^ 3) (1 -X)) \u003d - \\ $ $$ și în partea stângă a punctului $$ \\ Lime__ (x \\ la 1-0) (\\ frac (x ^ 3) (1-x)) \u003d + \\ \\ $ $$ este punctul de rupere a celui de-al doilea fel. Limitele unilaterale sunt egale \\ (\\ infaty \\).

Drept \\ (x \u003d 1 \\) este o asimptot vertical.

3. Paritatea funcției.
Verificarea parității \\ (F (-X) \u003d \\ Frac ((x) ^ 3) (1 + x) \\) Funcția nu este nici una ciudată.

4. Funcții zero (puncte de intersecție cu axa OX). Intervalele funcției simbolului.
ZEROS de funcții (punctul de intersecție cu axa OX): Asigurați-vă \\ (y \u003d 0 \\), obținem \\ (\\ frac (x ^ 3) (1-x) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 \\). Curba are un punct de intersecție cu axa OX cu coordonate \\ ((0; 0) \\).

Intervale de interval funcționale.
În intervalele luate în considerare \\ ((- \\ \\ infty; 1) \\ Cupa (1; + \\ infty) \\) Curba are un punct de intersecție cu axa de Ox, prin urmare vom lua în considerare la trei intervale de definiție.

Determinați semnul funcției la intervalele zonei de definiție:
interval \\ ((- \\ \\ infaty; 0) \\) Găsiți valoarea funcției în orice punct \\ (F (-4) \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval \\ ((0; 1) \\) Găsiți valoarea funcției în orice punct \\ (F (0,5) \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x)\u003e 0 \\), în acest interval funcția este pozitivă \\ F (x)\u003e 0 \\), adică Este deasupra axei de ox.
interval \\ ((1; + \\ infaty) \\) Găsiți valoarea funcției în orice punct \\ (F (4) \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Punctul de intersecție cu axa Oy: echivalează \\ (x \u003d 0 \\), obținem \\ (F (0) \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x) \u003d 0 \\). Coordonatele punctului de intersecție cu axa OY \\ ((0; 0) \\)

6. Intervale de monotonicitate. Funcție extremă.
Vom găsi puncte critice (staționare), pentru aceasta vom găsi primul derivat și o vom echivala la zero $ y y "\u003d (\\ frac (x ^ 3) (1-x))" \u003d \\ frac (3x ^ 2 ( 1-X) + x ^ 3) ((1-x) ^ 2) \u003d \\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) $$ echivalează la 0 $$ \\ frac ( x ^ 2 (3 -2x)) ((1-x) ^ 2) \u003d 0 \u003d\u003e x_1 \u003d 0 \\ quad x_2 \u003d \\ frac (3) (2) $$ Găsiți valoarea funcției în acest punct \\ ( F (0) \u003d 0 \\) și \\ (F (3) (2)) \u003d -6,75 \\). Două puncte critice cu coordonate \\ ((0; 0) \\) și \\ ((1,5; -6,75) \\)

Intervale de monotonicitate.
Funcția are două puncte critice (puncte de vedere posibile), deci vom lua în considerare monotonia la patru intervale:
interval \\ ((- \\ infaty; 0) \\) Vom găsi valoarea primului derivat în orice punct al intervalului \\ (F (-4) \u003d \\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1 -x) ^ 2)\u003e
interval \\ ((0; 1) \\) Vom găsi valoarea primului derivat în orice punct al intervalului \\ (F (0,5) \u003d \\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-X) ^ 2)\u003e 0 \\) În acest interval, funcția crește.
interval \\ ((1; 1,5) \\) Vom găsi valoarea primului derivat în orice punct al intervalului \\ (12) \u003d \\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-X) ^ 2)\u003e 0 \\) În acest interval, funcția crește.
interval \\ ((1,5; + \\ infaty) \\) Găsiți valoarea primului derivat în orice punct al intervalului \\ (F (4) \u003d \\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-X) ^ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Funcție extremă.

În studiul funcției, au fost obținute două puncte critice (staționare) pe interval. Definim dacă sunt extreme. Luați în considerare modificarea semnului derivatului în timpul tranziției prin punctele critice:

punctul \\ (x \u003d 0 \\) Derivatul modifică semnul C \\ Q quad + quad 0 \\ quad + \\ quad \\) - punctul extrem nu este.
punctul \\ (x \u003d 1,5 \\) Derivatul modifică semnul C \\ Q quad + quad 0 \\ quad - quad \\) - Punctul este un punct maxim.

7. Intervale de conversie și concavitate. Puncte de inflexiune.

Pentru a găsi intervalele de convexitate și concavitate, găsim cea de-a doua funcție derivată și o echivalează la zero $$ y "\u003d (\\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2))" \u003d \\ Frac (2x (x ^ 2-3x + 3) ((1-x) ^ 3) $$ echivalează la zero $ $$ \\ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x ) ^ 3) \u003d 0 \u003d\u003e 2x (x ^ 2-3x + 3) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 $$ Funcția are un punct critic al celui de-al doilea tip cu coordonate \\ ((0; 0) \\).
Definim umflarea la intervalul zonei de definiție, luând în considerare punctul critic al celui de-al doilea tip (punctul de inflexiune posibil).

interval \\ ((- \\ infaty; 0) \\) Vom găsi valoarea celui de-al doilea derivat în orice punct \\ (F "" (- 4) \u003d \\ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) (( 1-x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval \\ ((0; 1) \\) Vom găsi valoarea celui de-al doilea derivat în orice punct \\ (F "" (0,5) \u003d \\ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x ) ^ 3)\u003e 0 \\), pe acest interval, cea de-a doua funcție derivată este pozitivă \\ (F "" (x)\u003e 0 \\) Funcția este convexă în jos (Convex).
interval \\ ((1; \\ \\ infaty) \\) vom găsi valoarea celui de-al doilea derivat în orice punct \\ (F "" (4) \u003d \\ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1- x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Puncte de inflexiune.

Luați în considerare schimbarea semnului celui de-al doilea derivat atunci când treceți prin punctul critic al celui de-al doilea tip:
La punctul \\ (x \u003d 0 \\), al doilea derivat modifică semnul C \\ quad - quad 0 \\ quad + quad \\ quad 0 \\ quad + \\ quad \\), graficul funcției schimbă bulge, adică. Acesta este punctul de inflexiune cu coordonatele \\ (0; 0) \\).

8. Asimptotes.

Asimptota verticală. Graficul funcției are o asimptot vertical. \\ (X \u003d 1 \\) (a se vedea clauza 2).
Înclinat asymptota.
Pentru ca graficul funcției \\ (x \\ ^ 3) (1-x) \\) cu \\ (x \\ to \\ infty \\) a avut o asimptottee înclinată \\ (y \u003d kx + b \\), Este necesar, astfel încât să existe două limitări $$ \\ Lim_ (x \\ to + \\ infaty) \u003d \\ frac (x)) (x) \u003d k $$ găsim pe $$ \\ lim_ (x \\ la \\ \\ \\ ) (\\ Frac (x ^ 3) (x (1-x))) \u003d \\ infty \u003d\u003e k \u003d \\ infaty $$ și a doua limită $$ \\ la + \\ infaty) (F (x) - kx) \u003d b $ $, pentru că \\ (K \u003d \\ infat \\) - fără asimptote înclinate.

Asimptotice orizontale: Pentru ca Asymptotta orizontală exista, este necesar ca $$ \\ la \\ infaty) F (x) \u003d b $$ să existe (x \\ to \\ infty) f (x) \u003d b $$ (X \\ to + \\ \\ infaty) (\\ frac (x ^ 3) (1-x)) \u003d - \\ infaty $$$$$ \\ Lim_ (x \\ to - \\ infty) (\\ frac (x ^ 3) (1 -x)) \u003d - \\ $ $$
Nu există asimptote orizontale.

9. Graficul funcției.

Astăzi oferim împreună cu noi pentru a explora și a construi un grafic al funcției. După un studiu atent al acestui articol, nu veți transpira mult peste implementarea acestui tip de sarcină. Explorați și construiți un grafic al funcției nu este ușor, lucrarea este un volum, necesitând o atenție maximă și precizia calculelor. Pentru a facilita percepția materialului, vom studia treptat aceeași funcție, vom explica toate acțiunile și calculele noastre. Bine ați venit la lumea uimitoare și fascinantă a matematicii! Merge!

Domeniu

Pentru a explora și a construi un program de funcții, trebuie să cunoașteți mai multe definiții. Funcția este una dintre conceptele principale (de bază) din matematică. Aceasta reflectă relația dintre mai multe variabile (două, trei sau mai multe) atunci când se schimbă. Funcția arată dependența seturilor.

Imaginați-vă că avem două variabile care au o anumită varietate de schimbare. Deci, Y este o funcție de la x, cu condiția ca fiecare valoare a celei de-a doua variabile să corespundă unei valori a celui de-al doilea. În acest caz, variabila y este dependentă și se numește funcția. Este obișnuit să spunem că variabilele X și U sunt pentru o mai mare claritate a acestei dependențe, funcția este construită. Ce este un program de funcții? Acesta este un set de puncte pe planul de coordonate, unde fiecare valoare a lui X corespunde unei singure valori. Graficele pot fi diferite - linia dreaptă, hiperbolă, parabola, sinusoid și așa mai departe.

Graficul funcției nu poate fi construit fără cercetare. Astăzi vom învăța să efectuăm cercetări și să construim un grafic al funcției. Este foarte important în timpul studiului pentru a aplica note. Deci, va fi mai ușor să faceți față sarcinii. Cel mai convenabil plan de studiu:

1. Domeniu.
2. Continuitate.
3. Paritate sau ciudățenie.
4. Periodicitate.
5. Asimptotes.
6. Zerouri.
7. Alpopurism.
8. Ascendent și descendent.
9. Extreme.
10. Conversie și concavă.

Să începem cu primul element. Vom găsi zona de definiție, adică în ce spații există funcția noastră: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). În cazul nostru, funcția există la orice valoare a lui X, adică zona de definiție este R. să o scrie după cum urmează Xî.

Continuitate

Acum vom explora funcția de decalaj. În matematică, termenul "continuitate" a apărut ca urmare a studiului legilor mișcării. Ce este infinit? Spațiu, timp, unele dependențe (un exemplu este dependența variabilelor S și T în problemele de mișcare), temperatura obiectului încălzit (apă, tigaie, termometru și așa mai departe), linia continuă (adică unul care poate fi tras, fără a rupe creionul foii).

Continuu este considerat un grafic care nu izbucnește la un moment dat. Unul dintre exemplele cele mai vizuale ale unui astfel de grafic este un sinusoid pe care îl puteți vedea în imaginea din această secțiune. Funcția este continuă la un moment dat X0, dacă se observă o serie de condiții:

• acest punct definește o funcție;
• limita dreaptă și stângă la punct este egală;
• limita este egală cu valoarea funcției la punctul X0.

În cazul neconformității, cel puțin o condiție, se spune că funcția suferă decalajul. Și punctele în care se acceptă funcția este acceptată pentru a fi numiți puncte de decalaj. Un exemplu de funcție pe care maparea grafică va "sparge" poate servi ca: y \u003d (x + 4) / (x-3). În acest caz, nu există la punctul X \u003d 3 (deoarece este imposibil să se împartă la zero).

În funcția pe care o investigăm (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sa dovedit a fi simplă, deoarece programul va fi continuu.

Paritate, ciudățenii

Acum explorați funcția la paritate. Pentru a începe o mică teorie. Un nume chiar este funcția care satisface condiția F (-x) \u003d F (x) cu orice valoare a variabilei X (din gama de valori). Exemple pot servi:

• modulul X (programul este similar cu Biserica Bisericii din primul și al doilea trimestru al diagramei);
• x într-un pătrat (parabola);
• cosinei X (cosinus).

Rețineți că toate aceste grafice sunt simetrice dacă îl considerăm în raport cu axa ordonată (adică Y).

Și ceea ce este apoi numit o funcție ciudată? Acestea sunt acele funcții care satisfac condiția: f (s) \u003d - f (x) cu orice valoare a variabilei x. Exemple:

• hiperbolă;
• parabola cubică;
• sinusoid;
• tangenssoid și așa mai departe.

Rețineți că aceste funcții au o simetrie față de punctul (0: 0), adică originea coordonatelor. Pe baza a ceea ce sa spus în această secțiune a articolului, chiar și o funcție ciudată ar trebui să aibă o proprietate: X aparține și un set de definiții și, de asemenea.

Investigăm funcția pe paritate. Putem observa că nu este potrivit pentru niciunul dintre descrieri. În consecință, funcția noastră nu este nici nici una sau ciudată.

Asimptotes.

Să începem cu definiția. Asymptotta este o curbă cât mai aproape posibil de program, adică distanța de la un anumit punct se străduiește pentru zero. În total, se disting trei tipuri de asimptote:

• vertical, adică axa paralelă;
• orizontală, adică axa paralelă X;
• Înclinat.

În ceea ce privește primul tip, datele directe trebuie semnate la unele puncte:

• decalaj;
• sfârșitul zonei de definiție.

În cazul nostru, funcția este continuă, iar zona de definiție este R. În consecință, asimptote verticale sunt absente.

Asymptotta orizontală are o funcție a unei funcții care îndeplinește următoarea cerință: dacă X tinde la infinit sau minus infinit, iar limita este egală cu un număr (de exemplu, a). În acest caz, Y \u003d A este o asimptota orizontală. În asimptot orizontal, nu există asimptote orizontale.

Asymptota înclinată există numai dacă sunt îndeplinite două condiții:

• lim (F (x)) / x \u003d k;
• lIM F (X) -KX \u003d B.

Apoi, poate fi găsit în conformitate cu formula: y \u003d kx + b. Din nou, în cazul nostru nu există asimptot înclinat.

Funcția zero.

Următoarea etapă, trebuie să explorăm programul funcției la zerouri. Este foarte important să rețineți că sarcina asociată cu găsirea zerourilor funcției se găsește nu numai în studiul și construirea funcției funcției, ci și ca o sarcină independentă și ca o modalitate de a rezolva inegalitățile. Este posibil să aveți nevoie să găsiți zerouri de funcții pe grafic sau să utilizați o înregistrare matematică.

Găsirea acestor valori vă va ajuta să faceți mai precis un program de funcții. Dacă vorbim o limbă simplă, atunci funcția zero este valoarea variabilei X, la care Y \u003d 0. Dacă sunteți în căutarea pentru ZEROS de funcția din diagramă, atunci ar trebui să acordați atenție punctelor în care grafica se intersectează cu axa Abscisa.

Pentru a găsi zerourile funcțiilor, este necesar să se rezolve următoarea ecuație: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) \u003d 0. După efectuarea calculelor necesare, primim următorul răspuns:

Aliniere

Următoarea etapă a cercetării și construirea unei funcții (grafică) este de a găsi intervalele alinierii. Aceasta înseamnă că trebuie să determinăm la ce intervale funcția are o valoare pozitivă și pe ceea ce este cel negativ. Acest lucru ne va ajuta să facem funcțiile găsite în secțiunea trecută. Deci, trebuie să construim o linie dreaptă (separat de program) și pentru a distribui corect funcțiile de la mai mult la mai mult. Acum trebuie să determinați care dintre golurile obținute are un semn "+" și care "-".

În cazul nostru, funcția are o valoare pozitivă la intervale:

• de la 1 la 4;
• de la 9 la infinit.

Semnificație negativă:

• de la minus infinit la 1;
• de la 4 la 9.

Este ușor să determinați acest lucru. Înlocuiți orice număr de la interval la funcție și vedeți ce achiziționează răspunsul (minus sau plus).

Ascendent și scădere a funcției

Pentru a explora și a construi o funcție, trebuie să aflăm unde se va crește programul (mergeți în sus) și unde va cădea (târându-se în jos axa ordonată).

Funcția crește numai dacă valoarea mai mare a variabilei X corespunde valorii mai mari. Adică x2 mai mult x1 și f (x2) mai mult f (x1). Și observăm un fenomen complet invers într-o funcție descrescătoare (cea mai mare x, cu atât mai puțin Y). Pentru a determina lacunele în creștere și descendente, trebuie să găsiți următoarele:

• zona de definiție (deja avem);
• derivat (în cazul nostru: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• rezolvarea ecuației 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) \u003d 0.

După calcule, obținem rezultatul:

Obținem: funcția crește la intervalele de la minusul infinității la 7/3 și de la 7 la infinit și scade la intervalul de la 7/3 la 7.

Extreme

Funcția lui Y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) este continuă și există cu orice valori ale variabilei x. Punctul extremum arată maximul și minimul acestei caracteristici. În cazul nostru, nu există astfel, ceea ce simplifică foarte mult sarcina de construcție. În caz contrar, este de asemenea situat cu o funcție derivată. După găsire, nu uitați să le sărbătoresc pe grafic.

Bulge și concave.

Continuăm să exploram în continuare funcția y (x). Acum trebuie să-l verificăm pe bulgări și concave. Definițiile acestor concepte sunt destul de greu pentru a percepe, este mai bine să analizăm totul pe exemple. Pentru testare: funcția este convexă, dacă există o funcție non-rupere. Sunt de acord, este incomprehensibil!

Trebuie să găsim un derivat din funcția cea de-a doua comandă. Avem: y \u003d 1/3 (6x-28). Acum echivalează partea dreaptă la zero și rezolvăm ecuația. Răspuns: x \u003d 14/3. Am găsit un punct de inflexiune, adică locul în care graficul schimbă bulgeul pe o concavă sau viceversa. La intervalul de la minus infinit la 14/3, funcția convexului și de la 14/3 la Plus Infinity - Concave. Este foarte important să rețineți că punctul de inflexiune a graficului ar trebui să fie neted și ușor, nu ar trebui să existe unghiuri ascuțite.

Determinarea punctelor suplimentare

Sarcina noastră este de a explora și de a construi un grafic al funcției. Am terminat cercetarea, construi un program de funcții nu va fi acum dificil. Pentru redarea mai precisă și detaliată a curbei sau direcționate pe planul de coordonate, puteți găsi mai multe puncte auxiliare. Ele sunt destul de simple de calculat. De exemplu, luăm x \u003d 3, rezolvăm ecuația obținută și găsim y \u003d 4. Sau x \u003d 5, și y \u003d -5 și așa mai departe. Puncte suplimentare Puteți lua cât de mult trebuie să construiți. Minimul dintre ele se găsește 3-5.

Grafică de construcție

Trebuia să investigăm funcția (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 \u003d y. Toate marcajele necesare în timpul calculelor au fost aplicate pe planul de coordonate. Tot ce rămâne de făcut este să construiți o diagramă, adică să conectați toate punctele între ele. Puteți conecta punctele fără probleme și ușor, aceasta este lucrarea abilităților - o mică practică și programul dvs. va fi perfect.

Respectarea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dvs. Citiți politica noastră de confidențialitate și ne informați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

În conformitate cu informațiile personale este supusă datelor care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a comunica cu acesta.

Puteți fi solicitat să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când vă conectați cu noi.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi astfel de informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când lăsați o aplicație pe site, putem colecta diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Așa cum folosim informațiile dvs. personale:

• Am colectat informații personale ne permite să vă contactăm și să raportăm cu privire la propuneri, promoții și alte evenimente și cele mai apropiate evenimente.
• Din când în când, putem folosi informațiile dvs. personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personalizate în scopuri interne, cum ar fi audit, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile serviciilor noastre și pentru a vă oferi recomandări pentru serviciile noastre.
• Dacă participați la premiile, concurența sau evenimentul de stimulare similar, putem utiliza informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. la terțe părți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în proces și / sau pe baza interogărilor publice sau a cererilor de către organismele de stat pe teritoriul Federației Ruse - pentru a vă dezvălui informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă definim că o astfel de divulgare este necesară sau adecvată în scopul securității, menținând legea și ordinea sau alte cazuri importante din punct de vedere social.
• În cazul reorganizării, fuziunilor sau vânzărilor, putem transmite informațiile personale pe care le colectăm corespunzătoare părții terțe - un succesor.

Protecția informațiilor personale

Facem măsuri de precauție - inclusiv administrativ, tehnic și fizic - pentru a vă proteja informațiile personale de la pierderea, furtul și utilizarea lipsită de scrupule, precum și de la accesul neautorizat, dezvăluire, schimbări și distrugere.

Respectarea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a vă asigura că informațiile dvs. personale sunt sigure, aducem norma confidențialității și securității angajaților noștri și respectăm cu strictețe executarea măsurilor de confidențialitate.