Lecția 40. Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghiular. S. B. A. h. S. bc. N. AC. A.V. Înălțimea triunghiului dreptunghiular, condusă de la vârful unghiului direct, împarte triunghiul pe 2 triunghiuri dreptunghiulare, fiecare dintre care este similar cu acest triunghi. Semn de similitudine al triunghiurilor dreptunghiulare. Două triunghiuri dreptunghiulare sunt similare dacă au la un colț acut egal. Segmentul XY se numește mediu proporțional (geometric mediu) pentru segmente AB și CD, dacă proprietatea 1. Înălțimea triunghiului dreptunghiular, realizată din vârful unghiului direct, este media proporțională între proiecțiile de catete pe hipotenuse . Proprietate 2. Rădăcinile unui triunghi dreptunghiular sunt o medie proporțională între hipotenurus și proiecția acestei categorii pe hipotenuse.
Glisați 28. De la prezentare "Geometrie" triunghiuri similare "". Dimensiunea arhivei cu o prezentare de 232 kb.Clasa de geometrie 8.
Rezumatul altor prezentări"Soluția la sarcinile de pe teorema lui Pythagore" este un triunghi abc este un precedabil. Utilizarea practică a teoremei pithagoreene. AVSD este un cvadrangle. Zona pătrată. Găsiți Sun. Dovezi. Bazele unui trapez în mod egal. Luați în considerare teorema lui Pythagora. Zona patronaterală. Triunghiuri dreptunghiulare. Teorema lui Pitagora. Piața hipotensei este egală cu suma pătratelor catetelor.
"Găsirea unei zone de paralelogram" - baza. Înălţime. Determinarea înălțimii paralelogramei. Semne de egalitate de triunghiuri dreptunghiulare. Paralelogramă pătrată. Găsiți zona triunghiului. Proprietățile pătratelor. Exerciții orale. Găsiți zona de pologramă. Înălțimi paralelograme. Găsiți perimetrul pătratului. Zona unui triunghi. Găsiți pătratul pătrat. Găsiți o zonă dreptunghiulară. Zona pătrată.
"Piața" Gradul 8 "- Piața Neagră. Sarcini pentru munca orală în jurul perimetrului pătratului. Zona pătrată. Semne de pătrat. Piața dintre noi. Piața este un dreptunghi pe care toate partidele sunt egale. Pătrat. Geantă cu bază pătrată. Sarcini orale. Câte pătrate sunt prezentate în imagine. Proprietăți pătrate. Comerciant bogat. Sarcini pentru munca orală în Piața Square. Piața perimetrală.
"Definiția simetriei axiale" - puncte situate pe un perpendicular. Trageți două drepte. Clădire. Construi un punct. Prompt. Cifrele care nu posedă simetrie axială. Secțiune. Au ratat coordonatele. Figura. Cifrele având mai mult de două axe de simetrie. Simetrie. Simetrie în poezie. Construi triunghiuri. Axa de simetrie. Construirea unui segment. Construirea unui punct. Cifrele care posedă două axe de simetrie. Popoare. Triunghiuri. Proporționalitate.
"Determinarea acestor triunghiuri" - poligoane. Segmente proporționale. Raportul dintre zonele unor astfel de triunghiuri. Două triunghiuri sunt numite similare. Condiții. Construiți un triunghi în conformitate cu două colțuri și bisector în partea de sus. Să presupunem că este necesar să se determine distanța până la postare. Al treilea semn al asemănării triunghiurilor. Construi un triunghi. ABC. ABC și triunghiurile ABC sunt egale cu trei laturi. Determinarea înălțimii subiectului.
"Decizia teoremei Pythagora" face parte din ferestre. Cea mai simplă dovadă. Hammurabi. Diagonală. Dovada completă. Dovada prin metoda de subtracție. Pythagoreans. Dovada prin descompunere. Istoria teoremei. Diametru. Dovada prin add-on. EPSTEIN Dovada. Cantor. Triunghiuri. Urmașii. Apendice Teorema Pythagora. Teorema lui Pitagora. Formularea teoremei. Dovada lui Perigal. Utilizarea teoremei.
Semn de similitudine al triunghiurilor dreptunghiulare
Introducem pentru a începe un semn de similitudinea triunghiurilor dreptunghiulare.
Teorema 1.
Semn de similitudine al triunghiurilor dreptunghiulare: Două triunghiuri dreptunghiulare sunt similare atunci când au un unghi acut egal (figura 1).
Figura 1. triunghiuri similare dreptunghiulare
Dovezi.
Să dăm lui $ \\ unghi b \u003d \\ unghi b_1 $. Deoarece triunghiurile sunt dreptunghiulare, apoi $ \\ unghi A \u003d \\ unghi A_1 \u003d (90) ^ 0 $. În consecință, ele sunt similare cu primul semn al asemănării triunghiurilor.
Teorema este dovedită.
Teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghiular
Teorema 2.
Înălțimea triunghiului dreptunghiular, condusă de vârful unghiului drept, separă triunghiul în două triunghiuri dreptunghiulare similare, fiecare dintre care este similar cu acest triunghi.
Dovezi.
Să dăm un triunghi dreptunghiular $ ABC $ cu un unghi direct de $ C $. Realizăm înălțimea de $ CD $ (figura 2).
Figura 2. Ilustrația teoremei 2
Dom dovedi că triunghiurile $ ACD $ și $ BCD sunt similare cu triunghiul $ ABC $ și că triunghiurile $ ACD $ și $ BCD $ sunt similare.
Deoarece $ \\ Angle ADC \u003d (90) ^ 0 $, apoi $ ACD $ triunghi dreptunghiular. În triunghiuri $ ACD $ și $ ABC $ un unghi $ un total total, prin urmare, prin teorema 1, triunghiuri $ ACD $ și $ ABC $ sunt similare.
Deoarece $ \\ Angle BDC \u003d (90) ^ 0 $, atunci triunghiul $ BCD $ este dreptunghiular. TRIANGLES $ BCD $ și $ ABC $ Un unghi $ B $ partajat, prin urmare, prin teorema 1, triunghiuri $ bcd $ și $ ABC $ sunt similare.
Ia în considerare acum triunghiuri $ ACD $ și $ bcd $
\\ [\\ unghi A \u003d (90) ^ 0- \\ unghi ACD \\] \\ [\\ angle bcd \u003d (90) ^ 0- \\ Angle ACD \u003d \\ Angle A \\]
În consecință, prin teorema 1, triunghiuri $ ACD $ și $ bcd $ sunt similare.
Teorema este dovedită.
Mijlocul proporțional
Teorema 3.
Înălțimea triunghiului dreptunghiular, condusă de la vârful unghiului direct, este media proporțională pentru segmente, la care înălțimea împarte ipothenul acestui triunghi.
Dovezi.
Prin teorema 2, avem ca $ ACD $ și $ BCD $ triunghiuri sunt ca, prin urmare,
Teorema este dovedită.
Teorema 4.
Pisica triunghiului ribal este un mediu proporțional între hipotenuse și segmentul ipotezei, încheiat între cateți și înălțimea colțului.
Dovezi.
În dovada teoremei vom folosi denumirile din figura 2.
Prin teorema 2, avem ca $ ACD $ și $ ABC $ triunghiuri sunt ca, prin urmare,
Teorema este dovedită.
Astăzi, vi se oferă atenția dvs. o altă prezentare într-un obiect uimitor și misterios - geometrie. În această prezentare, vă vom prezenta noua proprietate a cifrelor geometrice, în special, cu conceptul de segmente proporționale în triunghiuri dreptunghiulare.
Pentru a începe, trebuie să vă amintiți ce este un triunghi? Acesta este cel mai simplu poligon format din trei noduri legate de trei segmente. Apel dreptunghiular un triunghi, în care unul dintre colțuri este egal cu 90 de grade. Ați familiarizat deja mai detaliat cu ei în materialele educaționale anterioare prezentate în atenția dvs.
Deci, revenind la subiectul nostru de astăzi, în ordine, intorizăm că înălțimea triunghiului dreptunghiular, realizată dintr-un unghi de 90 de grade, îl împarte în două triunghiuri, care sunt similare atât între ele cât și cu originalul. Toate imaginile și graficele care vă interesează sunt date în prezentarea propusă și vă recomandăm să le contactați, însoțiți explicația descrisă.
Exemplul grafic al tezei descrise mai sus poate fi văzut pe al doilea diapozitiv. Pe baza primului semn al asemănării triunghiurilor, triunghiurile sunt similare, deoarece au două unghi identice. Dacă specificați mai detaliat, înălțimea, coborâtă pe hipotenuse, formează un unghi drept cu el, adică există deja aceleași unghiuri, fiecare dintre unghiurile formate are originalul câte unul originală. Rezultatul este două colțuri egale unul cu celălalt. Asta este, triunghiurile sunt similare.
De asemenea, suntem denotăm de mine implică conceptul de "media proporțională" sau "medie geometrică"? Acesta este un anumit segment XY pentru segmentele AB și CD, atunci când este egal cu rădăcina pătrată a lungimii lor.
Din care urmează, de asemenea, că triunghiul ribal poate fi mediu geometric între hipotenurus și proiecția acestei categorii pe hipotenuse, adică o altă categorie.
O altă proprietate a triunghiului direct este că înălțimea sa, condusă de un unghi de 90 o, este o medie proporțională între proiecțiile de catete pe hipotenuse. Dacă vă referiți la atenția propusă, prezentarea și alte materiale, veți vedea că există o dovadă a tezei specificate într-o formă foarte simplă și accesibilă. Anterior, am demonstrat deja că triunghiurile rezultate sunt similare unul cu celălalt și cu triunghiul original. Apoi, folosind raportul dintre aceste forme geometrice, ajunge la faptul că înălțimea triunghiului dreptunghiular este direct proporțională cu rădăcina pătrată a produsului de segmente care au fost formate ca urmare a omiterii înălțimii de la unghiul direct a triunghiului original.
Acestea din urmă în prezentare afirmă că panglica de panglică poate fi medie geometrică pentru hipotenuse și segmentul său situat între cathetele și înălțimea unghiului egal cu 90 de grade. Acest caz ar trebui luat în considerare din cealaltă parte că aceste triunghiuri sunt similare unul cu celălalt, iar catta de unul dintre ele este obținută printr-o ipotenie a celuilalt. Dar vă veți familiariza cu acest detaliu, studiind materialele propuse.
Semn de similitudine al triunghiurilor dreptunghiulare
Introducem pentru a începe un semn de similitudinea triunghiurilor dreptunghiulare.
Teorema 1.
Semn de similitudine al triunghiurilor dreptunghiulare: Două triunghiuri dreptunghiulare sunt similare atunci când au un unghi acut egal (figura 1).
Figura 1. triunghiuri similare dreptunghiulare
Dovezi.
Să dăm lui $ \\ unghi b \u003d \\ unghi b_1 $. Deoarece triunghiurile sunt dreptunghiulare, apoi $ \\ unghi A \u003d \\ unghi A_1 \u003d (90) ^ 0 $. În consecință, ele sunt similare cu primul semn al asemănării triunghiurilor.
Teorema este dovedită.
Teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghiular
Teorema 2.
Înălțimea triunghiului dreptunghiular, condusă de vârful unghiului drept, separă triunghiul în două triunghiuri dreptunghiulare similare, fiecare dintre care este similar cu acest triunghi.
Dovezi.
Să dăm un triunghi dreptunghiular $ ABC $ cu un unghi direct de $ C $. Realizăm înălțimea de $ CD $ (figura 2).
Figura 2. Ilustrația teoremei 2
Dom dovedi că triunghiurile $ ACD $ și $ BCD sunt similare cu triunghiul $ ABC $ și că triunghiurile $ ACD $ și $ BCD $ sunt similare.
Deoarece $ \\ Angle ADC \u003d (90) ^ 0 $, apoi $ ACD $ triunghi dreptunghiular. În triunghiuri $ ACD $ și $ ABC $ un unghi $ un total total, prin urmare, prin teorema 1, triunghiuri $ ACD $ și $ ABC $ sunt similare.
Deoarece $ \\ Angle BDC \u003d (90) ^ 0 $, atunci triunghiul $ BCD $ este dreptunghiular. TRIANGLES $ BCD $ și $ ABC $ Un unghi $ B $ partajat, prin urmare, prin teorema 1, triunghiuri $ bcd $ și $ ABC $ sunt similare.
Ia în considerare acum triunghiuri $ ACD $ și $ bcd $
\\ [\\ unghi A \u003d (90) ^ 0- \\ unghi ACD \\] \\ [\\ angle bcd \u003d (90) ^ 0- \\ Angle ACD \u003d \\ Angle A \\]
În consecință, prin teorema 1, triunghiuri $ ACD $ și $ bcd $ sunt similare.
Teorema este dovedită.
Mijlocul proporțional
Teorema 3.
Înălțimea triunghiului dreptunghiular, condusă de la vârful unghiului direct, este media proporțională pentru segmente, la care înălțimea împarte ipothenul acestui triunghi.
Dovezi.
Prin teorema 2, avem ca $ ACD $ și $ BCD $ triunghiuri sunt ca, prin urmare,
Teorema este dovedită.
Teorema 4.
Pisica triunghiului ribal este un mediu proporțional între hipotenuse și segmentul ipotezei, încheiat între cateți și înălțimea colțului.
Dovezi.
În dovada teoremei vom folosi denumirile din figura 2.
Prin teorema 2, avem ca $ ACD $ și $ ABC $ triunghiuri sunt ca, prin urmare,
Teorema este dovedită.
Obiective Lecția:
- introduceți conceptul de două segmente medii proporționale (medii geometrice);
- luați în considerare o problemă a segmentelor proporționale într-un triunghi dreptunghiular: proprietatea înălțimii triunghiului dreptunghiular condusă de vârful unghiului direct;
- pentru a forma studenți abilitățile de a folosi subiectul studiat în procesul de rezolvare a problemelor.
Tipul lecției: Lecția care studiază un material nou.
Plan:
- Orgmoment.
- Actualizarea cunoștințelor.
- Studierea proprietăților înălțimii triunghiului dreptunghiular efectuate de vârful unghiului direct:
- etapa pregătitoare;
- Introducere;
- Asimilarea. - Introducerea conceptului de două segmente proporționale proporționale.
- Asimilarea conceptului de două segmente proporționale proporționale.
- Dovada consecințelor:
- înălțimea triunghiului dreptunghiular, condusă de la vârful unghiului direct, este media proporțională dintre segmentele la care hipotenusele este împărțită în această înălțime;
- triunghiul rattal poate fi un mediu proporțional între hipotenuse și segmentul de hipotenusuri, încheiate între cathete și înălțime. - Rezolvarea sarcinilor.
- Rezumând.
- Stabilirea temelor.
În timpul clasei
I. Orgmoment
- Bună ziua, stai jos. Toate sunt gata pentru o lecție?
Începem să lucrăm.
II. Actualizarea cunoștințelor
- Ce concepție matematică importantă ați întâlnit lecțiile anterioare? ( cu conceptul de asemănare a triunghiurilor)
- Să ne amintim ce sunt numite două triunghiuri similare? (Două triunghiuri sunt numite similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar părțile laterale ale unui triunghi sunt proporționale cu asemănările unui alt triunghi)
- Ce folosim cu dovada similitudinii a două triunghiuri? (
- Cuvântul aceste semne (Formulați trei semne de similitudine a triunghiurilor)
III. Studierea proprietăților de înălțime ale unui triunghi dreptunghiular efectuat de la vârful unghiului direct
a) etapa pregătitoare
- Băieți, vă rugăm să vă uitați la primul diapozitiv. ( aplicație) Iată două triunghiuri dreptunghiulare - și. și - înălțimea și, în consecință. 
.
Sarcina 1. A) Determina dacă sau.
- Ce folosim în dovada similitudinii triunghiurilor? ( semne de similitudine a triunghiurilor)
(Primul semn, pentru că în sarcină, nimic nu este necunoscut despre părțile laterale ale triunghiurilor)
. (Două perechi: 1. ∟v \u003d ∟v1 (drept), 2. ∟A \u003d ∟a 1)
- Scoate. conform primului semn al asemănării triunghiurilor ~)
Sarcina 1. B) Determina dacă sau.
- Ce semn de similitudine va fi folosit și de ce? (Primul semn, deoarece în sarcină, nimic nu este necunoscut despre părțile laterale ale triunghiurilor)
- Câte aburi de colțuri egale trebuie să găsim? Găsiți aceste cupluri (Deoarece triunghiurile sunt dreptunghiulare, atunci o singură pereche de unghiuri egale este suficientă: ∟a \u003d ∟a 1)
- Luați ieșire. (Conform primului semn, similitudinea triunghiurilor concluzionează că aceste triunghiuri sunt similare).
Ca urmare a conversației, diapozitivul 1 arată astfel:
b) Teorema de deschidere
Sarcina 2.
- Determinați dacă sau și. Ca urmare a conversației, răspunsurile sunt întocmite, care se reflectă pe diapozitiv.
- Figura a fost menționată. Am folosit acest grad cu răspunsurile la sarcini? ( Nu, nu este folosit)
- Băieți, trageți o concluzie: ce triunghiuri împărtășesc o înălțime triunghiul dreptunghiulară efectuată de la vârful unghiului direct? (faceți o concluzie)
- Întrebarea apare: aceste două triunghiuri dreptunghiulare, care înălțimea rupe triunghiul dreptunghiular este similar unul cu celălalt? Să încercăm să găsim o pereche de colțuri egale.
Înregistrarea este construită ca urmare a conversației.:
- Și acum să facem o ieșire completă. ( Concluzie: înălțimea triunghiului dreptunghiular, condusă din partea superioară a unghiului drept, separă triunghiul în două similar
- asa de Am formulat și am demonstrat teorema despre proprietatea înălțimii triunghiului dreptunghiular.
Stabiliți structura teoremei și facem un desen. Ce este dat în teorema și ce să dovedească? Elevii sunt înregistrați în notebook:
- Să dovedim primul punct al teoremei pentru noul desen. Ce semn de similitudine va folosi și de ce? (În primul rând, pentru că în teorema, nimic nu este cunoscut despre părțile laterale ale triunghiurilor)
- Câte aburi de colțuri egale trebuie să găsim? Găsiți aceste perechi. (În acest caz, o singură pereche: ∟a-General)
- Luați ieșire. Triunghiurile sunt ca. Ca rezultat, este prezentată o probă de formare a teoremei.
- A doua și a treia elemente vor dezactiva acasă pe cont propriu.
c) Asimilarea teoremei
- Deci, formulați din nou teorema (Înălțimea triunghiului dreptunghiular, condusă de vârful unghiului drept, separă triunghiul în două similartriunghi dreptunghiular, fiecare dintre care este similar cu acesta)
- Câte perechi de astfel de triunghiuri în design "într-un triunghi dreptunghiular au efectuat o înălțime a vârfului unghiului direct" vă permite să găsiți această teoremă? ( Trei perechi)
Elevii sunt propuși următoare sarcină:
IV. Introducerea conceptului de două segmente proporționale proporționale
- Și acum vom învăța cu dvs. un nou concept.
Atenţie!
Definiție. Secțiune X Y. numit mijlocul proporțional (Geometric mediu) între segmente Ab. și CD, în cazul în care un
(Înregistrați într-un notebook).
V. Mastering conceptul de două segmente proporționale proporționale
- Acum să ne întoarcem la următorul diapozitiv.
Exercitiul 1.Găsiți lungimea segmentelor proporționale medii ale Mn și KP dacă mn \u003d 9 cm, kp \u003d 16 cm.
- Ce este dat în sarcină? ( Două segmente și lungimile lor: Mn \u003d 9 cm, KP \u003d 16 cm)
- Ce ar trebui să găsesc? ( Lungimea medie proporțională cu aceste segmente)
- Ce formulă este exprimată în proporțional și cum o găsim?
(Înlocuim datele în formula și găsim lungimea CPROPE.)
Numărul de sarcină 2.Găsiți lungimea segmentului AB dacă segmentele medii proporționale ale AB și CD-urilor sunt de 90 cm și CD \u003d 100 cm
- Ce este dat în sarcină? (lungimea segmentului CD \u003d 100 cm și segmentele medii proporționale ale AB și CD sunt de 90 cm)
- Ce ar trebui să găsesc în sarcină? ( AB Lungime tăiată)
- Cum vom rezolva sarcina? (Ghidăm formula segmentelor proporționale medii ale AB și CD, exprimă-o de la ea lungimea AB și înlocuiesc aceste sarcini.)
VI. Consecinţă
- Băieți bine făcuți. Și acum să ne întoarcem la asemănarea triunghiurilor, dovedită de noi în Teorema. Formulați din nou teorema din nou. ( Înălțimea triunghiului dreptunghiular, realizată din vârful unghiului drept, separă triunghiul în două similartriunghi dreptunghiular, fiecare dintre care este similar cu acesta)
- Să folosim mai întâi asemănarea triunghiurilor și. Ce urmează de la asta? ( Prin definiție, fețele sunt proporționale cu asemănările)
- Ce egalitate ajunge la utilizarea proprietății de bază a proporției? ()
- Express CD și ieșire (
;
.
Ieșire: Înălțimea triunghiului dreptunghiular, condusă de la vârful unghiului direct, este media proporțională dintre segmentele la care ipoteza este împărțită la această înălțime)
- Și acum dovedești că cattatul triunghiului dreptunghiular este proporționalul mediu dintre hipotenneus și segmentul de hipotensuri încheiate între cattenet și înălțime. Când ... segmente care sunt împărțite prin hipotenuse această înălțime )
Rădăcinile un triunghi dreptunghiular este un mediu proporțional între ... (- ... Hypotenuse și un segment de hipotenusuri încheiate între acest catehet și ridicat )
- Unde aplicăm declarațiile studiate? ( La rezolvarea sarcinilor)
IX. Stabilind o temă
d / S: №571, №572 (A, D), lucrări independente în notebook, teorie.
