Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu. Proporcionalni segmenti u pravokutnog trokuta proporcionalnih segmenata u pravokutnom trokutnom rješenju

Lekcija 40. Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu. S. B. a. h. S. BC. N. AC. A.V. Visina pravokutnog trokuta, provedenog iz vrha izravnog kuta, dijeli trokut na 2 takav pravokutni trokuti, od kojih je svaki sličan ovom trokutu. Znak sličnosti pravokutnih trokuta. Dva pravokutna trokuta su slična ako imaju jednak akutni kutak. XY segment naziva se medij proporcionalni (srednji geometrijski) za segmente AB i CD, ako je imovina 1. Visina pravokutnog trokuta, provedena iz vrha izravnog kuta, prosječna je proporcionalna između projekcija kateteta na hipotetu , Imovina 2. Korijeni pravokutnog trokuta je prosječan proporcionalan između hipotenura i projekcije ove kategorije na hipotenuzu.

Slide 28. Iz prezentacije "Geometrija" sličnih trokuta ", Veličina arhive s prezentacijom 232 KB.

Klasa geometrije 8

Sažetak drugih prezentacija

"Rješenje zadataka na Pythagoreovom teoremu" je trokut ABC je prethodan. Praktična uporaba Pitagorejskog teorema. AVSD je četverokut. Kvadratno područje. Pronađi Sunce. Dokaz. Baza jednakog trapeza. Razmotrite teoremu Pitagore. Kvadrilateralno područje. Pravokutni trokuti. Pitagorin poučak. Trg hipotenut je jednak zbroju kvadrata kateteta.

"Pronalaženje područja paralelograma" - osnova. Visina. Određivanje visine paralelograma. Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta. Kvadratni paralelogram. Pronađite područje trokuta. Svojstva kvadrata. Usmene vježbe. Pronađite područje nule. Visine paralelograma. Pronaći perimetar trga. Područje trokuta. Pronađite kvadratni kvadrat. Pronađite pravokutničko područje. Kvadratno područje.

"" Kvadrat "8" - crni trg. Zadatke za oralno djelo oko perimetra trga. Kvadratno područje. Znakovi kvadrata. Kvadrat među nama. Trg je pravokutnik da su sve strane jednake. Kvadrat. Vrećica s kvadratnom bazom. Usmene zadatke. Koliko kvadrata prikazano je na slici. Kvadratna svojstva. Bogati trgovac. Zadaci za oralni rad na kvadratnom trgu. Kvadrat perimetra.

"Definicija aksijalne simetrije" - točke leže na jednoj okomitoj. Nacrtajte dva ravno. Zgrada. Izgraditi točku. Potaknuti. Brojke koje ne posjeduju aksijalnu simetriju. Odjeljak. Propuštene koordinate. Lik. Brojke imaju više od dvije osi simetrije. Simetrija. Simetrija u poeziji. Izgraditi trokute. Osi simetrije. Izgradnja segmenta. Izgradnja točke. Brojke koje posjeduju dvije osi simetrije. Narodi. Trokuti. Proporcionalnost.

"Određivanje takvih trokuta" - poligoni. Proporcionalni segmenti. Omjer područja takvih trokuta. Dva trokuta nazivaju se slično. Pojmovi. Izgradite trokut prema dva ugla i bisen na vrhu. Pretpostavimo da je potrebno odrediti udaljenost do mjesta. Treći znak sličnosti trokuta. Izgraditi neki trokut. Abc. ABC i ABC trokuti su jednaki tri strane. Određivanje visine subjekta.

"Odluka teorema Pythagora" je dio prozora. Najjednostavniji dokaz. Hammurabi. Dijagonala. Puni dokaz. Dokaz metodom subtrakcije. Pitagorejci. Dokaz raspadanjem. Povijest teorema. Promjer. Dokaz dodatkom. Dokaz Epstein. Cantor. Trokuti. Sljedbenici. Dodatak Teorem Pitagora. Pitagorin poučak. Tekst teorema. Dokaz o perigalu. Korištenje teorema.

Znak sličnosti pravokutnih trokuta

Upoznajemo se za početak znaka sličnosti pravokutnih trokuta.

Teorem 1.

Znak sličnosti pravokutnih trokuta: Dva pravokutnog trokuta slične su kada imaju jedan jednak akutni kut (sl. 1).

Slika 1. Slični pravokutni trokuti

Dokaz.

Dopustite da damo taj kut b \u003d kut b_1 $. Budući da su trokuti pravokutni, onda $ kut a \u003d kut a_1 \u003d (90) ^ 0 $. Prema tome, oni su slični prvom znaku sličnosti trokuta.

Teorem se dokazuje.

Teorem visine u pravokutnom trokutu

Teorem 2.

Visina pravokutnog trokuta, provedenog od vrha ravnog kuta, razdvaja trokut u dva slična pravokutna trokuta, od kojih je svaki sličan ovom trokutu.

Dokaz.

Dajmo pravokutni trokut $ ABC $ s izravnim kutom od $ c $. Provodimo visinu $ CD $ (sl. 2).

Slika 2. Ilustracija teorema 2

Pokazali smo da su $ ACD $ i $ BCD $ trokuti su slični $ ABC $ trokut i da su trokuti $ ACD $ i $ BCD $ su slični.

Od $ kuta ADC \u003d (90) ^ 0 $, zatim $ ACD $ pravokutni trokut. U trokutima $ ACD $ i $ ABC $ kut $ $ ukupno, stoga, po teoremu 1, trokuti $ ACD $ i $ ABC $ su slični.

Budući da $ kut BDC \u003d (90) ^ 0 $, zatim $ BCD $ trokut je pravokutan. Trokuti $ BCD $ i $ ABC $ kut $ B $ zajednički, dakle, teorem 1, trokuti $ BCD $ i $ ABC $ su slični.

Razmotrite sada trokuti $ ACD $ i $ BCD $

\\ Di \u003d (90) ^ 0- kut ACD] \\ ^ kut BCD \u003d (90) ^ 0- kut acd \u003d kut

Prema tome, po teoremu 1, trokuti $ ACD $ i $ BCD $ su slični.

Teorem se dokazuje.

Srednji proporcionalan

Teorem 3.

Visina pravokutnog trokuta, provedena iz vrha izravnog kuta, prosječna je proporcionalna za segmente, na koje visina dijeli hipotenu ovog trokuta.

Dokaz.

Prema teoremi 2, imamo taj $ ACD $ i $ BCD $ trokuta od $, dakle

Teorem se dokazuje.

Teorem 4.

Ribalni trokut mačka je medij proporcionalan između hipotenuze i segmenta hipotenuze, zaključen između kateteta i visine ugla.

Dokaz.

U dokazu o teoremu koristit ćemo oznake sa slike 2.

Prema teoremi 2, imamo taj $ ACD $ i $ ABC $ trokuti su, dakle

Teorem se dokazuje.

Danas vam se vaša pozornost posvećuje drugoj prezentaciji u nevjerojatnoj i tajanstvenoj objektnoj geometriji. U ovoj prezentaciji upoznat ćemo vas s novom imovinom geometrijskih podataka, osobito, s konceptom proporcionalnih segmenata u pravokutnim trokutima.

Za početak, trebali biste se sjetiti što je trokut? To je najjednostavniji poligon koji se sastoji od tri vrha koja su povezana s tri segmenta. Pravokutni poziv trokut, u kojem je jedan od uglova jednak 90 stupnjeva. Već ste se detaljnije upoznali u našim prethodnim obrazovnim materijalima koji su vam prezentirani.

Dakle, vraćajući se na našu današnju temu, kako bismo označili da je visina pravokutnog trokuta, provedena iz kuta od 90 stupnjeva, dijeli ga u dva trokuta, koja su slična i između sebe i s originalom. Sve slike i grafike koje vas zanimaju su dani u predloženom prezentaciji, a preporučujemo da ih kontaktirate, prateći opisano objašnjenje.

Grafički primjer gore opisane teze može se vidjeti na drugom slajdu. Na temelju prvog znaka sličnosti trokuta, trokuti su slični, jer imaju dva identična kut. Ako detaljnije navedete, visina, spuštena na hipotenuzu, čini ravni kut s njom, to jest, već postoje isti kutovi, svaki od oblikovanih kutova ima izvorni jedan zajednički kutak. Rezultat su dva ugla jednaka jedni drugima. To jest, trokuti su slični.

Također označavamo podrazumijevamo koncept "srednje proporcionalne" ili "srednje geometrijske"? Ovo je određeni segment XY za segmente AB i CD, kada je jednak kvadratnom korijenu njihove duljine.

Od kojih slijedi i da ribalni trokut može biti srednji geometrijski između hipotenusa i projekcije ove kategorije na hipotenusu, to jest, druga kategorija.

Još jedna od svojstava izravnog trokuta je da je njegova visina, provedena iz kuta od 90 o, prosječna je proporcionalna između projekcija kateteta na hipotenusu. Ako se odnosi na predloženu pažnju, prezentaciju i druge materijale, vidjet ćete da postoji dokaz o određenoj tezi u vrlo jednostavnom i pristupačnom obliku. Prije toga, već smo dokazali da su rezultirajući trokuti slični jedni drugima i s izvornim trokutom. Zatim, koristeći omjer katete ovih geometrijskih oblika, dođite na činjenicu da je visina pravokutnog trokuta izravno proporcionalna kvadratnom korijenu proizvoda segmenata koji su nastali kao rezultat izostavljanja visine iz izravnog kuta izvornog trokuta.

Potonji u prezentaciji navodi da vrpca može biti srednje geometrijska za hipotenuzu i njegov segment koji se nalazi između kateleta i visine kuta jednaka 90 stupnjeva. Ovaj slučaj treba uzeti u obzir s druge strane da su ti trokuti međusobno slični, a katat jednog od njih dobiva se hipotenomom drugog. Ali u detaljnije ćete se upoznati proučavanjem predloženih materijala.

Znak sličnosti pravokutnih trokuta

Upoznajemo se za početak znaka sličnosti pravokutnih trokuta.

Teorem 1.

Znak sličnosti pravokutnih trokuta: Dva pravokutnog trokuta slične su kada imaju jedan jednak akutni kut (sl. 1).

Slika 1. Slični pravokutni trokuti

Dokaz.

Dopustite da damo taj kut b \u003d kut b_1 $. Budući da su trokuti pravokutni, onda $ kut a \u003d kut a_1 \u003d (90) ^ 0 $. Prema tome, oni su slični prvom znaku sličnosti trokuta.

Teorem se dokazuje.

Teorem visine u pravokutnom trokutu

Teorem 2.

Visina pravokutnog trokuta, provedenog od vrha ravnog kuta, razdvaja trokut u dva slična pravokutna trokuta, od kojih je svaki sličan ovom trokutu.

Dokaz.

Dajmo pravokutni trokut $ ABC $ s izravnim kutom od $ c $. Provodimo visinu $ CD $ (sl. 2).

Slika 2. Ilustracija teorema 2

Pokazali smo da su $ ACD $ i $ BCD $ trokuti su slični $ ABC $ trokut i da su trokuti $ ACD $ i $ BCD $ su slični.

Od $ kuta ADC \u003d (90) ^ 0 $, zatim $ ACD $ pravokutni trokut. U trokutima $ ACD $ i $ ABC $ kut $ $ ukupno, stoga, po teoremu 1, trokuti $ ACD $ i $ ABC $ su slični.

Budući da $ kut BDC \u003d (90) ^ 0 $, zatim $ BCD $ trokut je pravokutan. Trokuti $ BCD $ i $ ABC $ kut $ B $ zajednički, dakle, teorem 1, trokuti $ BCD $ i $ ABC $ su slični.

Razmotrite sada trokuti $ ACD $ i $ BCD $

\\ Di \u003d (90) ^ 0- kut ACD] \\ ^ kut BCD \u003d (90) ^ 0- kut acd \u003d kut

Prema tome, po teoremu 1, trokuti $ ACD $ i $ BCD $ su slični.

Teorem se dokazuje.

Srednji proporcionalan

Teorem 3.

Visina pravokutnog trokuta, provedena iz vrha izravnog kuta, prosječna je proporcionalna za segmente, na koje visina dijeli hipotenu ovog trokuta.

Dokaz.

Prema teoremi 2, imamo taj $ ACD $ i $ BCD $ trokuta od $, dakle

Teorem se dokazuje.

Teorem 4.

Ribalni trokut mačka je medij proporcionalan između hipotenuze i segmenta hipotenuze, zaključen između kateteta i visine ugla.

Dokaz.

U dokazu o teoremu koristit ćemo oznake sa slike 2.

Prema teoremi 2, imamo taj $ ACD $ i $ ABC $ trokuti su, dakle

Teorem se dokazuje.

Ciljevi Lekcija:

1. uvesti koncept prosječnih proporcionalnih (srednji geometrijski) dva segmenta;
2. razmotriti problem proporcionalnih segmenata u pravokutnom trokutu: svojstvo visine pravokutnog trokuta provedenog iz vrha izravnog kuta;
3. oblikujte učenike vještine korištenja teme proučavanja u procesu rješavanja problema.

Vrsta lekcije: Lekcija koja proučava novi materijal.

Plan:

1. Orgmomenta.
2. Aktualizacija znanja.
3. Proučavanje svojstava visine pravokutnog trokuta provedenog iz vrha izravnog kuta:
   - pripremna faza;
   - Uvod;
   - asimilacija.
4. Uvođenje koncepta srednjih proporcionalnih dva segmenta.
5. Asimilaciju koncepta srednjeg proporcionalnog dva segmenta.
6. Dokaz o posljedicama:
   - visina pravokutnog trokuta, provedenog iz vrha izravnog kuta, prosječna je proporcionalna između segmenata na koje je hipotenuzija podijeljena u ovu visinu;
   - Rattal trokut može biti medij proporcionalan između hipotenuse i segmenta hipotenusa, zaključen između kateleta i visine.
7. Rješavanje zadataka.
8. Sumiranje.
9. Postavljanje domaće zadaće.

Tijekom nastave

I. Orgmomente

- Zdravo momci, sjedni. Svi su spremni za lekciju?

Počinjemo raditi.

Ii. Aktualizacija znanja

- Koji ste važni matematički koncept upoznali prethodne lekcije? ( s konceptom sličnosti trokuta)

- Sjetimo se što se dva trokuta nazivaju sličnim? (Dva trokuta nazivaju se slično ako su njihovi kutovi jednaki, a strane jednog trokuta su proporcionalne sličnosti drugog trokuta)

- Što koristimo s dokazom o sličnosti dva trokuta? (

- Riječ tih znakova (formulirati tri znaka sličnosti trokuta)

Iii. Proučavanje visinskih svojstava pravokutnog trokuta provedenog iz vrha izravnog kuta

a) pripremna faza

- Momci, pogledajte prvi slajd. ( primjena) Ovdje su dva pravokutna trokuta - i. i - visina i, prema tome. .

Zadatak 1. a) Odrediti je li ili.

- Što koristimo u dokazu o sličnosti trokuta? ( znakovi sličnosti trokuta)

(prvi znak, jer u zadatku, ništa nije nepoznato o stranama trokuta)

, (Dva para: 1. ∟v \u003d ∟V1 (ravno), 2. ∟a \u003d ∟a 1)

- izvadite. prema prvom znaku sličnosti trokuta ~)

Zadatak 1. b) Odrediti je li ili.

- Kakav će se znak sličnosti koristiti i zašto? (prvi znak, jer u zadatku, ništa nije nepoznato o stranama trokuta)

- Koliko pare jednakih uglova trebamo pronaći? Pronađite ove parove (Budući da su trokuti pravokutni, onda je jedan par jednakih kutova dovoljan: ∟a \u003d ∟a 1)

- Uzmi izlaz. (Prema prvom znaku, sličnost trokuta zaključuje da su ti trokuti slični).

Kao rezultat razgovora, kliznik 1 izgleda ovako:

b) Otvaranje teorema

Zadatak 2.

- Odredite je li ili, i. Kao rezultat razgovora, odgovori su sastavljeni, koji se odražavaju na slajd.

- Da li je navedeno. Jesmo li koristili ovaj stupanj s odgovorima na zadatke? ( Ne, ne koristi se)

- Dečki, nacrtajte zaključak: Koji trokuti dijele pravokutnu visinu trokuta provedena iz vrha izravnog kuta? (Napravite zaključak)

- postavlja se pitanje: hoće li se ta dva pravokutna trokuta, koja visina razbija pravokutni trokut, sličan jedni drugima? Pokušajmo pronaći par jednakih kutova.

Snimanje je izgrađeno kao rezultat razgovora.:

- i sada napravimo potpuni izlaz. ( Zaključak: Visina pravokutnog trokuta, provedena od vrha ravnog kuta, razdvaja trokut u dva sličan

- tako Formulirali smo i dokazali teoremu o vlasništvu visine pravokutnog trokuta.

Uspostavljamo strukturu teorema i napravimo crtež. Što se daje u teoremu i što dokazati? Učenici se snimaju u bilježnici:

- Dopustite da dokažemo prvu točku teorema za novi crtež. Kakav će znak sličnosti koristiti i zašto? (Prvo, jer u teoremu, ništa nije poznato o stranama trokuta)

- Koliko pare jednakih uglova trebamo pronaći? Pronađite ove parove. (U ovom slučaju, jedan par: ∟a općenito)

- Uzmi izlaz. Trokuti su poput. Kao rezultat toga, prikazan je uzorak formiranja teorema.

- Drugi i treći predmeti će sami onemogućiti kod kuće.

c) asimilaciju teorema

- Dakle, formulirajte još jednom teorem (Visina pravokutnog trokuta, provedena iz vrha ravnog kuta, razdvaja trokut u dva sličanpravokutni trokut, od kojih je svaki sličan ovome)

- Koliko pari takvih trokuta u dizajnu "u pravokutnom trokutu provodi visinu vrha izravnog kuta" omogućuje vam da pronađete ovaj teorem? ( Tri para)

Učenici su predloženi sljedeći zadatak:

Iv. Uvođenje koncepta srednjih proporcionalnih dva segmenta

- A sada ćemo s vama naučiti novi koncept.

Pažnja!

Definicija. Odjeljak XY. nazvan srednji proporcionalan (srednji geometrijski) između segmenata Ab i CD, ako a

(Snimanje u prijenosnom računalu).

V. Ovladavanje konceptom srednjih proporcionalnih dva segmenta

- Sada ćemo se obratiti sljedećem slajdu.

Vježba 1.Pronađite duljinu prosječnih proporcionalnih segmenata MN i KP ako je MN \u003d 9 cm, KP \u003d 16 cm.

- Što se daje u zadatku? ( Dva segmenta i njihove duljine: MN \u003d 9 cm, KP \u003d 16 cm)

- Što trebam pronaći? ( Duljina prosječnog proporcionalnog ovim segmentima)

- koja se formula izražava u proporcionalnom i kako ga nalazimo?

(Zamijenimo podatke u formuli i pronađite duljinu CPrope.)

Zadatak broj 2.Pronađite duljinu AB segmenta Ako su prosječni proporcionalni segmenti AB i CD-a 90 cm i CD \u003d 100 cm

- Što se daje u zadatku? (Duljina segmenta CD \u003d 100 cm i prosječni proporcionalni segmenti AB i CD je 90 cm)

- Što trebam naći u zadatku? ( Duljina rezanja

- Kako ćemo riješiti zadatak? (Vodimo formulu srednjih proporcionalnih segmenata AB i CD-a, izrazite je od njega duljine AB i zamijenite ove zadatke.)

Vi. Posljedica

- Dobro napravljene dječake. I sada se vratimo na sličnost trokuta, dokazala nas u teoremu. Ponovno formulirati opet teorem. ( Visina pravokutnog trokuta, izveden iz vrha ravnog kuta, razdvaja trokut u dva sličanpravokutni trokut, od kojih je svaki sličan ovome)

- Prvo koristimo sličnost trokuta i. Što slijedi iz ovoga? ( Po definiciji, lica su proporcionalne sličnosti)

- Koja jednakost dobiva prilikom korištenja osnovnog vlasništva udjela? ()

- Express CD i izlaz (;.

Izlaz: visina pravokutnog trokuta, provedena iz vrha izravnog kuta, prosječna je proporcionalna između segmenata na koje je hipotenuzija podijeljena s ovom visinom)

- i sada to dokazuju da je katta pravokutnog trokuta prosječna proporcionalna između hipokneusa i segmenta hipotenusa koji su se zaključili između kateneta i visine. Kada ... segmenti koji su podijeljeni hipotenuseom ovu visinu )

Roots Pravokutni trokut je medij proporcionalan između ... (- ... hipotenuse i segment hipotenaza zaključenih između ovog kateta i visokog )

- Gdje primjenjujemo proučavane izjave? ( Prilikom rješavanja zadataka)

Ix. Postavljanje domaće zadaće

d / s: №571, №572 (a, d), neovisni rad u prijenosnom računalu.