Les 40. Proportionele segmenten in een rechthoekige driehoek. S. B. een. h. S. BC. N. AC. A.V. Hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd uit de vertex van de directe hoek, verdeelt de driehoek op 2 dergelijke rechthoekige driehoeken, die elk vergelijkbaar zijn met deze driehoek. Teken van gelijkenis van rechthoekige driehoeken. Twee rechthoekige driehoeken zijn vergelijkbaar als ze in een gelijke acute hoek hebben. XY-segment wordt medium proportioneel (medium geometrisch) genoemd voor segmenten AB en CD, als het eigenschap 1. De hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd uit de vertex van de directe hoek, is het gemiddelde evenredige tussen de uitsteeksels van CathotenUse . Eigenschap 2. Wortels van een rechthoekige driehoek is een gemiddelde proportioneel tussen de hypotenurus en de projectie van deze categorie op de hypotenuse.
Dia 28. Van de presentatie "Geometrie" vergelijkbare driehoeken ""\u200b De grootte van het archief met een presentatie 232 KB.Geometrie klasse 8
Samenvatting van andere presentaties"De oplossing voor de taken op de theorem van Pythagore" is een driehoek ABC is een voorrecht. Praktisch gebruik van de Pythagorean-stelling. AVDD is een vierhoek. Vierkant gebied. Zoek zon. Bewijs. Basen van een even trapezium. Overweeg de stelling van Pythagora. Vierhoek. Rechthoekige driehoeken. De stelling van Pythagoras. Het vierkant van de hypotenuse is gelijk aan de som van de vierkanten van de kathetjes.
"Een parallellogramgebied vinden" - de basis. Hoogte. Bepaling van de hoogte van het parallellogram. Tekenen van gelijkheid van rechthoekige driehoeken. Vierkant parallellogram. Zoek het driehoekige gebied. Eigenschappen van vierkanten. Orale oefeningen. Zoek het pologram-gebied. Heights Parallellogram. Zoek de omtrek van het plein. Gebied van een driehoek. Vind het vierkante plein. Zoek een rechthoekig gebied. Vierkant gebied.
"" Square "Grade 8" - Black Square. Taken voor oraal werk rond de omtrek van het plein. Vierkant gebied. Tekenen van vierkant. Vierkant onder ons. Vierkant is een rechthoek die alle partijen gelijk zijn. Plein. Tas met vierkante basis. Orale taken. Hoeveel vierkanten worden op de foto getoond. Vierkante eigenschappen. Rijke handelaar. Taken voor oraal werk op vierkant vierkant. Perimeter Square.
"Definitie van axiale symmetrie" - punten die op één loodrecht liggen. Teken twee recht. Gebouw. Bouw een punt. Prompt. Figuren die geen axiale symmetrie hebben. Sectie. Gemiste coördinaten. Figuur. Figuren met meer dan twee symmetrieasses. Symmetrie. Symmetrie in poëzie. Bouw driehoeken. Symmetrie-as. Een segment bouwen. Een punt bouwen. Figuren met twee symmetrieën assen. Volkeren. Driehoeken. Evenredigheid.
"Bepaling van dergelijke driehoeken" - polygonen. Proportionele segmenten. De verhouding van gebieden van dergelijke driehoeken. Twee driehoeken worden vergelijkbaar genoemd. Voorwaarden. Bouw een driehoek volgens twee hoeken en bisector aan de bovenkant. Stel dat het nodig is om de afstand tot de post te bepalen. Het derde teken van de gelijkenis van driehoeken. Bouw een driehoek. ABC. ABC en ABC-driehoeken zijn gelijk aan drie zijden. Bepaling van de hoogte van het onderwerp.
"De beslissing van de Pythagora Theorem" maakt deel uit van de ramen. Het eenvoudigste bewijs. Hammurabi. Diagonaal. Volledig bewijs. Bewijs door aftrekwerkwijze. Pythagoreans. Bewijs door ontbinding. Geschiedenis van de stelling. Diameter. Bewijs door add-on. Epstein-bewijs. Cantor. Driehoeken. Volgers. Appendix theorem pythagora. De stelling van Pythagoras. De formulering van de stelling. Bewijs van perigal. Het gebruik van de stelling.
Teken van gelijkenis van rechthoekige driehoeken
We introduceren om een \u200b\u200bteken te starten van de gelijkenis van rechthoekige driehoeken.
Theorem 1.
Teken van gelijkenis van rechthoekige driehoeken: Twee rechthoekige driehoeken zijn vergelijkbaar wanneer ze één gelijke acute hoek hebben (figuur 1).
Figuur 1. Vergelijkbare rechthoekige driehoeken
Bewijs.
Laten we die $ \\ ange b \u003d \\ ange b_1 $ geven. Omdat de driehoeken rechthoekig zijn, dan $ \\ hoek a \u003d \\ hoek a_1 \u003d (90) ^ 0 $. Bijgevolg zijn ze vergelijkbaar met het eerste teken van de gelijkenis van driehoeken.
Theorem is bewezen.
Hoogte-stelling in een rechthoekige driehoek
Theorem 2.
De hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd uit de vertex van de rechte hoek, scheidt de driehoek in twee soortgelijke rechthoekige driehoeken, die elk vergelijkbaar zijn met deze driehoek.
Bewijs.
Laten we een rechthoekige driehoek $ ABC $ geven met een directe hoek van $ C $. We voeren de hoogte van $ CD $ (fig. 2).
Figuur 2. Illustratie van Theorem 2
We bewijzen dat de $ ACD $ en $ BCD $ driehoeken vergelijkbaar zijn met de $ ABC $-driehoek en dat de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ vergelijkbaar zijn.
Sinds $ \\ Angle ADC \u003d (90) ^ 0 $, dan $ ACD $ Rechthoekige driehoek. In driehoeken $ ACD $ en $ ABC $ een hoek $ A $ totaal, daarom, door Theorem 1, driehoeken $ ACD $ en $ ABC $ vergelijkbaar.
Sinds $ \\ Angle BDC \u003d (90) ^ 0 $, dan is de $ BCD $ Driehoek rechthoekig. De driehoeken $ BCD $ en $ ABC $ een hoek $ B $ gedeeld, daarom, door Theorem 1, driehoeken $ BCD $ en $ ABC $ vergelijkbaar.
Overweeg nu driehoeken $ ACD $ en $ BCD $
\\ [\\ hoek a \u003d (90) ^ 0- \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\hoek BCD \u003d (90) ^ 0- \\ hoek ACD \u003d \\ hoek a \\]
Bijgevolg zijn driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ vergelijkbaar.
Theorem is bewezen.
Midden evenredig
Theorem 3.
De hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd vanuit de vertex van de directe hoek, is de gemiddelde proportionele voor segmenten, waaraan de hoogte de hypothesen van deze driehoek verdeelt.
Bewijs.
Door Theorem 2 hebben we dat $ ACD $ en $ BCD $ Driehoeken zijn, daarom
Theorem is bewezen.
Theorem 4.
De ribal-driehoekige kat is een medium evenredig tussen de hypotenuse en het segment van de hypotenuse, gesloten tussen de kathet en de hoogte van de hoek.
Bewijs.
In het bewijs van de stelling zullen we de aanwijzingen uit figuur 2 gebruiken.
Door Theorem 2, hebben we dat $ ACD $ en $ ABC $ Driehoeken zijn, daarom
Theorem is bewezen.
Tegenwoordig wordt u aan uw aandacht aangeboden een andere presentatie in een geweldig en mysterieus object - Geometrie. In deze presentatie zullen we u voorstellen aan het nieuwe eigendom van geometrische figuren, in het bijzonder, met het concept van proportionele segmenten in rechthoekige driehoeken.
Om te beginnen, moet je je herinneren wat een driehoek is? Dit is de eenvoudigste polygoon bestaande uit drie hoekpunten die door drie segmenten zijn verbonden. Rechthoekige oproep een driehoek, waarin een van de hoeken gelijk is aan 90 graden. Je hebt al in onze vorige educatieve materialen in onze vorige educatieve materialen kennisgemaakt.
Dus, terugkeren naar het onderwerp van onze vandaag, in volgorde, wijzen we aan dat de hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd vanuit een hoek van 90 graden, het in twee driehoeken verdeelt, die vergelijkbaar zijn, zowel tussen zichzelf als met het origineel. Alle afbeeldingen en grafische afbeeldingen waarin u geïnteresseerd bent, worden gegeven in de voorgestelde presentatie en we raden aan om contact met hen op te nemen, bij de beschreven uitleg.
Het grafische voorbeeld van de hierboven beschreven proefschrift is te zien op de tweede dia. Op basis van het eerste teken van de gelijkenis van driehoeken zijn de driehoeken vergelijkbaar, omdat ze twee identieke hoek hebben. Als u in meer detail opgeeft, vormt de hoogte, neergelaten op de hypotenuse, een rechte hoek ermee, dat wil zeggen, er zijn al dezelfde hoeken, elk van de gevormde hoeken heeft het origineel één voor één gemeenschappelijke hoek. Het resultaat is twee hoeken gelijk aan elkaar. Dat wil zeggen, driehoeken zijn vergelijkbaar.
We duiden ook aan Mij impliceert het concept van "Mean Proportional" of "Mean Geometric"? Dit is een bepaald segment XY voor AB- en CD-segmenten, wanneer het gelijk is aan de vierkantswortel van hun lengte.
Waaruit is ook dat de ribal-driehoek medium geometrisch kan zijn tussen de hypotenurus en de projectie van deze categorie op de hypotenusus, dat wil zeggen, een andere categorie.
Een ander van de eigenschappen van de Direct Driehoek is dat de hoogte van de hoogte wordt uitgevoerd vanuit een hoek van 90 O, een gemiddeld evenredig is tussen de uitsteeksels van Cathettes op de hypotenuse. Als u verwijst naar uw voorgestelde aandacht, presentatie en andere materialen, ziet u dat er een bewijs is van het gespecificeerde proefschrift in een zeer eenvoudige en toegankelijke vorm. Eerder hebben we al bewezen dat de resulterende driehoeken vergelijkbaar zijn met elkaar en met de oorspronkelijke driehoek. Dan komt het gebruik van de verhouding van de kathetjes van deze geometrische vormen tot het feit dat de hoogte van de rechthoekige driehoek recht evenredig is met de vierkantswortel van het product van segmenten die werden gevormd als gevolg van het weglaten van de hoogte van de directe hoek van de originele driehoek.
Dit laatste in de presentatie bepaalt dat het lintlint middelgroot geometrisch kan zijn voor de hypotenuse en het segment tussen de Cathelet en de hoogte van de hoek gelijk aan 90 graden. Deze zaak moet van de andere kant worden overwogen dat deze driehoeken vergelijkbaar zijn met elkaar, en de catat van een van hen wordt verkregen door een hypothesen van de andere. Maar u zult hier meer in detail kennismaken door de voorgestelde materialen te bestuderen.
Teken van gelijkenis van rechthoekige driehoeken
We introduceren om een \u200b\u200bteken te starten van de gelijkenis van rechthoekige driehoeken.
Theorem 1.
Teken van gelijkenis van rechthoekige driehoeken: Twee rechthoekige driehoeken zijn vergelijkbaar wanneer ze één gelijke acute hoek hebben (figuur 1).
Figuur 1. Vergelijkbare rechthoekige driehoeken
Bewijs.
Laten we die $ \\ ange b \u003d \\ ange b_1 $ geven. Omdat de driehoeken rechthoekig zijn, dan $ \\ hoek a \u003d \\ hoek a_1 \u003d (90) ^ 0 $. Bijgevolg zijn ze vergelijkbaar met het eerste teken van de gelijkenis van driehoeken.
Theorem is bewezen.
Hoogte-stelling in een rechthoekige driehoek
Theorem 2.
De hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd uit de vertex van de rechte hoek, scheidt de driehoek in twee soortgelijke rechthoekige driehoeken, die elk vergelijkbaar zijn met deze driehoek.
Bewijs.
Laten we een rechthoekige driehoek $ ABC $ geven met een directe hoek van $ C $. We voeren de hoogte van $ CD $ (fig. 2).
Figuur 2. Illustratie van Theorem 2
We bewijzen dat de $ ACD $ en $ BCD $ driehoeken vergelijkbaar zijn met de $ ABC $-driehoek en dat de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ vergelijkbaar zijn.
Sinds $ \\ Angle ADC \u003d (90) ^ 0 $, dan $ ACD $ Rechthoekige driehoek. In driehoeken $ ACD $ en $ ABC $ een hoek $ A $ totaal, daarom, door Theorem 1, driehoeken $ ACD $ en $ ABC $ vergelijkbaar.
Sinds $ \\ Angle BDC \u003d (90) ^ 0 $, dan is de $ BCD $ Driehoek rechthoekig. De driehoeken $ BCD $ en $ ABC $ een hoek $ B $ gedeeld, daarom, door Theorem 1, driehoeken $ BCD $ en $ ABC $ vergelijkbaar.
Overweeg nu driehoeken $ ACD $ en $ BCD $
\\ [\\ hoek a \u003d (90) ^ 0- \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\hoek BCD \u003d (90) ^ 0- \\ hoek ACD \u003d \\ hoek a \\]
Bijgevolg zijn driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ vergelijkbaar.
Theorem is bewezen.
Midden evenredig
Theorem 3.
De hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd vanuit de vertex van de directe hoek, is de gemiddelde proportionele voor segmenten, waaraan de hoogte de hypothesen van deze driehoek verdeelt.
Bewijs.
Door Theorem 2 hebben we dat $ ACD $ en $ BCD $ Driehoeken zijn, daarom
Theorem is bewezen.
Theorem 4.
De ribal-driehoekige kat is een medium evenredig tussen de hypotenuse en het segment van de hypotenuse, gesloten tussen de kathet en de hoogte van de hoek.
Bewijs.
In het bewijs van de stelling zullen we de aanwijzingen uit figuur 2 gebruiken.
Door Theorem 2, hebben we dat $ ACD $ en $ ABC $ Driehoeken zijn, daarom
Theorem is bewezen.
Doelstellingen Les:
- introduceer het concept van gemiddelde proportionele (medium geometrische) twee segmenten;
- overweeg een probleem van proportionele segmenten in een rechthoekige driehoek: het eigendom van de hoogte van de rechthoekige driehoek uitgevoerd uit de vertex van de directe hoek;
- om studenten de vaardigheden te vormen van het gebruik van het onderzochte onderwerp in het proces van het oplossen van problemen.
Type les: Les die een nieuw materiaal bestudeert.
Plan:
- Orgmoment.
- Actualisatie van kennis.
- Bestuderen van de eigenschappen van de hoogte van de rechthoekige driehoek uitgevoerd uit de vertex van de directe hoek:
- Voorbereidende fase;
- Inleiding;
- Assimilatie. - De introductie van het concept van middelgrote proportionele twee segmenten.
- De assimilatie van het concept van middelgrote proportionele twee segmenten.
- Bewijs van de gevolgen:
- De hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd uit de vertex van de directe hoek, is het gemiddelde evenredige tussen de segmenten waarop de hypotenuse is verdeeld in deze hoogte;
- Rottal-driehoek kan een medium evenredig zijn tussen de hypotenuse en het segment van hypotenu's, afgesloten tussen de kathelet en de lengte. - Taken oplossen.
- Samenvatten.
- Huiswerk instellen.
Tijdens de klassen
I. ORGMOMENT
- Hallo jongens, ga zitten. Alles zijn klaar voor een les?
We beginnen met werken.
II. Actualisatie van kennis
- Welk belangrijk wiskundig concept heb je aan de vorige lessen ontmoet? \u200b met het concept van de gelijkenis van driehoeken)
- Laten we onthouden wat twee driehoeken vergelijkbaar zijn? (Twee driehoeken worden vergelijkbaar genoemd als hun hoeken respectievelijk gelijk zijn en de zijkanten van één driehoek evenredig zijn met de overeenkomsten van een andere driehoek)
- Wat gebruiken we met het bewijs van de gelijkenis van twee driehoeken? \u200b
- Word deze tekens (Formuleer drie tekenen van gelijkenis van driehoeken)
III. Bestuderen van de hoogte-eigenschappen van een rechthoekige driehoek uitgevoerd uit de vertex van de directe hoek
a) Voorbereidende fase
- Kijk, kijk alsjeblieft naar de eerste dia. \u200b toepassing) Hier zijn twee rechthoekige driehoeken - en. en - hoogte en dienovereenkomstig. 
.
Taak 1. A) Bepalen of or.
- Wat gebruiken we in het bewijs van de gelijkenis van driehoeken? \u200b tekenen van gelijkenis van driehoeken)
(het eerste teken, want in de taak is niets onbekend over de zijkanten van de driehoeken)
\u200b (Twee paren: 1. ∟v \u003d ∟v1 (recht), 2. ∟A \u003d ∟A 1)
- Afhaalmaaltijd. volgens het eerste teken van de gelijkenis van driehoeken ~)
Taak 1. B) Bepalen of or.
- Welk teken van gelijkenis zal worden gebruikt en waarom? (het eerste teken, want in de taak is niets onbekend over de zijkanten van de driehoeken)
- Hoeveel stoom van gelijke hoeken moeten we vinden? Vind deze paren (Omdat driehoeken rechthoekig zijn, is een enkel paar gelijke hoeken voldoende: ∟A \u003d ∟A 1)
- Neem de uitvoer. (Volgens het eerste teken concludeert de gelijkenis van driehoeken dat deze driehoeken vergelijkbaar zijn).
Als gevolg van het gesprek lijkt de dia 1 eruit:
b) het openen van stelling
TAAK 2.
- Bepaal of of, en. Als gevolg van het gesprek worden de antwoorden opgesteld, die worden weerspiegeld op de dia.
- Het cijfer waarop het werd vermeld. Hebben we deze mate gebruikt met de antwoorden op de taken? \u200b Nee, niet gebruikt)
- Jongens, trek een conclusie: welke driehoeken delen een rechthoekige driehoekhoogte uit de hoek van de directe hoek? (Maak een conclusie)
- De vraag rijst: zullen deze twee rechthoekige driehoeken, welke hoogte de rechthoekige driehoek breekt, lijkt op elkaar? Laten we proberen een paar gelijke hoeken te vinden.
De opname is gebouwd als gevolg van het gesprek.:
- en laten we nu een complete output maken. ( Conclusie: de hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd vanaf de bovenkant van de rechte hoek, scheidt de driehoek in twee soortgelijk
- dus We hebben geformuleerd en bewezen de stelling over het eigendom van de hoogte van de rechthoekige driehoek.
We vestigen de structuur van het stelling en maken een tekening. Wat wordt gegeven in de stelling en wat te bewijzen? Studenten worden opgenomen in de notebook:
- Laten we het eerste punt van de theorem voor de nieuwe tekening bewijzen. Welk teken van gelijkenis zal gebruiken en waarom? (Ten eerste, omdat in de stelling niets bekend is over de zijkanten van de driehoeken)
- Hoeveel stoom van gelijke hoeken moeten we vinden? Vind deze paren. (In dit geval een enkel paar: ∟A-generaal)
- Neem de uitvoer. Driehoeken zijn als. Als gevolg hiervan wordt een steekproef van de vorming van de stelling getoond.
- De tweede en derde items zullen alleen thuis worden.
c) Assimilatie van de stelling
- Dus, formuleer nogmaals theorem (De hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd uit de vertex van de rechte hoek, scheidt de driehoek in twee soortgelijkrechthoekige driehoek, die elk vergelijkbaar zijn)
- Hoeveel paren van dergelijke driehoeken in het ontwerp "in een rechthoekige driehoek voerde een hoogte van de vertex van Direct Angle" in staat om deze stelling te vinden? \u200b Drie paren)
Leerlingen worden de volgende taak voorgesteld:
IV. Introductie van het concept van middelgrote proportionele twee segmenten
- En nu zullen we een nieuw concept met u leren.
Aandacht!
Definitie. Sectie Xy. genoemd midden evenredig (medium geometrisch) tussen segmenten Ab en CD, als een
(Record in een notebook).
V. Mastering van het concept van middelgrote proportionele twee segmenten
- Laten we nu naar de volgende dia draaien.
Oefening 1.Zoek de lengte van de gemiddelde proportionele segmenten van MN en KP als MN \u003d 9 cm, KP \u003d 16 cm.
- Wat wordt in de taak gegeven? \u200b Twee segmenten en hun lengtes: MN \u003d 9 cm, KP \u003d 16 cm)
- Wat moet ik vinden? \u200b De lengte van het gemiddelde evenredig met deze segmenten)
- Welke formule wordt uitgedrukt in proportioneel en hoe vinden we het?
(We vervangen de gegevens in de formule en vinden de lengte van de cprope.)
Taaknummer 2.Zoek de lengte van het AB-segment als de gemiddelde proportionele segmenten van AB en CD 90 cm en CD \u003d 100 cm zijn
- Wat wordt in de taak gegeven? (Lengte van het segment CD \u003d 100 cm en de gemiddelde proportionele segmenten van AB en CD is 90 cm)
- Wat moet ik vinden in de taak? \u200b AB Snijdlengte)
- Hoe zullen we de taak oplossen? (Wij begeleiden de formule van middelgrote proportionele segmenten van AB en CD, drukken het uit de lengte van AB en vervang deze taken.)
VI. Gevolg
- Goed gedaan jongens. En laten we nu teruggaan naar de gelijkenis van de driehoeken, bewezen door ons in theorem. Formuleren opnieuw stelling. \u200b De hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd uit de vertex van de rechte hoek, scheidt de driehoek in twee soortgelijkrechthoekige driehoek, die elk vergelijkbaar zijn met dit)
- Laten we eerst de gelijkenis van driehoeken gebruiken en. Wat volgt hiervan? \u200b Per definitie zijn de gezichten evenredig aan de overeenkomsten)
- Welke gelijkheid krijgt bij het gebruik van de basiseigenschap van verhouding? \u200b
- CD en uitvoer uiten (
;
.
Uitgang: de hoogte van de rechthoekige driehoek, uitgevoerd uit de vertex van de directe hoek, is het gemiddelde evenredige tussen de segmenten waarop de hypotenuse wordt gedeeld door deze hoogte)
- en bewijs het nu zelf dat de Cattat van de rechthoekige driehoek het gemiddelde proportioneel is tussen de Hypotenneus en het segment van hypotenussen gesloten tussen de kathenet en de hoogte. Wanneer ... Segmenten die deze hoogte van deze hoogte zijn verdeeld )
Wortels Een rechthoekige driehoek is een middelmatig evenredig tussen ... (- ... Hypotenuse en een segment van hypotenussen gesloten tussen deze kathet en hoog )
- Waar passen we de bestudeerde uitspraken toe? \u200b Bij het oplossen van taken)
IX. Een huiswerk instellen
d / S: №571, №572 (A, D), onafhankelijk werk in de notebook, theorie.
