Da biste riješili probleme u geometriji, morate znati formule - kao što je površina trokuta ili površina paralelograma - kao i jednostavne trikove o kojima ćemo govoriti.
Prvo, naučimo formule za područja figura. Posebno smo ih prikupili u prikladnu tablicu. Ispišite, naučite i prijavite se!
Naravno, nisu sve geometrijske formule u našoj tablici. Na primjer, za rješavanje zadataka iz geometrije i stereometrije u drugom dijelu profilnog ispita iz matematike koriste se i druge formule za površinu trokuta. Svakako ćemo vam reći o njima.
Ali što ako trebate pronaći ne područje trapeza ili trokuta, već područje neke složene figure? Postoje univerzalni načini! Pokazat ćemo ih na primjerima iz FIPI banke zadataka.
1. Kako pronaći površinu nestandardne figure? Na primjer, proizvoljan četverokut? Jednostavna tehnika - razbijmo ovu figuru na one za koje svi znamo i pronađimo njezinu površinu - kao zbroj površina ovih figura.
Podijelite ovaj četverokut vodoravnom linijom u dva trokuta sa zajedničkom bazom jednaka . Visine ovih trokuta su 
i . Tada je površina četverokuta jednaka zbroju površina dvaju trokuta: .
Odgovor: .
2. U nekim slučajevima, površina figure može se predstaviti kao razlika bilo kojeg područja.
Nije tako lako izračunati koliko su baza i visina u ovom trokutu jednake! Ali možemo reći da je njegova površina jednaka razlici između površina kvadrata sa stranicom i tri pravokutna trokuta. Vidite ih na slici? Dobivamo: .
Odgovor: .
3. Ponekad je u zadatku potrebno pronaći područje ne cijele figure, već njezinog dijela. Obično govorimo o površini sektora - dijelu kruga. Pronađite područje sektora kružnice polumjera, čija je duljina luka jednaka .
Na ovoj slici vidimo dio kruga. Površina cijelog kruga jednaka je , budući da je . Ostaje saznati koji je dio kruga prikazan. Budući da je duljina cijelog kruga (od), a duljina luka ovog sektora je , dakle, duljina luka je nekoliko puta manja od duljine cijele kružnice. Kut na koji počiva ovaj luk također je puta manji od punog kruga (odnosno stupnjeva). To znači da će površina sektora biti nekoliko puta manja od površine cijelog kruga.
Znanje o mjerenju Zemlje pojavilo se u antici i postupno se oblikovalo u znanosti geometrije. S grčkog jezika ova riječ je prevedena kao "premjer zemljišta".
Mjera duljine ravne površine Zemlje u dužini i širini je površina. U matematici se obično označava latinskim slovom S (od engleskog "square" - "područje", "kvadrat") ili grčkim slovom σ (sigma). S označava površinu lika na ravnini ili površinu tijela, a σ je površina poprečnog presjeka žice u fizici. Ovo su glavni simboli, iako mogu postojati i drugi, na primjer, u području čvrstoće materijala, A je površina poprečnog presjeka profila.
U kontaktu s
Formule za izračun
Poznavajući područja jednostavnih figura, možete pronaći parametre složenijih.. Drevni matematičari razvili su formule pomoću kojih se mogu lako izračunati. Takve figure su trokut, četverokut, mnogokut, krug.
Da bi se pronašla površina složene ravne figure, ona je razbijena na mnoge jednostavne oblike kao što su trokuti, trapezi ili pravokutnici. Zatim matematičke metode izvode formulu za područje ove figure. Slična metoda se koristi ne samo u geometriji, već iu matematičkoj analizi za izračunavanje površina likova omeđenih krivuljama.
Trokut
Počnimo s najjednostavnijim oblikom - trokutom. Oni su pravokutni, jednakokračni i jednakostrani. Uzmimo bilo koji trokut ABC sa stranicama AB=a, BC=b i AC=c (∆ ABC). Da bismo pronašli njegovo područje, prisjetimo se teorema sinusa i kosinusa poznatih iz školskog kolegija matematike. Ostavljajući sve izračune, dolazimo do sljedećih formula:
- S=√ - Heronova formula svima poznata, gdje je p=(a+b+c)/2 - polovina perimetra trokuta;
- S=a h/2, gdje je h visina spuštena na stranu a;
- S=a b (sin γ)/2, gdje je γ kut između stranica a i b;
- S=a b/2 ako je ∆ ABC pravokutna (ovdje su a i b kraci);
- S=b² (sin (2 β))/2 ako je ∆ ABC jednakokračan (ovdje je b jedan od “kukova”, β je kut između “kukova” trokuta);
- S=a² √¾ ako je ∆ ABC jednakostraničan (ovdje je a stranica trokuta).
Četverokut
Neka postoji četverokut ABCD s AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Da bismo pronašli površinu S proizvoljnog 4-kuta, potrebno ga je podijeliti dijagonalom na dva trokuta čija područja S1 i S2 općenito nisu jednaka.
Zatim ih pomoću formula izračunajte i zbrojite, tj. S=S1+S2. Međutim, ako četverostruk pripada određenoj klasi, tada se njegovo područje može pronaći pomoću prethodno poznatih formula:
- S=(a+c) h/2=eh, ako je quad trapez (ovdje su a i c baze, e je srednja linija trapeza, h je visina spuštena na jednu od baza trapeza ;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ako je ABCD paralelogram (ovdje je φ kut između stranica a i b, h je visina spuštena na stranu a, d1 i d2 su dijagonale);
- S=a b=d²/2 ako je ABCD pravokutnik (d je dijagonala);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 ako je ABCD romb (a je stranica romba, φ je jedan od njegovih kutova, P je perimetar);
- S=a²=P²/16=d²/2 ako je ABCD kvadrat.
Poligon
Da bi pronašli površinu n-kuta, matematičari ga rastavljaju na najjednostavnije jednake trokute, pronalaze površinu svakog od njih, a zatim ih zbrajaju. Ali ako poligon pripada klasi regularnih, tada se koristi formula:
S=anh/2=a² n/=P²/, gdje je n broj vrhova (ili stranica) poligona, a je stranica n-kuta, P je njegov perimetar, h je apotema, tj. segment povučen od središta poligona do jedne od njegovih stranica pod kutom od 90°.
Krug
Krug je savršen poligon s beskonačnim brojem strana.. Moramo izračunati granicu izraza s desne strane u formuli područja poligona s brojem strana n koji teži beskonačnosti. U ovom slučaju, opseg poligona će se pretvoriti u duljinu kruga polumjera R, koji će biti granica naše kružnice, i postat će jednak P=2 π R. Zamijenite ovaj izraz u gornju formulu. Dobit ćemo:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Nađimo granicu ovog izraza kao n→∞. Da bismo to učinili, uzimamo u obzir da je lim (cos (180°/n)) za n→∞ jednak cos 0°=1 (lim je predznak granice), a lim = lim za n→∞ je jednak 1/π (preveli smo mjeru stupnja u radijan, koristeći omjer π rad=180°, i primijenili prvu izvanrednu granicu lim (sin x)/x=1 na x→∞). Zamjenom dobivenih vrijednosti u posljednji izraz za S dolazimo do dobro poznate formule:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Jedinice
Primjenjuju se sustavne i nesustavne mjerne jedinice. Jedinice sustava nazivaju se SI (System International). Ovo je kvadratni metar (kvadratni metar, m²) i jedinice izvedene iz njega: mm², cm², km².
U kvadratnim milimetrima (mm²), na primjer, mjere površinu poprečnog presjeka žica u elektrotehnici, u kvadratnim centimetrima (cm²) - poprečni presjek grede u strukturnoj mehanici, u četvornim metrima (m² ) - stan ili kuća, u četvornim kilometrima (km²) - teritorij u geografiji.
Međutim, ponekad se koriste nesistemske mjerne jedinice, kao što su: tkanje, ar (a), hektar (ha) i akre (ac). Dajemo sljedeće omjere:
- 1 tkanje \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
- 1 ha = 100 a = 100 jutara = 10 000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
- 1 ak = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 jutara = 0,405 ha.
Područja geometrijskih likova su numeričke vrijednosti koje karakteriziraju njihovu veličinu u dvodimenzionalnom prostoru. Ova se vrijednost može mjeriti u sistemskim i nesustavnim jedinicama. Tako, na primjer, izvansustavna jedinica površine je sto, hektar. To je slučaj ako je mjerena površina komad zemlje. Jedinica površine sustava je kvadrat duljine. U SI sustavu uobičajeno je smatrati da je jedinica površine ravne površine četvorni metar. U CGS-u jedinica površine izražava se u kvadratnim centimetrima.
Geometrija i formule površine su neraskidivo povezane. Ta veza leži u činjenici da se izračun površina ravnih figura temelji upravo na njihovoj primjeni. Za mnoge brojke izvedeno je nekoliko opcija prema kojima se izračunavaju njihove kvadratne veličine. Na temelju podataka iz iskaza problema možemo odrediti najjednostavniji način rješavanja. To olakšava izračun i smanjuje vjerojatnost pogrešaka u proračunu na minimum. Da biste to učinili, razmotrite glavno područje figura u geometriji.
Formule za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta predstavljene su na nekoliko načina:
1) Površina trokuta izračunava se iz osnovice a i visine h. Baza je strana figure na kojoj je visina spuštena. Tada je površina trokuta:
2) Površina pravokutnog trokuta izračunava se na potpuno isti način ako se hipotenuza smatra bazom. Međutim, ako se kao baza uzme noga, tada će površina pravokutnog trokuta biti jednaka umnošku prepolovljenih nogu.
Formule za izračunavanje površine bilo kojeg trokuta tu ne završavaju. Drugi izraz sadrži stranice a,b i sinusoidnu funkciju kuta γ između a i b. Vrijednost sinusa nalazi se u tablicama. Također se može pronaći pomoću kalkulatora. Tada je površina trokuta:
Prema ovoj jednakosti, također možete osigurati da je površina pravokutnog trokuta određena kroz duljine nogu. Jer kut γ je pravi kut, pa se površina pravokutnog trokuta izračunava bez množenja sa sinusnom funkcijom.
3) Razmotrimo poseban slučaj - pravilan trokut, u kojem je stranica a poznata po uvjetu ili se pri rješavanju može pronaći njezina duljina. Ništa se više ne zna o liku u problemu geometrije. Kako onda pronaći područje pod ovim uvjetom? U ovom slučaju se primjenjuje formula za površinu pravilnog trokuta:
Pravokutnik
Kako pronaći površinu pravokutnika i koristiti dimenzije stranica koje imaju zajednički vrh? Izraz za izračun je:
Ako želite upotrijebiti duljine dijagonala za izračunavanje površine pravokutnika, tada vam je potrebna sinusna funkcija kuta nastalog kada se sijeku. Formula za površinu pravokutnika je:
Kvadrat
Površina kvadrata definirana je kao drugi stepen duljine stranice:
Dokaz slijedi iz definicije da se pravokutnik naziva kvadrat. Sve strane koje tvore kvadrat imaju iste dimenzije. Stoga se izračun površine takvog pravokutnika svodi na množenje jednog s drugim, tj. na drugu potenciju stranice. A formula za izračun površine kvadrata poprimit će željeni oblik.
Područje kvadrata može se pronaći na drugi način, na primjer, ako koristite dijagonalu:
Kako izračunati površinu figure koju tvori dio ravnine omeđen krugom? Za izračunavanje površine, formule su:
Paralelogram
Za paralelogram formula sadrži linearne dimenzije stranice, visine i matematičku operaciju - množenje. Ako je visina nepoznata, kako onda pronaći površinu paralelograma? Postoji još jedan način izračunavanja. Potrebna je određena vrijednost koju će uzeti trigonometrijska funkcija kuta koji čine susjedne stranice, kao i njihova duljina.
Formule za površinu paralelograma su:
Romb
Kako pronaći površinu četverokuta zvanog romb? Područje romba određuje se jednostavnim matematičkim operacijama s dijagonalama. Dokaz se oslanja na činjenicu da se dijagonalni segmenti na d1 i d2 sijeku pod pravim kutom. Tablica sinusa pokazuje da je za pravi kut ova funkcija jednaka jedan. Stoga se površina romba izračunava na sljedeći način:
Područje romba može se pronaći i na drugi način. To također nije teško dokazati, s obzirom na to da su njegove stranice iste duljine. Zatim zamijenite njihov proizvod u sličan izraz za paralelogram. Uostalom, poseban slučaj ove figure je romb. Ovdje je γ unutarnji kut romba. Područje romba određuje se na sljedeći način:
Trapez
Kako pronaći površinu trapeza kroz baze (a i b), ako su njihove duljine navedene u zadatku? Ovdje, bez poznate vrijednosti duljine visine h, neće biti moguće izračunati površinu takvog trapeza. Jer ova vrijednost sadrži izraz za izračun:
Na isti se način može izračunati i kvadratna veličina pravokutnog trapeza. Istodobno se uzima u obzir da se u pravokutnom trapezu kombiniraju koncepti visine i strane. Stoga, za pravokutni trapez morate odrediti duljinu stranice umjesto visine.
Cilindar i paralelepiped
Razmotrite što je potrebno za izračunavanje površine cijelog cilindra. Područje ove figure je par krugova, koji se nazivaju bazama, i bočna površina. Krugovi koji tvore kružnice imaju duljine polumjera jednake r. Za površinu cilindra vrši se sljedeći izračun:
Kako pronaći površinu paralelepipeda koji se sastoji od tri para lica? Njegova mjerenja su u skladu s određenim parom. Lica koja su nasuprot imaju iste parametre. Prvo pronađite S(1), S(2), S(3) - kvadratne dimenzije nejednakih lica. Tada je površina paralelepipeda:
Prsten
Dva kruga sa zajedničkim središtem tvore prsten. Oni također ograničavaju područje prstena. U ovom slučaju, obje formule izračuna uzimaju u obzir dimenzije svakog kruga. Prvi, koji izračunava površinu prstena, sadrži veći R i manji r radijus. Češće se nazivaju vanjskim i unutarnjim. U drugom izrazu, površina prstena se izračunava korištenjem većeg D i manjeg d promjera. Dakle, površina prstena prema poznatim polumjerima izračunava se na sljedeći način:
Područje prstena, koristeći duljine promjera, određuje se na sljedeći način:
Poligon
Kako pronaći površinu poligona čiji oblik nije ispravan? Ne postoji opća formula za područje takvih brojki. Ali ako je prikazan na koordinatnoj ravnini, na primjer, može biti kockasti papir, kako onda pronaći površinu u ovom slučaju? Ovdje koriste metodu koja ne zahtijeva približno mjerenje figure. Oni to čine: ako pronađu točke koje padaju u kut ćelije ili imaju cjelobrojne koordinate, tada se samo one uzimaju u obzir. Da biste zatim saznali koja je površina, upotrijebite formulu koju je dokazao Pick. Potrebno je zbrojiti broj točaka koje se nalaze unutar polilinije s polovicom točaka koje leže na njoj i oduzeti jednu, tj. izračunava se na ovaj način:
gdje je C, D - broj točaka smještenih unutar i na cijeloj poliliniji, respektivno.
Geometrijsko područje- numerička karakteristika geometrijskog lika koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine omeđen zatvorenom konturom ove figure). Veličina područja izražava se brojem kvadratnih jedinica koje se u njemu nalaze.
Formule površine trokuta
- Formula površine trokuta za stranu i visinu
Površina trokuta jednak polovici umnoška duljine stranice trokuta i duljine visine povučene na ovu stranicu - Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom opisane kružnice
- Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom upisane kružnice
Površina trokuta jednak je umnošku poluperimetra trokuta i polumjera upisane kružnice. gdje je S površina trokuta,
- duljine stranica trokuta,
- visina trokuta,
- kut između stranica i,
- polumjer upisane kružnice,
R - polumjer opisane kružnice,
Formule kvadratnog područja
- Formula za površinu kvadrata s obzirom na duljinu stranice
kvadratna površina jednak je kvadratu duljine njegove stranice. - Formula za površinu kvadrata s obzirom na duljinu dijagonale
kvadratna površina jednak polovici kvadrata duljine njegove dijagonale.S= 1 2 2 gdje je S površina kvadrata,
je duljina stranice kvadrata,
je duljina dijagonale kvadrata.
Formula površine pravokutnika
- Područje pravokutnika jednak je umnošku duljina njegovih dviju susjednih stranica
gdje je S površina pravokutnika,
su duljine stranica pravokutnika.
Formule za površinu paralelograma
- Formula površine paralelograma za duljinu i visinu stranice
Područje paralelograma - Formula za površinu paralelograma s dvjema stranicama i kutom između njih
Područje paralelograma jednak je umnošku duljina njegovih stranica pomnoženog sa sinusom kuta između njih.a b sinα
gdje je S površina paralelograma,
su duljine stranica paralelograma,
je visina paralelograma,
je kut između stranica paralelograma.
Formule za područje romba
- Formula površine romba zadana duljina i visina stranice
Područje romba jednak je umnošku duljine njegove stranice i duljine visine spuštene na ovu stranu. - Formula za površinu romba s obzirom na duljinu stranice i kut
Područje romba jednak je umnošku kvadrata duljine njegove stranice i sinusa kuta između stranica romba. - Formula za površinu romba iz duljina njegovih dijagonala
Područje romba jednak je polovici umnoška duljina njegovih dijagonala. gdje je S površina romba,
- duljina stranice romba,
- duljina visine romba,
- kut između stranica romba,
1, 2 - duljine dijagonala.
Formule površine trapeza
- Heronova formula za trapez
gdje je S površina trapeza,
- duljina baza trapeza,
- duljina stranica trapeza,
