U ovom ćemo članku početi istraživati racionalni brojevi. Ovdje ćemo dati definicije racionalnih brojeva, dati potrebna objašnjenja i dati primjere racionalnih brojeva. Nakon ovoga ćemo se usredotočiti na to kako odrediti je li dati broj racionalan ili ne.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih brojeva

U ovom dijelu ćemo dati nekoliko definicija racionalnih brojeva. Unatoč razlikama u formulaciji, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi ujedinjuju cijele brojeve i razlomke, kao što cijeli brojevi ujedinjuju prirodne brojeve, njihove suprotnosti i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele i razlomljene brojeve.

Počnimo s definicije racionalnih brojeva, što se najprirodnije percipira.

Iz navedene definicije proizlazi da je racionalan broj:

• Svaki prirodni broj n. Doista, možete predstaviti bilo koji prirodni broj kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1.
• Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Zapravo, bilo koji cijeli broj može se napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili nula. Na primjer, 26=26/1, .
• Bilo koji obični razlomak (pozitivan ili negativan). To izravno potvrđuje navedena definicija racionalnih brojeva.
• Svaki mješoviti broj. Doista, uvijek možete predstaviti mješoviti broj kao nepravi razlomak. Na primjer, i.
• Bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični razlomak. To je tako zbog činjenice da se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, i 0,(3)=1/3.

Također je jasno da bilo koji beskonačni neperiodični decimalni razlomak NIJE racionalan broj, jer se ne može predstaviti kao običan razlomak.

Sada možemo lako dati primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4, 903, 100, 321 su racionalni brojevi jer su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58, −72, 0, −833,333,333 također su primjeri racionalnih brojeva. Obični razlomci 4/9, 99/3 također su primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su također brojevi.

Iz navedenih primjera jasno je da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulirati u sažetijem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao razlomak z/n, gdje je z cijeli broj, a n prirodan broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da crtu razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila dijeljenja cijelih brojeva slijedi valjanost sljedećih jednakosti i. Dakle, to je dokaz.

Navedimo primjere racionalnih brojeva na temelju ove definicije. Brojevi −5, 0, 3 i su racionalni brojevi jer se mogu napisati kao razlomci s cjelobrojnim brojnikom i prirodnim nazivnikom oblika i.

Definicija racionalnih brojeva može se dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačni ili beskonačni periodični decimalni razlomak.

Ova je definicija također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a svaki cijeli broj može se pridružiti decimalnom razlomku s nulama iza decimalne točke.

Na primjer, brojevi 5, 0, −13 primjeri su racionalnih brojeva jer se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 i −7 (18).

Završimo teoriju ove točke sa sljedećim izjavama:

• cijeli brojevi i razlomci (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;
• svaki racionalni broj može se prikazati kao razlomak s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj;
• svaki racionalni broj može se prikazati kao konačni ili beskonačni periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja racionalni broj.

Je li ovaj broj racionalan?

U prethodnom odlomku saznali smo da je svaki prirodni broj, svaki cijeli broj, svaki obični razlomak, svaki mješoviti broj, svaki konačni decimalni razlomak, kao i svaki periodični decimalni razlomak racionalan broj. Ovo znanje nam omogućuje da “prepoznamo” racionalne brojeve iz skupa napisanih brojeva.

Ali što ako je broj dan u obliku some , ili kao , itd., kako odgovoriti na pitanje je li taj broj racionalan? U mnogim slučajevima vrlo je teško odgovoriti. Naznačimo neke smjerove razmišljanja.

Ako je broj zadan kao numerički izraz koji sadrži samo racionalne brojeve i aritmetičke znakove (+, −, · i:), tada je vrijednost tog izraza racionalan broj. To slijedi iz načina definiranja operacija s racionalnim brojevima. Na primjer, nakon izvođenja svih operacija u izrazu, dobivamo racionalni broj 18.

Ponekad, nakon što se izrazi pojednostave i uslože, postaje moguće odrediti je li dati broj racionalan.

Idemo dalje. Broj 2 je racionalan broj, jer je svaki prirodni broj racionalan. Što je s brojem? Je li to racionalno? Ispada da ne, to nije racionalan broj, to je iracionalan broj (dokaz ove činjenice kontradikcijom je dan u udžbeniku algebre za 8. razred, navedenom dolje u popisu literature). Također je dokazano da je kvadratni korijen prirodnog broja racionalan broj samo u onim slučajevima kada se ispod korijena nalazi broj koji je potpuni kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, i su racionalni brojevi, budući da su 81 = 9 2 i 1 024 = 32 2, a brojevi i nisu racionalni, budući da brojevi 7 i 199 nisu potpuni kvadrati prirodnih brojeva.

Je li broj racionalan ili nije? U ovom slučaju lako je primijetiti da je, dakle, ovaj broj racionalan. Je li broj racionalan? Dokazano je da je k-ti korijen cijelog broja racionalan broj samo ako je broj ispod znaka korijena k-ta potencija nekog cijelog broja. Dakle, to nije racionalan broj, jer ne postoji cijeli broj čija je peta potencija 121.

Metoda kontradikcije omogućuje dokazivanje da logaritmi nekih brojeva iz nekog razloga nisu racionalni brojevi. Na primjer, dokažimo da - nije racionalan broj.

Pretpostavimo suprotno, to jest, recimo da je to racionalan broj i da se može napisati kao obični razlomak m/n. Zatim dajemo sljedeće jednakosti: . Posljednja jednakost je nemoguća, jer na lijevoj strani postoji neparan broj 5 n, a na desnoj strani je parni broj 2 m. Stoga je naša pretpostavka netočna, dakle nije racionalan broj.

Zaključno, vrijedi posebno napomenuti da se pri određivanju racionalnosti ili iracionalnosti brojeva treba suzdržati od donošenja naglih zaključaka.

Na primjer, ne biste trebali odmah tvrditi da je umnožak iracionalnih brojeva π i e iracionalan broj; to je "naizgled očito", ali nije dokazano. Ovo postavlja pitanje: "Zašto bi proizvod bio racionalan broj?" A zašto ne, jer možete dati primjer iracionalnih brojeva, čiji umnožak daje racionalan broj: .

Također je nepoznato jesu li brojevi i mnogi drugi brojevi racionalni ili ne. Na primjer, postoje iracionalni brojevi čija je iracionalna snaga racionalan broj. Za ilustraciju predstavljamo stupanj oblika , baza tog stupnja i eksponent nisu racionalni brojevi, već , a 3 je racionalan broj.

Bibliografija.

• Matematika. 6. razred: obrazovni. za opće obrazovanje ustanove / [N. Ya.Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Matematika. Algebra. Geometrija. Trigonometrija

ALGEBRA: Brojevi

2.2. Cijeli i racionalni brojevi. Interes

Obični razlomci.

Obični razlomak

je broj oblika , gdje su m i n prirodni brojevi. Broj m se naziva brojnik razlomka, n- nazivnik. Ako je n = 1, tada razlomak ima oblik , ali češće pišu jednostavno m, tj. Bilo koji prirodni broj može se prikazati kao običan razlomak s nazivnikom 1.

Razlomak se zove točno, ako mu je brojnik manji od nazivnika, i pogrešno ako je njegov brojnik veći ili jednak nazivniku. Svaki nepravi razlomak može se prikazati kao zbroj prirodnog broja i pravog razlomka (ili kao prirodan broj ako je m višekratnik broja n).

Uobičajeno je da se zbroj prirodnog broja i pravog razlomka piše bez znaka zbrajanja, tj. umjesto . Broj zapisan u ovom obliku naziva se mješoviti broj. Sastoji se od cijelog i razlomka.

Jednakost razlomaka. Smanjenje razlomaka.

Broje se dvije frakcije jednak ako je ad = bc. Iz definicije jednakosti proizlazi da

=, jer. Glavno svojstvo razlomka:Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, dobiva se razlomak jednak zadanom. Koristeći osnovno svojstvo razlomka, ponekad je moguće dati razlomak zamijeniti drugim čiji su brojnik i nazivnik manji od podataka. Ova zamjena se zove smanjenje razlomci Ako su brojnik i nazivnik međusobno prosti brojevi, tada redukcija nije moguća i takav se razlomak naziva nesvodljiv.

Aritmetičke operacije nad običnim razlomcima.

Neka su dana dva razlomka i

, . Te razlomke možete zamijeniti drugima njima jednakim, tako da dobiveni razlomci imaju iste nazivnike. Ova transformacija se zove dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Obično pokušavaju svesti razlomke na najmanji zajednički nazivnik, što je jednako N.O.K.().

1.Dodatak obični razlomci rade se ovako:

A) ako su nazivnici isti, tada se brojnici zbrajaju i ostavljaju isti nazivnik:;

2. Oduzimanje običnih razlomaka izvodi se na sljedeći način:

A) ako su nazivnici isti, onda

b) ako su nazivnici razlomaka različiti, tada se razlomci prvo svode na najmanji zajednički nazivnik, a zatim se primjenjuje pravilo a).

3. Množenjeobičnih razlomaka izvodi se na sljedeći način:

4. Dijeljenje običnih razlomaka izvodi se na sljedeći način:

.

Decimalni razlomci. Pretvaranje decimalnog razlomka u obični razlomak.

Decimala je još jedan oblik pisanja razlomka s nazivnikom. Na primjer, . Ako je nazivnik razlomka faktoriziran samo s 2 i 5, tada se razlomak može napisati kao decimalni broj; Ako je razlomak nesvodiv i rastavljanje njegovog nazivnika na proste faktore uključuje druge proste faktore, tada se ovaj razlomak ne može napisati kao decimalni broj.

U decimalnom razlomku možete dodavati i odbacivati ​​nule s desne strane - dobit ćete razlomak jednak njemu.

Razlomak koji ima beskonačan broj decimalnih mjesta naziva se beskonačni decimalni razlomak.

Teorem 10.

Svaki obični razlomak može se prikazati kao beskonačni decimalni razlomak.

Skupina znamenki (minimum) koja se uzastopno ponavlja iza decimalne točke u decimalnom zapisu broja naziva se točka, a beskonačni decimalni razlomak koji ima točku naziva se periodični.

Neka je dan periodičnim decimalnim razlomkom: , gdje je - m-znamenkasti broj, dakle

, YU
YU - formula za pretvaranje periodičkog decimalnog razlomka u obični razlomak.

Interes.

Među decimalnim razlomcima najčešće se koristi razlomak 0,01 koji se tzv postotak i označava se sa 1

%. Dakle, 1% = 0,01; 25% = 0,25; 450% = 4,5, itd.

PRIMJER Radnik je morao proizvesti 60 dijelova po smjeni. Na kraju radnog dana pokazalo se da je napunio 125

% zadaci. Koliko je dijelova izradio radnik?

Rješenje: 1) 125

% = 1,25

2)60H 1,25 = 75.

ODGOVOR: 75 dijelova.

Koordinatna linija.

Uzmimo ravnu liniju l, označimo na njoj točku O koju ćemo uzeti za ishodište, postavimo pravac i jediničnu dužinu. U ovom slučaju kažu da dano koordinatna linija. Svaki prirodni broj ili razlomak odgovara jednoj točki na pravcu l. Ako točki M pravca l odgovara određeni broj r, tada se taj broj naziva Koordinirati točka M i označava se s M(r). Brojevi a i -a nazivaju se suprotan. Nazivaju se brojevi koji odgovaraju točkama koje se nalaze na koordinatnoj liniji u određenom smjeru pozitivan; nazivaju se brojevi koji odgovaraju točkama koje se nalaze na koordinatnoj liniji u smjeru suprotnom od zadanog negativan. Broj 0 se ne smatra ni pozitivnim ni negativnim. Točka O, koja odgovara broju 0, dijeli točke s pozitivnim koordinatama od točaka s negativnim koordinatama na koordinatnom pravcu.

Zadani pravac na koordinatnoj liniji naziva se pozitivan(obično ide udesno), a smjer suprotan od zadanog je negativan

.

Cijeli i racionalni brojevi.

Prirodni brojevi 1, 2, 3, ... nazivaju se i prirodni brojevi. Brojevi -1, -2, -3, ..., nasuprot prirodnim brojevima, nazivaju se cijelim negativnim brojevima. Broj 0 je također cijeli broj. Cijeli brojevi- prirodni brojevi, njihove suprotnosti i 0.

Cijeli brojevi i razlomci (pozitivni i negativni) čine skup racionalni brojevi.

Autorska prava © 2005-2013 Xenoid v2.0

Korištenje materijala stranice moguće je uz aktivnu vezu.

(Br. 2475) Boca šampona košta 200 rubalja. Koji najveći broj boca možete kupiti za 1000 rubalja na rasprodaji kada je popust 15%?

(br. 2491) Kemijska olovka stoji 20 rubalja. Koji je najveći broj takvih olovaka koje se mogu kupiti za 700 rubalja nakon što cijena poraste za 15%?

(Br. 2503) Bilježnica košta 40 rubalja. Koji je najveći broj takvih prijenosnih računala koji se mogu kupiti za 550 rubalja nakon što se cijena smanji za 15%?

(Br. 2513) Trgovina kupuje posude za cvijeće po veleprodajnoj cijeni od 100 rubalja po komadu. Trgovačka marža iznosi 15%. Koji je najveći broj takvih lonaca koji se mogu kupiti u ovoj trgovini za 1300 rubalja?

(br. 2595) Karta za vlak za odraslu osobu stoji 550 rubalja. Cijena učeničke karte iznosi 50% cijene karte za odrasle. Grupu čini 18 školaraca i 4 odrasle osobe. Koliko rubalja koštaju karte za cijelu grupu?

(br. 2601) Cijena električnog kuhala za vodu povećana je za 21% i iznosila je 3025 rubalja. Koliko je rubalja koštao proizvod prije poskupljenja?

(Br. 2617) Majica je koštala 800 rubalja. Nakon što je cijena smanjena, počela je koštati 680 rubalja. Za koliko je postotaka snižena cijena majice?

(br. 6193) Grad N ima 250 000 stanovnika. Među njima je 15% djece i adolescenata. Među odraslim osobama 35% ne radi (umirovljenici, domaćice, nezaposleni). Koliko odraslih osoba radi?

(br. 6235) Klijent je podigao kredit u banci od 3000 rubalja. godinu dana po 12%. Kredit mora otplaćivati ​​tako što će svaki mjesec položiti isti iznos novca u banku kako bi nakon godinu dana vratio cijeli posuđeni iznos zajedno s kamatama. Koliko mjesečno treba položiti u banku?

(br. 24285) Porez na dohodak iznosi 13% od plaće. Nakon poreza po odbitku, Marija Konstantinovna je primila 13.050 rubalja. Koliko je rubalja plaća Marije Konstantinovne?

(br. 24261) Porez na dohodak iznosi 13% od plaće. Plaća Ivana Kuzmiča je 14.500 rubalja. Koliko će rubalja dobiti nakon odbijanja poreza na dohodak?

(Br. 2587) Veleprodajna cijena udžbenika je 170 rubalja. Maloprodajna cijena je 20% viša od veleprodajne cijene. Koji je najveći broj takvih udžbenika koji se mogu kupiti po maloprodajnoj cijeni od 7000 rubalja?

Prijepis

2 GLAVNI VAL 2013. SREDIŠNJI URAL SIBIR ISTOK: razlomci postoci racionalni brojevi Teorija: Skup racionalnih brojeva 1 1 ~ HOD ge N Z Osnovno svojstvo 0 0. Proporcija je jednakost dvaju omjera. Svojstvo: posljedice Shema izravno proporcionalne ovisnosti. Osnovna svojstva 1. Red: 0; 0 ; Operacija zbrajanja: ; HOK 3. Operacija množenja i dijeljenja: 4. Tranzitivnost relacije reda: 5. Komutativnost: 6. Asocijativnost: 7. Distributivnost: 8. Prisutnost nule: Prisutnost suprotnih brojeva: Prisutnost jedinice: Prisutnost recipročnih brojeva: R R 12. Veza relacije reda s operacijom zbrajanja. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednadžbe. 2 B1

3 13. Povezanost relacije reda s operacijom množenja. Lijeva i desna strana racionalne nejednadžbe mogu se pomnožiti istim pozitivnim racionalnim brojem.Aksiom Arhimeda. Bez obzira na racionalni broj, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbroj premašuje a. N k Racionalne nejednadžbe istog predznaka mogu se zbrajati član po član. Bilo koji racionalni razlomak može se pretvoriti u svoj ekvivalentni decimalni razlomak dijeljenjem brojnika s nazivnikom. 1 ostatak može ispasti jednak nuli, a kvocijent će biti izražen kao konačni decimalni razlomak, na primjer 3:4 = nula u ostatku nikada neće uspjeti jer će se ostaci beskrajno ponavljati, a kvocijent će biti izražen kao beskonačni periodični decimalni razlomak. Na primjer 2:3=0666 =06 7:13= = :15=21333 = ? Interes. Stoti dio broja zove se njegov postotak. Tri tipa problema koji uključuju postotke A 100% 1. Određivanje postotka zadanog broja A p% x. x p% 100% Da biste pronašli p% od broja "A" trebate pronaći 1% od "A" A: 100% i pomnožiti s p%. 2. Nalaženje broja iz drugog broja i njegova vrijednost u postocima od željenog broja. x 100% 100% x. p% p% Da biste pronašli broj za zadanu vrijednost "a" njegov p% trebate pronaći 1% željenog broja dijeljenjem zadane vrijednosti "a" s p% i pomnožiti rezultat sa 100% A 100% 3 Pronalaženje postotka brojeva. 100% x% x% A Trebate pronaći omjer broja “a” i broja “A” i pomnožiti sa 100%. 3

4 CENTAR Opcija 1;8. Jedna tableta lijeka teži 70 mg i sadrži 4% aktivne tvari. Da li liječnik propisuje 105 mg djelatne tvari za dijete mlađe od 6 mjeseci na 5 mjeseci i težine 8 kg dnevno? Opcija 2. Jedna tableta lijeka teži 20 mg i sadrži 5% aktivne tvari. Propisuje li liječnik 04 mg djelatne tvari za dijete mlađe od 6 mjeseci za svako dijete od tri mjeseca i težine 5 kg dnevno? Opcija 3. Jedna tableta lijeka teži 20 mg i sadrži 5% aktivne tvari. Propisuje li liječnik 1 mg djelatne tvari za dijete mlađe od 6 mjeseci i težine 7 kg dnevno? Opcija 4;5. Jedna tableta lijeka teži 20 mg i sadrži 9% aktivne tvari. Propisuje li liječnik 135 mg djelatne tvari za dijete mlađe od 6 mjeseci i tjelesne težine 8 kg za svako dijete od četiri mjeseca i tjelesne težine 8 kg dnevno? Opcija 6. Jedna tableta lijeka teži 30 mg i sadrži 5% aktivne tvari. Da li liječnik propisuje 075 mg djelatne tvari za dijete mlađe od 6 mjeseci na 5 mjeseci i težine 8 kg dnevno? Opcija 7. Jedna tableta lijeka teži 40 mg i sadrži 5% aktivne tvari. Propisuje li liječnik 125 mg djelatne tvari za dijete mlađe od 6 mjeseci i tjelesne težine 8 kg dnevno za svako dijete od 3 mjeseca i tjelesne težine 8 kg? Imajte na umu da se osam opcija sastoji od šest problema s različitim brojčanim podacima, ali istim sadržajem. Potrebni podaci za izračun upisani su u tablicu: Masa jednog Postotni sadržaj Mogućnosti Recept mg Težina djeteta kg tableta mg djelatne tvari % 1 i i Rješenje opcije 1. Ideja: Postotak djelatne tvari u jedna tableta je poznata, što znači da možete pronaći odgovarajuću količinu tvari u mg. Poznavajući težinu djeteta i dozu aktivne tvari po 1 kg težine, možete pronaći dnevnu dozu aktivne tvari. Tada je broj tableta kvocijent dnevne norme djelatne tvari podijeljen s količinom djelatne tvari u jednoj tableti. Radnje: 1. Odrediti količinu djelatne tvari u jednoj tableti. Napravimo omjer: uzmite težinu jedne tablete od 70 mg kao 100% i 4% te težine će biti x mg količine djelatne tvari u jednoj tableti. Zapišimo ovaj omjer shematski. Odavde nalazimo nepoznati član proporcije. Da biste to učinili, trebate pomnožiti x 4% poznate članove jedne dijagonale i podijeliti s poznatim članom druge dijagonale: 70 4% x 28 mg. 100% 4

5 2. Odredite količinu djelatne tvari koju je liječnik propisao prema receptu, uzimajući u obzir težinu djeteta. Doza tvari mora se pomnožiti s djetetovom težinom: mg. To znači da dijete dnevno treba uzimati 84 mg djelatne tvari Odredite broj tableta koje sadrže 84 mg djelatne tvari. 3 tab. 28 Odgovor 3. Ostale opcije se rješavaju na sličan način. NA URALU Opcija 1;5. U stanu u kojem Anastasia živi ugrađen je mjerač hladne vode. Mjerilo je 1. rujna pokazalo potrošnju od 122 kubika vode, a 1. listopada 142 kubika. Koliko Anastasia treba platiti za hladnu vodu u rujnu ako je cijena 1 kubnog metra hladne vode 9 rubalja 90 kopejki? Odgovorite u rubljima. Opcija 2. U stanu u kojem živi Maxim instaliran je mjerač hladne vode. Mjerilo je 1. veljače pokazalo potrošnju od 129 kubika vode, a 1. ožujka 140 kubika. Koliko bi Maxim trebao platiti za hladnu vodu u veljači ako je cijena 1 kubnog metra hladne vode 10 rubalja.60 kopejki? Odgovorite u rubljima. Opcija 3. U stanu u kojem živi Alexey instaliran je mjerač hladne vode. Mjerilo je 1. lipnja pokazalo potrošnju od 151 kubika vode, a 1. srpnja 165 kubika. Koliko Alexey treba platiti za hladnu vodu u ožujku ako je cijena 1 kubnog metra hladne vode 20 rubalja.80 kopejki? Odgovorite u rubljima. Opcija 4. U stanu u kojem živi Asya instaliran je mjerač tople vode. Mjerilo je 1. svibnja pokazalo potrošnju od 84 kubika vode, a 1. lipnja 965 kubika. Koliko bi Anastasia trebala platiti za toplu vodu u siječnju ako je cijena 1 kubnog metra tople vode 72 rublja, 60 kopejki? Odgovorite u rubljima. Opcija 6;8. U stanu u kojem živi Anfisa ugrađen je mjerač tople vode. Mjerilo je 1. rujna pokazalo potrošnju od 239 kubika vode, a 1. listopada 349 kubika. Koliko bi Anfisa trebala platiti za toplu vodu u rujnu ako je cijena 1 kubnog metra tople vode 78 rubalja.60 kopejki? Odgovorite u rubljima. Opcija 7. U stanu u kojem živi Alla instaliran je mjerač tople vode. Mjerilo je 1. srpnja pokazalo potrošnju od 772 kubika vode, a 1. kolovoza 797 kubika. Koliko bi Alla trebala platiti za toplu vodu u srpnju ako je cijena 1 kubnog metra tople vode 144 rublja, 80 kopejki? Odgovorite u rubljima. Regija URAL riješila je problem plaćanja potrošnje vode pomoću mjerača. Numerički podaci za izračun opcija uneseni su u tablicu: Vari Očitanja brojila na početku Očitanja brojila na početku Cijena 1 kubični metar ante kalendarskog mjeseca kubični metar sljedećeg kalendarskog mjeseca kubični metar 1 i rublja 90 kopejki rublja 60 kopejki rublja 80 kopejki rublja 60 kopejki 6 i rublja 60 kopejki rublja 80 kopejki Rješenje opcije 1. Ideja: Poznata su očitanja brojila na početku kalendarskog mjeseca u kubičnim metrima i na početku sljedećeg kalendarskog mjeseca u kubičnim metrima. To znači da možete saznati mjesečnu potrošnju vode koju treba platiti. Znajući broj kubičnih metara potrošene vode i cijenu jednog kubičnog metra vode, možete pronaći iznos koji trebate platiti za ovu vodu. 5

6 Radnje: Odrediti potrošnju vode za mjesec Odrediti iznos koji treba platiti za utrošenu vodu za mjesec p Odgovor 198. Ostale mogućnosti rješavamo na isti način. U SIBIR Opcija 1. 1 kilovat-sat električne energije košta 1 rublju 40 kopejki. Strujomjer je 1. lipnja pokazivao kilovatsate, a 1. srpnja kilovatsate. Koliko treba platiti struju za lipanj? Odgovorite u rubljima. Opcija 2. 1 kilovat-sat električne energije košta 1 rublju 20 kopejki. Mjerilo je 1. studenog pokazalo 669 kilovatsati, a 1. prosinca 846 kilovatsati. Koliko treba platiti struju za studeni? Odgovorite u rubljima. Opcija 3. 1 kilovat-sat električne energije košta 2 rublje 40 kopejki. Strujomjer je 1. listopada pokazivao kilovatsate, a 1. studenog kilovatsate. Koliko trebam platiti struju u listopadu? Odgovorite u rubljima. Opcija 4;5. 1 kilovat-sat električne energije košta 2 rublje 50 kopejki. Strujomjer je 1. siječnja pokazivao kilovatsate, a 1. veljače kilovatsate. Koliko trebam platiti struju u siječnju? Odgovorite u rubljima. Opcija 6. 1 kilovat-sat električne energije košta 1 rublju 30 kopejki. Strujomjer je 1. rujna pokazivao kilovatsate, a 1. listopada kilovatsate. Koliko treba platiti struju za rujan? Odgovorite u rubljima. Opcija 7;8. 1 kilovat-sat električne energije košta 1 rublju 70 kopejki. 1. travnja strujomjer je pokazivao kilovatsate, a 1. svibnja kilovatsate. Koliko treba platiti struju za travanj? Odgovorite u rubljima. Regija SIBERIA riješila je problem plaćanja potrošnje električne energije po brojilu. Numerički podaci za izračun prema opcijama uneseni su u tablicu: Opcije Očitanja brojila na početku kalendarskog mjeseca kWh Očitanja brojila na početku sljedećeg kalendarskog mjeseca kWh Trošak 1 kilovat-sata rublja 40 kopejki rublja 20 kopejki rublja 40 rublja kopejke 4 i rublja 50 kopejki rublja 30 7 kopejki i 70 kopejki rublja Rješenje opcije 1. Ideja: Poznata su očitanja brojila na početku kalendarskog mjeseca kilovat-sata i na početku sljedećeg kalendarskog mjeseca kilovat-sata. To znači da možete saznati mjesečnu potrošnju električne energije koju treba platiti. Znajući broj kilovat-sati potrošene električne energije i cijenu jednog kilovat-sata, možete pronaći iznos koji morate platiti za tu električnu energiju. Radnje: Utvrditi potrošnju električne energije za mjesec Odrediti iznos za plaćanje utrošene električne energije za mjesec. 6

7 p Odgovor Ostale mogućnosti rješavamo na sličan način. NA ISTOK Opcija1;5;8. U stanu u kojem živi Ekaterina ugrađen je mjerač hladne vode. Mjerilo je 1. rujna pokazalo potrošnju od 189 kubika vode, a 1. listopada 204 kubika. Koliko bi Ekaterina trebala platiti za hladnu vodu u rujnu ako je cijena 1 kubnog metra hladne vode 16 rubalja 90 kopejki? Odgovorite u rubljima. Opcija 2. U stanu u kojem živi Valery instaliran je mjerač hladne vode. Mjerilo je 1. ožujka pokazalo potrošnju od 182 kubika vode, a 1. travnja 192 kubika. Koliko Valery treba platiti za hladnu vodu u ožujku ako je cijena 1 kubnog metra hladne vode 23 rublja, 10 kopejki? Odgovorite u rubljima. Opcija 3. U stanu u kojem živi Marina instaliran je mjerač hladne vode. Mjerilo je 1. srpnja pokazalo potrošnju od 120 kubika vode, a 1. kolovoza 131 kubik. Koliko bi Marina trebala platiti za hladnu vodu u srpnju ako je cijena 1 kubnog metra hladne vode 20 rubalja 60 kopejki? Odgovorite u rubljima. Opcija 4. U stanu u kojem živi Egor instaliran je mjerač tople vode. Mjerilo je 1. studenog pokazalo potrošnju od 879 kubika vode, a 1. prosinca 969 kubika. Koliko Jegor treba platiti za toplu vodu u studenom ako je cijena 1 kubnog metra tople vode 108 rubalja.20 kopejki? Odgovorite u rubljima. Opcija 6. U stanu u kojem živi Mikhail instaliran je mjerač tople vode. Mjerilo je 1. ožujka pokazalo potrošnju od 708 kubika vode, a 1. travnja 828 kubika. Koliko bi Mihail trebao platiti za toplu vodu u ožujku ako je cijena 1 kubnog metra tople vode 72 rublja, 20 kopejki? Odgovorite u rubljima. Opcija 7. U stanu u kojem Anastasia živi, ​​instaliran je mjerač tople vode. Mjerilo je 1. siječnja pokazalo potrošnju od 894 kubika vode, a 1. veljače 919 kubika. Koliko bi Anastasia trebala platiti za toplu vodu u siječnju ako je cijena 1 kubnog metra tople vode 103 rublja, 60 kopejki? Odgovorite u rubljima. Zadaće regije VOSTOK poklapale su se sa zadaćama regije URAL s razlikom u brojčanim podacima. Opcije Očitanja brojila na početku kalendarskog mjeseca, kubični metri Očitanja brojila na početku sljedećeg kalendarskog mjeseca, kubični metri Cijena 1 kubični metar 1 i 5 i rublja 90 kopejki rublja 10 kopejki rublja 60 kopejki rublja 20 kopejki rublja 20 kopejki rublja 60 kopejki Stoga će ideja rješenja i radnje biti slične onima o kojima se ranije raspravljalo za regiju URAL. U

Odjeljak Operacije s razlomcima Odjeljak Pretvaranje decimalnog razlomka u obični razlomak i obrnuto Odjeljak Postoci (postotak broja, postotak brojeva, postotna promjena) Odjeljak Polozi, jednostavni i složeni

Test na temu “GCD i NOC” Prezime, Ime. Prirodni brojevi nazivaju se relativno prosti ako: a) imaju više od dva djelitelja; b) njihov gcd je jednak; c) imaju jedan djelitelj.. Najveći zajednički djelitelj brojeva je a

Pitanja za provjeru znanja iz matematike. 5-6 razred. 1. Definicija prirodnih, cijelih, racionalnih brojeva. 2. Ispitivanja djeljivosti s 10, s 5, s 2. 3. Ispitivanja djeljivosti s 9, s 3. 4. Osnovno svojstvo

Predmet. Razvoj pojma broja. Aritmetičke operacije nad običnim razlomcima. Dodatak. Zbroj razlomaka s istim nazivnikom je razlomak koji ima isti nazivnik, a brojnik je jednak zbroju

4 Pitanja za ponavljanje I. Prirodni brojevi. Prirodni nizovi.. Brojevi i brojevi. Dekadski brojevni sustav. 3. Čin i klase. Predstavljanje broja kao zbroj članova znamenki. 4. Usporedba prirodnih

Linearne jednadžbe s jednom varijablom Uvod Nikita Sarukhanov 7. razred Algebra je nastala u vezi s rješavanjem različitih problema pomoću jednadžbi. Obično problemi zahtijevaju pronalaženje jednog ili više njih

1. Određivanje postotka broja Pomoć B1 Postotak 1% je stoti dio nečega, to jest 1% = 0,01 =. Prema tome, 2% = 0,02 =, 5% = 0,05 =, 10% = 0,10 = 0,1 = =. Nađimo, na primjer, 25%

Matematika 6. razred Tema. Djeljivost brojeva. Osnovni koncepti. Djelitelj prirodnog broja a je prirodni broj kojim se a dijeli bez ostatka. Na primjer, ; 2; 5; 0 su djelitelji broja 0. Broj 3 je djelitelj

SADRŽAJ UVOD... 4 ALGEBRA... 5 Brojevi, korijeni i potencije... 5 Osnove trigonometrije... 20 Logaritmi... 0 Pretvaranje izraza... 5 JEDNADŽBE I NEJEDNAČBE... 57 Jednadžbe... 57 Nejednadžbe ...91

Dom učitelja Uralskog saveznog okruga XI Međunarodna olimpijada temeljnih znanosti Druga faza. Glavna liga. Znanstvena voditeljica predmetnog projekta: Elena Lvovna Grivkova, viša učiteljica matematike

Odgovori ispitnih radova iz matematike 6. razred DPR >>> Odgovori ispitnih radova iz matematike 6. razreda DPR Odgovori ispitnih radova iz matematike 6. razreda DPR zbrajanje oduzimanje mješovito

Referentni materijal “Matematika 5. razred” Prirodni brojevi Brojevi koji se koriste pri računanju nazivaju se prirodnim brojevima. Označavaju se latiničnim slovom Ν. Broj 0 nije prirodan broj! Način snimanja

MATEMATIKA. SVE ZA UČITELJA! DECIMALNI RAZLOMCI I OPERACIJE NAD NJIMA DIDAKTIČKA I ICES BIBLIOTEKA BLIO IOTE Nudimo obrazovne materijale na temu “Decimalni razlomci”: kartice za individualne

Algoritam za pronalaženje raspona prihvatljivih vrijednosti algebarskog razlomka. Primjer. Pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti: x 25 (x 5) (2x+4). 1. Ispiši nazivnik algebarskog razlomka; 2. Izjednačiti napisano

Tema 3. “Odnosi. Proporcije. Postotak" Omjer dva broja je kvocijent dijeljenja jednog od njih s drugim. Omjer pokazuje koliko je puta prvi broj veći od drugog ili koji je dio prvog broja

Određivanje brojeva Primjer 1. Brojnici triju razlomaka proporcionalni su brojevima 1, 2, 5, a nazivnici razmjerni brojevima 1, 3, 7. Prosjek aritmetičkih razlomaka je jednak. Pronađite ove razlomke. Riješenje. Po stanju

1. četvrtina Koji su brojevi prirodni brojevi? Kako čitati broj? Kako napisati broj znamenkama? Odnosi među jedinicama Kako nacrtati koordinatnu zraku i na njoj označiti točke? Formule brojeva koje

Broj lekcije Tema lekcije KALENDAR – TEMATSKO PLANIRANJE 6. razred Broj sati Poglavlje 1. Obični razlomci. 1. Djeljivost brojeva 24 sata 1-3 Djelitelji i višekratnici 3 Djelitelj, višekratnik, najmanji višekratnik prir.

Predmet. Razvoj pojma broja Sažetak: Udžbenik je izrađen u skladu s Programom rada općeobrazovne discipline ODP.0 Matematika. Udžbenik sadrži: teorijski

“Dogovoreno” “Odobreno” Zamjenik ravnatelja za upravljanje vodama Ravnatelj gradske škole 6. razred Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike (dopisni tečaj) 2018.-2019. akademska godina Udžbenik: Vilenkin N.Ya., Zhokhov

Razlomačko-racionalni izrazi Izrazi koji sadrže dijeljenje izrazom s varijablama nazivaju se razlomački (razlomačko-racionalni) izrazi. Razlomački izrazi za neke vrijednosti varijabli nemaju

Tema 1 „Brojčani izrazi. Postupak. Usporedba brojeva." Brojevni izraz je jedna ili više brojčanih veličina (brojeva) povezanih predznacima računskih operacija: zbrajanja,

Kalendarsko i tematsko planiranje matematike 6. razred (5 sati tjedno, ukupno 170 sati) lekcija Tema lekcije 1-3 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima, zbrajanje i oduzimanje decimala

Poglavlje 1 Osnove algebre Numerički skupovi Pogledajmo osnovne numeričke skupove. Skup prirodnih brojeva N uključuje brojeve oblika 1, 2, 3 itd. koji služe za brojanje predmeta. Gomila

RACIONALNI BROJEVI Obični razlomci Definicija Razlomke oblika nazivamo običnim razlomcima Obični razlomci, pravilni i nepravi Definicija Razlomak, pravi ako< при, где Z, N Z, N Z,

1 IRACIONALNI I REALNI BROJEVI Iracionalni brojevi Najjednostavniji primjer mjerenja duljine dijagonale jediničnog kvadrata pokazuje da operacija vađenja kvadratnog korijena racionalnog broja

26. Zadaci s cijelim brojevima Nađi najveći zajednički djelitelj brojeva (1 8): 1. 247 i 221. 2. 437 i 323. 3. 357 i 391. 4. 253 i 319. 5. 42 4 i 54 3. 6 78 4 i 65 2. 7. 77 3 i 242 2. 8. 51 3 i 119 2. 9. Zbroj

Sadržaj: 1. Zbrajanje i oduzimanje prirodnih brojeva. Usporedba prirodnih brojeva. 2. Brojčani i slovni izrazi. Jednadžba. 3. Množenje prirodnih brojeva. 4.Dijeljenje prirodnih brojeva.Obični

PREDAVANJE 6 LINEARNE KOMBINACIJE I LINEARNA OVISNOST GLAVNA LEMA O LINEARNOJ OVISNOSTI OSNOVA I DIMENZIJA LINEARNOG PROSTORA RANG VEKTORSKOG SUSTAVA 1 LINEARNE KOMBINACIJE I LINEARNA OVISNOST

Glavno svojstvo razlomka PRAVILA PRIMJERI ZADATAKA Svedite razlomak na novi nazivnik: 1) Pomnožite (ili podijelite) nazivnik razlomka s brojem. 2) Pomnožite (ili podijelite) brojnik razlomka s istim brojem.

I opcija 8B razred, 4. listopada 007. 1 Upiši riječi koje nedostaju: Definicija 1 Aritmetički kvadratni korijen broja čiji je jednak a iz broja a (a 0) označava se na sljedeći način: izrazom Radnja pronalaženja.

Pitanje: Koji se brojevi nazivaju prirodnim brojevima? Odgovor Prirodni brojevi su brojevi koji služe za brojanje Što su klase i rangovi u zapisu brojeva? Kako se nazivaju brojevi pri zbrajanju? Formulirajte suglasnik

Za strane studente pripremnog odjela AUTOR: Starovoitova Natalya Aleksandrovna Odjel za preduniverzitetsko obrazovanje i usmjeravanje karijere 1 2 3 8 4 Brojevi; ; ; ; 2 3 7 5 4 - obični razlomci.

ARITMETIKA Operacije s prirodnim brojevima i običnim razlomcima. Postupak) Ako nema zagrada, onda se prvo izvode radnje na th potenciju (dizanje na prirodni potenciju), zatim na th potenciju (množenje

SADRŽAJ Matematički simboli... 3 Uspoređivanje brojeva... 4 Zbrajanje... 5 Odnos između komponenata zbrajanja... 5 Komutativni zakon zbrajanja... 6 Kombinacijski zakon zbrajanja... 6 Postupak...

REFERENTNI MATERIJALI ZA PRIPREMU ZA ODGOVOR TEORIJSKOG PITANJA PREVODNOG ISPITA IZ MATEMATIKE U 6. RAZREDU (u referentnom materijalu plavom bojom označene su hiperveze na internetske izvore) ULAZNICA

Tipična verzija “Kompleksni brojevi Polinomi i racionalni razlomci” Zadatak Zadana su dva kompleksna broja i cos sn Nađi i zapiši rezultat u algebarskom obliku Zapiši rezultat u trigonometrijskom obliku

Poglavlje UVOD U ALGEBRU.. KVADRATNI TRINEMIAL... Babilonski problem pronalaženja dva broja iz njihovog zbroja i umnoška. Jedan od najstarijih problema u algebri predložen je u Babilonu, gdje je bio široko rasprostranjen

Tema 1. Smjer brojanja Analiza rješavanja zadataka po temama Poglavlje 1 “Negativni brojevi” Zadaci za ovu temu su praktične prirode, važni za razumijevanje upotrebe znaka “+” i za razvijanje vještina

ZBIRANJE Broju dodati 1 znači dobiti broj koji slijedi iza zadanog: 4+1=5, 1+1=14 itd. Zbrajanje brojeva 5 znači dodavanje jedan na 5 tri puta: 5+1+1+1=5+=8. ODUZIMANJE Od broja znači oduzeti 1

2. Opći linearni i euklidski prostori Kažu da je skup X linearni prostor nad poljem realnih brojeva, ili jednostavno pravi linearni prostor, ako za bilo koje elemente

PREDAVANJE Pojam matrice i njezina svojstva Djelovanja na matricama Pojam matrice Matrica reda (dimenzije) je pravokutna tablica brojčanih ili slovnih izraza koja sadrži stupce: () i redaka

Aritmetika - razred ODGOVORI: Tema Množenje i dijeljenje decimalnih razlomaka),) 00.0 Tema Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima)) Tema Dijeljenje običnih razlomaka))) i Tema Proporcije) Tema

3 Poštovani čitatelju! U vašim je rukama moderna referentna knjiga koja će vam pomoći pri učenju od 5. do 11. razreda, pomoći će vam da se pripremite za ispite i pružit će vam priliku da lako upišete sveučilište. U imeniku

Lekcija Tema sata Napomena Djeljivost brojeva 16 sati 1 Djeljivost prirodnih brojeva 2 Djelitelji i višekratnici 3 Djelitelji brojeva 4 Višekratnici 5 Provjere djeljivosti s 10 6 Provjere djeljivosti s 5, s 2 7 Provjera

Tema 1. Skupovi. Brojevni skupovi N, Z, Q, R 1. Skupovi. Operacije na skupovima. 2. Skup prirodnih brojeva N. 3. Skup cijelih brojeva Z. Djeljivost cijelih brojeva. Znakovi djeljivosti. 4. Racionalno

Moskva: Izdavačka kuća AST: Astrel, 2016. 284, str. (Akademija primarnog obrazovanja). 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 Sadržaj Dragi odrasli!... 6 brojeva

Web stranica elementarne matematike Dmitrija Gushchina wwwthetspru Gushchina D D REFERENTNI MATERIJALI ZA PRIPREMU ZA Jedinstveni državni ispit iz matematike ZADACI B7: IZRAČUNI I TRANSFORMACIJE Ispitivani elementi i vrste sadržaja

Sadržaj Jednadžba............................................ Cijeli izrazi.. .... ................................. Izrazi s potencijama............ .... ............. 3 Monom ....................... .......... ....

V. V. Rasin STVARNI BROJEVI Jekaterinburg 2005. Savezna agencija za obrazovanje Uralsko državno sveučilište nazvano po. A. M. Gorky V. V. Racine REALNI BROJEVI Ekaterinburg 2005 UDC 517.13(075.3)

Jednadžbe U algebri se razmatraju dvije vrste jednakosti: identiteti i jednadžbe. Identitet je jednakost koja je zadovoljena za sve važeće) vrijednosti slova koja su u njoj uključena. Za identitete se koriste znakovi

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Zbirka za

PRIPREMA ZA OGE Referentni materijali za učenike 9. razreda Algebra Prirodni brojevi i operacije nad njima Pojam prirodnog broja odnosi se na najjednostavnije, primarne pojmove matematike i nije definiran

Razmotrimo prvu metodu rješavanja SLE pomoću Cramerovog pravila za sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice: Odgovor se izračunava pomoću Cramerovih formula: D, D1, D2, D3 su determinante Determinanta trećeg

Sustavi jednadžbi Neka su zadane dvije jednadžbe s dvije nepoznanice f(x, y)=0 i g(x, y)=0, gdje su f(x, y), g(x, y) neki izrazi s varijablama x i g. Ako je zadatak pronaći sva opća rješenja podataka

Sat matematike. Učiteljica Demidova Elena Nikolajevna četvrtina..djeljivost BROJEVA Djelitelji i višekratnici. Znakovi djeljivosti s 0 itd. Provjere djeljivosti s i s 9. Prosti i složeni brojevi. Rastavljanje na proste brojeve

6. razred (Savezni državni obrazovni standardi LLC) lekcija Glavna vrsta Sadržaj (odjeljak, teme) obrazovne aktivnosti Ponavljanje tečaja matematike 5. razreda (sati) Broj sati Materijal iz udžbenika Ispravak Ponavljanje tečaja matematike.

Klasa. Potencija s proizvoljnim realnim eksponentom, njezina svojstva. Funkcija stepena, njegova svojstva, grafici.. Prisjetiti se svojstava stepena s racionalnim eksponentom. a a a a a za prirodno vrijeme

Predavanje 2 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi. 1. Rješavanje sustava 3 linearne jednadžbe Cramerovom metodom. Definicija. Sustav od 3 linearne jednadžbe je sustav oblika U ovom sustavu tražene veličine su

Lekcija 16 Odnosi. Proporcije. Postoci Kvocijent 12: 6 = 2 je omjer brojeva 12 i 6. Omjer brojeva 12 i 6 jednak je broju 2. broj 2. Kvocijent 2: = 2 je omjer brojevi 2 i. Omjer brojeva je 2 i jednak je

Zadatak 1 Jedinstveni državni ispit -2015 (osnovni) Ako trebate samo odgovor prvi primjer 2.65 - drugi primjer 3.2 - treći primjer -1.1 Ovo je zadatak o operacijama s običnim razlomcima. Evo malo teorije za one koji su malo

Poglavlje I. Elementi linearne algebre Linearna algebra je dio algebre koji proučava linearne prostore i podprostore, linearne operatore, linearne, bilinearne i kvadratne funkcije na linearnim prostorima.

Progresije Niz je funkcija prirodnog argumenta. Specificiranje niza formulom općeg pojma: a n = f(n), n N, na primjer, a n = n + n + 4, a = 43, a = 47, a 3 = 3,. Sekvenciranje

Tema 1.4. Rješavanje sustava dviju (tri) linearnih jednadžbi Cramerove formule Gabriel Cramer (1704. 1752.) švicarski matematičar. Ova metoda je primjenjiva samo u slučaju sustava linearnih jednadžbi, gdje je broj varijabli

Matematika 6. razred NASTAVNI SADRŽAJI Aritmetika Prirodni brojevi. Djeljivost prirodnih brojeva. Kriteriji djeljivosti s 5, 9, 0. Prosti i složeni brojevi. Rastavljanje prirodnog broja na proste faktore.

Tema racionalnih brojeva prilično je opsežna. O tome možete beskrajno razgovarati i pisati čitava djela, svaki put iznenađeni novim značajkama.

Kako bismo izbjegli pogreške u budućnosti, u ovoj lekciji ćemo malo dublje zaroniti u temu racionalnih brojeva, izvući iz nje potrebne informacije i krenuti dalje.

Sadržaj lekcije

Što je racionalan broj

Racionalan broj je broj koji se može prikazati kao razlomak, gdje a— ovo je brojnik razlomka, b je nazivnik razlomka. Štoviše b ne smije biti nula jer dijeljenje s nulom nije dopušteno.

Racionalni brojevi uključuju sljedeće kategorije brojeva:

• cijeli brojevi (na primjer −2, −1, 0 1, 2 itd.)

• decimalni razlomci (na primjer 0,2 itd.)

• beskonačni periodični razlomci (na primjer 0, (3), itd.)

Svaki broj u ovoj kategoriji može se predstaviti kao razlomak.

Primjer 1. Cijeli broj 2 može se predstaviti kao razlomak. To znači da se broj 2 ne odnosi samo na cijele brojeve, već i na racionalne.

Primjer 2. Mješoviti broj može se prikazati kao razlomak. Ovaj se razlomak dobiva pretvaranjem mješovitog broja u nepravi razlomak

To znači da je mješoviti broj racionalan broj.

Primjer 3. Decimala 0,2 može se predstaviti kao razlomak. Ovaj razlomak dobiven je pretvaranjem decimalnog razlomka 0,2 u obični razlomak. Ako imate poteškoća u ovom trenutku, ponovite temu.

Budući da se decimalni razlomak 0,2 može prikazati kao razlomak, to znači da i on pripada racionalnim brojevima.

Primjer 4. Beskonačni periodički razlomak 0, (3) može se prikazati kao razlomak. Taj se razlomak dobiva pretvaranjem čistog periodičkog razlomka u obični razlomak. Ako imate poteškoća u ovom trenutku, ponovite temu.

Budući da se beskonačni periodički razlomak 0, (3) može prikazati kao razlomak, to znači da i on pripada racionalnim brojevima.

U budućnosti ćemo sve brojeve koji se mogu predstaviti kao razlomak sve češće nazivati ​​jednom frazom - racionalni brojevi.

Racionalni brojevi na koordinatnoj liniji

Gledali smo koordinatnu liniju kada smo proučavali negativne brojeve. Podsjetimo se da je ovo ravna linija na kojoj leži mnogo točaka. Kako slijedi:

Ova slika prikazuje mali fragment koordinatne linije od -5 do 5.

Označavanje cijelih brojeva oblika 2, 0, −3 na koordinatnom pravcu nije teško.

Stvari su puno zanimljivije s drugim brojevima: s običnim razlomcima, mješovitim brojevima, decimalama itd. Ovi brojevi leže između cijelih brojeva i tih brojeva ima beskonačno mnogo.

Na primjer, označimo racionalni broj na koordinatnoj liniji. Ovaj broj se nalazi točno između nule i jedan

Pokušajmo shvatiti zašto se razlomak odjednom nalazi između nule i jedan.

Kao što je gore spomenuto, između cijelih brojeva nalaze se drugi brojevi - obični razlomci, decimale, mješoviti brojevi itd. Na primjer, ako dio koordinatne linije povećate s 0 na 1, možete vidjeti sljedeću sliku

Može se vidjeti da između cijelih brojeva 0 i 1 postoje drugi racionalni brojevi, koji su poznati decimalni razlomci. Ovdje možete vidjeti naš razlomak koji se nalazi na istom mjestu kao decimalni razlomak 0,5. Pažljivo ispitivanje ove figure daje odgovor na pitanje zašto se razlomak nalazi baš tu.

Razlomak znači dijeljenje 1 s 2. A ako podijelimo 1 s 2, dobivamo 0,5

Decimalni razlomak 0,5 može se prerušiti u druge razlomke. Iz osnovnog svojstva razlomka znamo da ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim brojem, tada se vrijednost razlomka ne mijenja.

Ako brojnik i nazivnik razlomka pomnožimo s bilo kojim brojem, na primjer s brojem 4, tada dobivamo novi razlomak, a taj je razlomak također jednak 0,5

To znači da se na koordinatnoj liniji razlomak može postaviti na isto mjesto gdje se razlomak nalazio

Primjer 2. Pokušajmo na koordinatu označiti racionalni broj. Ovaj broj se nalazi točno između brojeva 1 i 2

Vrijednost razlomka je 1,5

Povećamo li presjek koordinatne linije s 1 na 2, vidjet ćemo sljedeću sliku:

Može se vidjeti da između cijelih brojeva 1 i 2 postoje drugi racionalni brojevi, koji su poznati decimalni razlomci. Ovdje možete vidjeti naš razlomak koji se nalazi na istom mjestu kao decimalni razlomak 1,5.

Povećali smo određene segmente na koordinatnoj liniji kako bismo vidjeli preostale brojeve koji leže na tom segmentu. Kao rezultat toga, otkrili smo decimalne razlomke koji su imali jednu znamenku iza decimalne točke.

Ali to nisu bile jedine brojke koje leže u ovim segmentima. Na koordinatnoj liniji leži beskonačno mnogo brojeva.

Nije teško pogoditi da između decimalnih razlomaka koji imaju jednu znamenku iza decimalne točke postoje i drugi decimalni razlomci koji imaju dvije znamenke iza decimalne točke. Drugim riječima, stotinke segmenta.

Na primjer, pokušajmo vidjeti brojeve koji se nalaze između decimalnih razlomaka 0,1 i 0,2

Još jedan primjer. Decimalni razlomci koji imaju dvije znamenke iza decimalne točke i nalaze se između nule i racionalnog broja 0,1 izgledaju ovako:

Primjer 3. Označimo racionalni broj na koordinatnoj liniji. Ovaj racionalni broj bit će vrlo blizu nule

Vrijednost razlomka je 0,02

Povećamo li segment s 0 na 0,1, vidjet ćemo gdje se točno nalazi racionalni broj

Vidi se da se naš racionalni broj nalazi na istom mjestu kao i decimalni razlomak 0,02.

Primjer 4. Označimo na koordinatnoj liniji racionalni broj 0, (3)

Racionalni broj 0, (3) je beskonačni periodički razlomak. Njegov razlomački dio nikada ne završava, on je beskonačan

A kako broj 0,(3) ima beskonačno razlomljeni dio, to znači da nećemo moći pronaći točno mjesto na koordinatnoj liniji gdje se nalazi taj broj. Ovo mjesto možemo samo približno naznačiti.

Racionalni broj 0,33333... nalazit će se vrlo blizu običnog decimalnog razlomka 0,3

Ova slika ne pokazuje točno mjesto broja 0,(3). Ovo je samo ilustracija koja pokazuje koliko periodični razlomak 0.(3) može biti blizak običnom decimalnom razlomku 0.3.

Primjer 5. Označimo racionalni broj na koordinatnoj liniji. Ovaj racionalni broj nalazit će se u sredini između brojeva 2 i 3

Ovo je 2 (dva cijela broja) i (jedna sekunda). Razlomak se također naziva "pola". Stoga smo na koordinatnoj liniji označili dva cijela segmenta i još jedan pola segmenta.

Ako mješoviti broj pretvorimo u nepravi razlomak, dobit ćemo običan razlomak. Ovaj razlomak na koordinatnoj liniji nalazit će se na istom mjestu kao i razlomak

Vrijednost razlomka je 2,5

Ako povećamo presjek koordinatne linije sa 2 na 3, vidjet ćemo sljedeću sliku:

Vidi se da se naš racionalni broj nalazi na istom mjestu kao i decimalni razlomak 2,5

Minus ispred racionalnog broja

U prošloj lekciji koja se zvala naučili smo dijeliti cijele brojeve. I pozitivni i negativni brojevi mogu djelovati kao dividenda i djelitelj.

Razmotrimo najjednostavniji izraz

(−6) : 2 = −3

U ovom izrazu, dividenda (−6) je negativan broj.

Sada razmotrite drugi izraz

6: (−2) = −3

Ovdje je djelitelj (−2) već negativan broj. Ali u oba slučaja dobivamo isti odgovor -3.

Uzimajući u obzir da se svako dijeljenje može napisati kao razlomak, primjere o kojima smo raspravljali također možemo napisati kao razlomak:

Budući da je u oba slučaja vrijednost razlomka ista, minus u brojniku ili nazivniku može biti zajednički tako da se stavi ispred razlomka

Stoga između izraza i i možete staviti znak jednakosti jer imaju isto značenje

Ubuduće, kada radimo s razlomcima, ako naiđemo na minus u brojniku ili nazivniku, učinit ćemo taj minus zajedničkim stavljanjem ispred razlomka.

Suprotni racionalni brojevi

Poput cijelog broja, racionalan broj ima svoj suprotni broj.

Na primjer, za racionalan broj, suprotan broj je . Nalazi se na koordinatnoj liniji simetrično na mjesto u odnosu na ishodište koordinata. Drugim riječima, oba su broja jednako udaljena od ishodišta

Pretvaranje mješovitih brojeva u neprave razlomke

Znamo da da bismo mješoviti broj pretvorili u nepravi razlomak, moramo cijeli dio pomnožiti s nazivnikom razlomka i dodati ga brojniku razlomka. Rezultirajući broj bit će brojnik novog razlomka, ali nazivnik ostaje isti.

Na primjer, pretvorimo mješoviti broj u nepravi razlomak

Pomnožite cijeli dio s nazivnikom razlomka i dodajte brojnik razlomka:

Izračunajmo ovaj izraz:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Dobiveni broj 5 bit će brojnik novog razlomka, ali će nazivnik ostati isti:

Ovaj postupak je u cijelosti napisan kako slijedi:

Da biste vratili izvorni mješoviti broj, dovoljno je odabrati cijeli dio u razlomku

Ali ova metoda pretvaranja mješovitog broja u nepravi razlomak primjenjiva je samo ako je mješoviti broj pozitivan. Ova metoda neće raditi za negativan broj.

Razmotrimo razlomak. Odaberimo cijeli dio ovog razlomka. Dobivamo

Da biste vratili izvorni razlomak, trebate pretvoriti mješoviti broj u nepravi razlomak. Ali ako se poslužimo starim pravilom, naime cijeli dio pomnožimo s nazivnikom razlomka i dobivenom broju dodamo brojnik razlomka, dobivamo sljedeću kontradikciju:

Dobili smo kusur, a trebali smo kusur.

Zaključujemo da je mješoviti broj netočno pretvoren u nepravi razlomak:

Da biste ispravno pretvorili negativni mješoviti broj u nepravilan razlomak, morate pomnožiti cijeli dio s nazivnikom razlomka, a iz dobivenog broja oduzeti brojnik razlomljenog dijela. U ovom slučaju sve će nam doći na svoje mjesto

Negativan mješoviti broj je suprotan mješovitom broju. Ako se pozitivan mješoviti broj nalazi na desnoj strani i izgleda ovako