Известно, что оно является частным вариантом равенства ах 2 +вх+с = о, где а, в и с - вещественные коэффициенты при неизвестном х, и где а ≠ о, а в и с будут нулями - одновременно или порознь. Например, с = о, в ≠ о или наоборот. Мы почти вспомнили определение квадратного уравнения.
Трехчлен второй степени равен нулю. Первый его коэффициент а ≠ о, в и с могут принимать любые значения. Значение переменной х тогда будет когда при подстановке обратит его в верное числовое равенство. Остановимся на вещественных корнях, хотя решениями уравнения могут быть и Полным принято называть уравнение, в котором ни один из коэффициентов не равен о, а ≠ о, в ≠ о, с ≠ о.
Решим пример. 2х 2 -9х-5 = о, находим
D = 81+40 = 121,
D положительный, значит корни имеются, х 1 = (9+√121):4 = 5, а второй х 2 = (9-√121):4 = -о,5. Проверка поможет убедиться, что они верные.
Вот поэтапное решение квадратного уравнения
Через дискриминант можно решить любое уравнение, в левой части которого известный квадратный трехчлен при а ≠ о. В нашем примере. 2х 2 -9х-5 = 0 (ах 2 +вх+с = о)
Рассмотрим, какие бывают неполные уравнения второй степени
- ах 2 +вх = o. Свободный член, коэффициент с при х 0 , здесь равен нулю, в ≠ o.
Как решать неполное квадратное уравнение такого вида? Выносим х за скобки. Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно нулю.
x(ax+b) = o, это может быть, когда х = о или когда ax+b = o.
Решив 2-е имеем x = -в/а.
В результате имеем корни х 1 = 0, по вычислениям x 2 = -b/a . - Теперь коэффициент при х равен о, а с не равен (≠) о.
x 2 +с = о. Перенесем с в правую часть равенства, получим x 2 = -с. Это уравнение только тогда имеет вещественные корни, когда -с положительное число (с ‹ о),
х 1 тогда равен √(-с), соответственно х 2 ― -√(-с). В противном случае уравнение совсем не имеет корней. - Последний вариант: b = c= o, то есть ах 2 = о. Естественно, такое простенькое уравнение имеет один корень, x = о.
Частные случаи
Как решать неполное квадратное уравнение рассмотрели, а теперь возмем любые виды.
- В полном квадратном уравнении второй коэффициент при х ― четное число.
Пусть k = o,5b. Имеем формулы для вычисления дискриминанта и корней.
D/4 = k 2 - ас, корни вычисляются так х 1,2 = (-k±√(D/4))/а при D › o.
x = -k/a при D = o.
Нет корней при D ‹ o. - Бывают приведенные квадратные уравнения, когда коэффициент при х в квадрате равен 1, их принято записывать x 2 +рх+ q = o. На них распространяются все вышеприведенные формулы, вычисления же несколько проще.
Пример, х 2 -4х-9 = 0. Вычисляем D: 2 2 +9, D = 13.
х 1 = 2+√13, х 2 = 2-√13. - Кроме того, к приведенным легко применяется В ней говорится, что сумма корней уравнения равна -p, второму коэффициенту с минусом (имеется ввиду противоположный знак), а произведение этих же корней будет равно q, свободному члену. Проверьте, как легко можно было бы устно определить корни этого уравнения. Для неприведенных (при всех коэффициентах, не равных нулю) эта теорема применима так: сумма x 1 +x 2 равна -в/а, произведение х 1 ·х 2 равно с/a.
Сумма свободного члена с и первого коэффициента а равна коэффициенту b. В этой ситуации уравнение имеет не менее чем один корень (легко доказывается), первый обязательно равен -1, а второй -с/а, если он существует. Как решать неполное квадратное уравнение, можно проверить самостоятельно. Проще простого. Коэффициенты могут находиться в некоторых соотношениях между собой
- x 2 +x = o, 7х 2 -7 = o.
- Сумма всех коэффициентов равна о.
Корни у такого уравнения - 1 и с/а. Пример, 2х 2 -15х+13 = o.
x 1 = 1, х 2 = 13/2.
Существует ряд других способов решения разных уравнениий второй степени. Вот, например, метод выделения из данного полинома полного квадрата. Графических способов несколько. Когда часто имеешь дело с такими примерами, научишься «щелкать» их, как семечки, ведь все способы приходят на ум автоматически.
Фарафонова Наталия Игоревна
Тема: Неполные квадратные уравнения.
Цели урока: - Ввести понятие неполного квадратного уравнения;
Научить решать неполные квадратные уравнения.
Задачи урока: - Уметь определять вид квадратного уравнения;
Решать неполные квадратные уравнения.
Уебник: Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - М. : Просвещение, 2010.
Ход урока.
1. Напомнить учащимся о том, что прежде, чем решать любое квадратное уравнение, необходимо привести его к стандартному виду. Вспомнить определение полного квадратного уравнения: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
В данных квадратных уравнениях назвать коэффициенты a, b, c:
а) 2x 2 - x + 3 = 0; б) x 2 + 4x - 1 = 0; в) x 2 - 4 = 0; г) 5x 2 + 3x = 0.
2. Дать определение неполного квадратного уравнения:
Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов, bили c, равен 0. Обратить внимание, что коэффициент а ≠ 0. Из уравнений представленных выше, выбрать неполные квадратные уравнения.
3. Виды неполных квадратных уравнений с примерами решений удобнее представить в виде таблице:
- Не решая, определите количество корней для каждого неполного квадратного уравнения:
а) 2x 2 - 3 = 0; б) 3x 2 + 4 = 0; в) 5x 2 - x = 0; г) 0,6x 2 = 0; д) -8x 2 - 4 = 0.
- Решить неполные квадратные уравнения (решение уравнений, с проверкой у доски, 2 варианта):
в) 2x 2 + 15 = 0
г) 3x 2 + 2x = 0
д) 2x 2 - 16 = 0
е) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)
ж) (x + 1) 2 - 4 = 0
в) 2x 2 + 7 = 0
г) x 2 + 9x = 0
д) 81x 2 - 64 = 0
е) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)
ж) (x - 2) 2 - 8 = 0.
6. Самостоятельная работа по вариантам:
1 вариант
а) 3x 2 - 12 = 0
б) 2x 2 + 6x = 0
д) 7x 2 - 14 = 0
2 вариант
б) 6x 2 + 24 = 0
в) 9y 2 - 4 = 0
г) -y 2 + 5 = 0
д) 1 - 4y 2 = 0
е) 8y 2 + y = 0
3 вариант
а) 6y - y 2 = 0
б) 0,1y 2 - 0,5y = 0
в) (x + 1)(x -2) = 0
г) x(x + 0,5) = 0
д) x 2 - 2x = 0
е) x 2 - 16 = 0
4 вариант
а) 9x 2 - 1 = 0
б) 3x - 2x 2 = 0
г) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6
д) 3x 2 + 7 = 12x+ 7
5 вариант
а) 2x 2 - 18 = 0
б) 3x 2 - 12x = 0
г) x 2 + 16 = 0
д) 6x 2 - 18 = 0
е) x 2 - 5x = 0
6 вариант
б) 4x 2 + 36 = 0
в) 25y 2 - 1 = 0
г) -y 2 + 2 = 0
д) 9 - 16y 2 = 0
е) 7y 2 + y = 0
7 вариант
а) 4y - y 2 = 0
б) 0,2y 2 - y = 0
в) (x + 2)(x - 1) = 0
г) (x - 0,3)x = 0
д) x 2 + 4x = 0
е) x 2 - 36 = 0
8 вариант
а) 16x 2 - 1 = 0
б) 4x - 5x 2 = 0
г) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x
д) 5x 2 - 6 = 15x - 6
Ответы к самостоятельной работе:
1 вариант: а)2, б)0;-3; в)0; г)корней нет; д);
2 вариант а)0; б)корней; в); г); д); е)0;- ;
3 вариант а)0;6; б)0;5; в)-1;2; г)0;-0,5; д)0;2; е)4
4 вариант а); б)0;1,5; в)0;3; г)3; д)0;4 е)5
5 вариант а)3; б)0;4; в)0; г)корней нет; д) е)0;5
6 вариант а)0; б)корней нет; в) г) д)е)0;-
7 вариант а)0;4; б)0;5; в)-2;1; г)0;0,03; д)0;-4; е)6
8 вариант а) б)0; в)0;7; г)4; д)0;3; е)
Итоги урока: Сформулировано понятие «неполное квадратное уравнение»; показаны способы решения разных видов неполных квадратных уравнений. В ходе выполнения различных заданий отработаны навыки решения неполных квадратных уравнений.
7. Домашнее задание: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.
Дополнительное задание:
При каких значениях a уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите уравнение при полученных значениях a:
а) x 2 + 3ax + a - 1 = 0
б) (a - 2)x 2 + ax = 4 - a 2 = 0
Более простым способом. Для этого вынесите z за скобки. Вы получите : z(аz + b) = 0. Множители можно расписать: z=0 и аz + b = 0, так как оба могут давать в результате ноль. В записи аz + b = 0 перенесем второй вправо с другим знаком. Отсюда получаем z1 = 0 и z2 = -b/а. Это и есть корни исходного .
Если же имеется неполное уравнение вида аz² + с = 0, в данном случае находятся простым переносом свободного члена в правую часть уравнения. Также поменяйте при этом его знак. Получится запись аz² = -с. Выразите z² = -с/а. Возьмите корень и запишите два решения - положительное и отрицательное значение корня квадратного.
Обратите внимание
При наличии в уравнении дробных коэффициентов помножьте все уравнение на соответствующий множитель так, чтобы избавиться от дробей.
Знание о том, как решать квадратные уравнения, необходимо и школьникам, и студентам, иногда это может помочь и взрослому человеку в обычной жизни. Существует несколько определенных методов решений.
Решение квадратных уравнений
Квадратным уравнение вида a*x^2+b*x+c=0. Коэффициент х является искомой переменной, a, b, c - числовые коэффициенты. Помните, что знак «+» может меняться на знак «-».Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо воспользоваться теоремой Виета или найти дискриминант. Самым распространенным способом является нахождение дискриминанта, так как при некоторых значениях a, b, c воспользоваться теоремой Виета не представляется возможным.
Чтобы найти дискриминант (D), необходимо записать формулу D=b^2 - 4*a*c. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то корня будет два, если D=0, то остается всего один корень, более точно можно сказать, что D в этом случае имеет два равнозначных корня. Подставьте известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычислите значение.
После того как вы нашли дискриминант, для нахождения х воспользуйтесь формулами: x(1) = (- b+sqrt{D})/2*a; x(2) = (- b-sqrt{D})/2*a, где sqrt - это функция, означающая извлечение квадратного корня из данного числа. Посчитав эти выражения, вы найдете два корня вашего уравнения, после чего уравнение считается решенным.
Если D меньше нуля, то он все равно имеет корни. В школе данный раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать о том, что появляется отрицательное число под корнем. От него избавляются выделяя мнимую часть, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с таким же положительным числом. К примеру, если D=sqrt{-20}, после преобразования получается D=sqrt{20}*i. После этого преобразования, решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как было описано выше.
Теорема Виета заключается в подборе значений x(1) и x(2). Используется два тождественных уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Причем очень важным моментом является знак перед коэффициентом b, помните, что этот знак противоположен тому, который стоит в уравнении. С первого взгляда кажется, что посчитать x(1) и x(2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что числа придется именно подбирать.
Элементы решения квадратных уравнений
По правилам математики некоторые можно разложить на множители: (a+x(1))*(b-x(2))=0, если вам посредством формул математики удалось преобразовать подобным образом данное квадратное уравнение, то смело записывайте ответ. x(1) и x(2) будут равны рядом стоящим коэффициентам в скобках, но с противоположным знаком.Также не стоит забывать про неполные квадратные уравнения. У вас может отсутствовать какое-то из слагаемых, если это так, то все его коэффициенты просто равны нулю. Если перед x^2 или x ничего не стоит, то коэффициенты а и b равны 1.
В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.
Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным . Как мы видим коэффициент при х 2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов :
1) Если b = 0, с ≠ 0, то ах 2 + с = 0;
2) Если b ≠ 0, с = 0, то ах 2 + bх = 0;
3) Если b= 0, с = 0, то ах 2 = 0.
- Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах 2 + с = 0.
Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим
ах 2 = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х 2 = ‒с/а.
Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня
x = ±√(–c/a) .
Если же ‒c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.
Пример 1 . Решите уравнение 2х 2 ‒ 32 = 0.
Ответ: х 1 = ‒ 4, х 2 = 4.
Пример 2 . Решите уравнение 2х 2 + 8 = 0.
Ответ: уравнение решений не имеет.
- Разберемся как же решаются уравнения вида ах 2 + bх = 0.
Чтобы решить уравнение ах 2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах + b = 0. Решая уравнение ах + b = 0, получим ах = ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах 2 + bх = 0, всегда имеет два корня х 1 = 0 и х 2 = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.
Закрепим наши знания на конкретном примере.
Пример 3 . Решить уравнение 3х 2 ‒ 12х = 0.
х(3х ‒ 12) = 0
х= 0 или 3х – 12 = 0
Ответ: х 1 = 0, х 2 = 4.
- Уравнения третьего вида ах 2 = 0 решаются очень просто.
Если ах 2 = 0, то х 2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х 1 = 0, х 2 = 0.
Для наглядности рассмотрим схему.
Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.
Пример 4. Решить уравнение 7х 2 = 0.
Ответ: х 1, 2 = 0.
Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.
Пример 5. Решить уравнение
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30
Сократим
5(5х 2 + 9) – 6(4х 2 – 9) = 90.
Раскроем скобки
25х 2 + 45 – 24х 2 + 54 = 90.
Приведем подобные
Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный
Ответ: корней нет.
Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.
Если у вас появились вопросы по данной теме, мы вместе решим возникшие проблемы.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа
10 способов решения квадратных уравнений
Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,
учитель математики
с.Копьево, 2007
1. История развития квадратных уравнений
1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
1.3 Квадратные уравнения в Индии
1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми
1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв
1.6 О теореме Виета
2. Способы решения квадратных уравнений
Заключение
Литература
1. История развития квадратных уравнений
1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.
Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .
Отсюда уравнение:
(10 + х)(10 - х) = 96
100 - х 2 = 96
х 2 - 4 = 0 (1)
Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
у(20 - у) = 96,
у 2 - 20у + 96 = 0. (2)
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).
1.3 Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах 2 + b х = с, а > 0. (1)
В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
Задача 13.
«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…
Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).
Соответствующее задаче 13 уравнение:
( x /8) 2 + 12 = x
Бхаскара пишет под видом:
х 2 - 64х = -768
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:
х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,
(х - 32) 2 = 256,
х - 32 = ± 16,
х 1 = 16, х 2 = 48.
1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми
В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .
Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида
ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.
Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:
х 2 + bx = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
1.6 О теореме Виета
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равноD ».
Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место
(а + b )х - х 2 = ab ,
х 2 - (а + b )х + а b = 0,
х 1 = а, х 2 = b .
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.
2. Способы решения квадратных уравнений
Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.
