Derivate complexe. Derivată logaritmică.
Derivată a unei funcții putere-exponențială

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul pe care l-am abordat, vom analiza derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi tehnici și trucuri pentru găsirea unei derivate, în special, cu derivata logaritmică.

Acei cititori care au un nivel scăzut de pregătire ar trebui să consulte articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții, care vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe, înțelegeți și rezolvați Toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia, iar după ce o stăpânești vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să luăm poziția „Unde altundeva? Este suficient!”, deoarece toate exemplele și soluțiile sunt preluate din teste reale și sunt adesea întâlnite în practică.

Să începem cu repetarea. La lectie Derivată a unei funcții complexe Am analizat o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studierii calculului diferențial și a altor ramuri ale analizei matematice, va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să descrii exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa găsirea derivatelor pe cale orală. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:

Conform regulii de diferenţiere a funcţiilor complexe :

Când studiați alte subiecte matan în viitor, cel mai adesea nu este necesară o înregistrare atât de detaliată, se presupune că studentul știe să găsească astfel de derivate pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a sunat telefonul și o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi X?” Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat unei soluții independente.

Exemplul 1

Găsiți oral următoarele derivate, într-o singură acțiune, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu ți-ai amintit încă). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția Derivată a unei funcții complexe.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va suferi), atunci aproape orice altceva în calcul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar DreaptaÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc de o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau într-o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai profundă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența este:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu există erori...

(1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luați derivata cosinusului.

(5) Luați derivata logaritmului.

(6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi ne uităm, este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este posibil – acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

De asemenea, puteți să vă răsuciți și să puneți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa, nu va fi o eroare. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat? Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a face o eroare nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge pe calea lungă, folosind regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei derivatul neplăcut dintr-o putere fracțională și apoi și dintr-o fracțiune.

De aceea inainte de cum să luăm derivata unui logaritm „sofisticat”, aceasta este mai întâi simplificată folosind proprietățile școlii bine-cunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule direct acolo. Dacă nu aveți un caiet, copiați-le pe o foaie de hârtie, deoarece exemplele rămase ale lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi scrisă cam așa:

Să transformăm funcția:

Găsirea derivatei:

Pre-conversia funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pe care să le rezolvați singur:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile sunt la sfârșitul lecției.

Derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea: este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate sa! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Am analizat recent exemple similare. Ce să fac? Puteți aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că ajungeți cu o fracție uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat ca derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Notă : deoarece o funcție poate lua valori negative, atunci, în general, trebuie să utilizați module: , care va dispărea ca urmare a diferențierii. Cu toate acestea, designul actual este de asemenea acceptabil, unde implicit este luat în considerare complex sensuri. Dar dacă cu toată rigoarea, atunci în ambele cazuri ar trebui făcută o rezervă că.

Acum trebuie să „dezintegrați” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formule în fața ochilor tăi?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți sub primul:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „Y” sub logaritm?”

Faptul este că acest „joc cu o literă” - ESTE ÎN sine O FUNCȚIE(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

În partea stângă, ca prin farmec, avem un derivat. Apoi, conform regulii proporției, transferăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum să ne amintim despre ce fel de funcție „jucător” am vorbit în timpul diferențierii? Să ne uităm la starea:

Răspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Un exemplu de proiect al unui exemplu de acest tip se află la sfârșitul lecției.

Folosind derivata logaritmică a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple și, poate, utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială putere este o funcție pentru care atât gradul cât și baza depind de „x”. Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau prelegere:

Cum se găsește derivata unei funcții putere-exponențială?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai discutată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, în partea dreaptă, gradul este scos de sub logaritm:

Ca urmare, în partea dreaptă avem produsul a două funcții, care vor fi diferențiate conform formulei standard .

Găsim derivata pentru a face acest lucru, închidem ambele părți sub linii:

Alte acțiuni sunt simple:

In cele din urma:

Dacă orice conversie nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul nr. 11.

În sarcinile practice, funcția putere-exponențială va fi întotdeauna mai complexă decât exemplul de prelegere discutat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). Când diferențiem, așa cum ne amintim, este mai bine să mutați imediat constanta din semnul derivat, astfel încât să nu împiedice; și, bineînțeles, aplicăm regula familiară :

Simți că mai este mult timp până la examen? Aceasta este o lună? Două? An? Practica arată că un student se descurcă cel mai bine unui examen dacă începe să se pregătească pentru acesta din timp. Există multe sarcini dificile în examenul de stat unificat care stau în calea școlarilor și viitorilor solicitanți la cele mai mari scoruri. Trebuie să înveți să depășești aceste obstacole și, în plus, nu este greu de făcut. Trebuie să înțelegeți principiul lucrului cu diverse sarcini de la bilete. Atunci nu vor fi probleme cu cele noi.

Logaritmii la prima vedere par incredibil de complexi, dar cu o analiză detaliată situația devine mult mai simplă. Dacă doriți să promovați Examenul Unificat de Stat cu cel mai mare punctaj, ar trebui să înțelegeți conceptul în cauză, ceea ce vă propunem să facem în acest articol.

Mai întâi, să separăm aceste definiții. Ce este un logaritm (log)? Acesta este un indicator al puterii la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul specificat. Dacă nu este clar, să ne uităm la un exemplu elementar.

În acest caz, baza din partea de jos trebuie ridicată la a doua putere pentru a obține numărul 4.

Acum să ne uităm la al doilea concept. Derivata unei funcții sub orice formă este un concept care caracterizează schimbarea unei funcții la un punct dat. Cu toate acestea, aceasta este o programa școlară, iar dacă aveți probleme cu aceste concepte individual, merită să repetați subiectul.

Derivată a logaritmului

În temele pentru examenul de stat unificat pe acest subiect, puteți da mai multe sarcini ca exemplu. Pentru început, cea mai simplă derivată logaritmică. Este necesar să găsim derivata următoarei funcții.

Trebuie să găsim următoarea derivată

Există o formulă specială.

În acest caz x=u, log3x=v. Înlocuim valorile din funcția noastră în formulă.

Derivata lui x va fi egala cu unu. Logaritmul este puțin mai dificil. Dar veți înțelege principiul dacă pur și simplu înlocuiți valorile. Reamintim că derivata lui lg x este derivata logaritmului zecimal, iar derivata lui ln x este derivata logaritmului natural (pe baza e).

Acum pur și simplu introduceți valorile rezultate în formulă. Încercați singur, apoi vom verifica răspunsul.

Care ar putea fi problema aici pentru unii? Am introdus conceptul de logaritm natural. Să vorbim despre asta și, în același timp, să ne dăm seama cum să rezolvăm problemele cu el. Nu veți vedea nimic complicat, mai ales când înțelegeți principiul funcționării acestuia. Ar trebui să vă obișnuiți, deoarece este adesea folosit în matematică (cu atât mai mult în instituțiile de învățământ superior).

Derivată a logaritmului natural

În centrul său, este derivata logaritmului la baza e (care este un număr irațional care este aproximativ 2,7). De fapt, ln este foarte simplu, deci este adesea folosit în matematică în general. De fapt, nici rezolvarea problemei cu ea nu va fi o problemă. Merită să ne amintim că derivata logaritmului natural la baza e va fi egală cu una împărțită la x. Soluția pentru următorul exemplu va fi cea mai revelatoare.

Să ne imaginăm ca pe o funcție complexă constând din două simple.

Este suficient să convertiți

Căutăm derivata lui u față de x

Când se diferențiază funcții de putere exponențială sau expresii fracționale greoaie, este convenabil să se folosească derivata logaritmică. În acest articol vom analiza exemple de aplicare a acestuia cu soluții detaliate.

Prezentarea ulterioară presupune capacitatea de a utiliza tabelul de derivate, regulile de diferențiere și cunoașterea formulei pentru derivata unei funcții complexe.

Derivarea formulei pentru derivata logaritmică.

În primul rând, luăm logaritmii la baza e, simplificăm forma funcției folosind proprietățile logaritmului și apoi găsim derivata funcției specificate implicit:

De exemplu, să găsim derivata unei funcții de putere exponențială x la puterea x.

Luând logaritmi dă . După proprietățile logaritmului. Diferențierea ambelor părți ale egalității duce la rezultatul:

Răspuns: .

Același exemplu poate fi rezolvat fără a utiliza derivata logaritmică. Puteți efectua unele transformări și puteți trece de la diferențierea unei funcții de putere exponențială la găsirea derivatei unei funcții complexe:

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții .

Soluţie.

În acest exemplu, funcția este o fracție și derivata ei poate fi găsită folosind regulile de diferențiere. Dar din cauza greutății expresiei, acest lucru va necesita multe transformări. În astfel de cazuri, este mai rezonabil să se folosească formula derivată logaritmică . De ce? Vei intelege acum.

Să-l găsim mai întâi. În transformări vom folosi proprietățile logaritmului (logaritmul unei fracții este egal cu diferența de logaritmi, iar logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor, iar gradul expresiei sub semnul logaritmului poate fi scos ca coeficient în fața logaritmului):

Aceste transformări ne-au condus la o expresie destul de simplă, a cărei derivată este ușor de găsit:

Înlocuim rezultatul obținut în formula derivatei logaritmice și obținem răspunsul:

Pentru a consolida materialul, vom mai oferi câteva exemple fără explicații detaliate.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții de putere exponențială

Derivata logaritmului natural al lui x este egala cu una impartita la x:
(1) (ln x)′ =.

Derivata logaritmului la baza a este egala cu unu impartita la variabila x inmultita cu logaritmul natural al lui a:
(2) (log a x)′ =.

Dovada

Să existe un număr pozitiv care nu este egal cu unul. Luați în considerare o funcție care depinde de o variabilă x, care este un logaritm față de bază:
.
Această funcție este definită la . Să găsim derivata ei în raport cu variabila x. Prin definiție, derivata este următoarea limită:
(3) .

Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem următoarele fapte:
A) Proprietățile logaritmului. Vom avea nevoie de următoarele formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă:
(7) .
Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
ÎN) Semnificația celei de-a doua limite remarcabile:
(8) .

Să aplicăm aceste fapte la limita noastră. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.
Pentru a face acest lucru, aplicăm proprietățile (4) și (5).

.

Să folosim proprietatea (7) și a doua limită remarcabilă (8):
.

Și, în sfârșit, aplicăm proprietatea (6):
.
Logaritm la bază e numit logaritmul natural. Este desemnată astfel:
.
Apoi ;
.

Astfel, am obținut formula (2) pentru derivata logaritmului.

Derivată a logaritmului natural

Încă o dată scriem formula pentru derivata logaritmului la baza a:
.
Această formulă are cea mai simplă formă pentru logaritmul natural, pentru care , . Apoi
(1) .

Datorită acestei simplități, logaritmul natural este utilizat pe scară largă în analiza matematică și în alte ramuri ale matematicii legate de calculul diferențial. Funcțiile logaritmice cu alte baze pot fi exprimate în termeni de logaritm natural folosind proprietatea (6):
.

Derivata logaritmului față de bază poate fi găsită din formula (1), dacă scoateți constanta din semnul de diferențiere:
.

Alte moduri de a demonstra derivata unui logaritm

Aici presupunem că știm formula pentru derivata exponențialului:
(9) .
Apoi putem deriva formula pentru derivata logaritmului natural, dat fiind că logaritmul este funcția inversă a exponențialului.

Să demonstrăm formula pentru derivata logaritmului natural, aplicând formula pentru derivata funcţiei inverse:
.
În cazul nostru . Funcția inversă față de logaritmul natural este exponențial:
.
Derivatul său este determinat de formula (9). Variabilele pot fi desemnate prin orice literă. În formula (9), înlocuiți variabila x cu y:
.
De atunci
.
Apoi
.
Formula este dovedită.

Acum demonstram formula pentru derivata logaritmului natural folosind reguli de diferențiere a funcțiilor complexe. Deoarece funcțiile și sunt inverse între ele, atunci
.
Să diferențiem această ecuație față de variabila x:
(10) .
Derivata lui x este egala cu unu:
.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe:
.
Aici . Să înlocuim în (10):
.
De aici
.

Exemplu

Găsiți derivate ale ln 2x, ln 3xȘi lnnx.

Soluţie

Funcțiile originale au o formă similară. Prin urmare, vom găsi derivata funcției y = log nx. Apoi înlocuim n = 2 și n = 3. Și, astfel, obținem formule pentru derivatele lui ln 2xȘi ln 3x .

Deci, căutăm derivata funcției
y = log nx .
Să ne imaginăm această funcție ca o funcție complexă constând din două funcții:
1) Funcții în funcție de o variabilă: ;
2) Funcţii în funcţie de o variabilă: .
Atunci funcția originală este compusă din funcțiile și:
.

Să găsim derivata funcției față de variabila x:
.
Să găsim derivata funcției în raport cu variabila:
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.
.
Aici o punem la punct.

Deci am gasit:
(11) .
Vedem că derivata nu depinde de n. Acest rezultat este destul de natural dacă transformăm funcția originală folosind formula pentru logaritmul produsului:
.
- aceasta este o constantă. Derivata sa este zero. Atunci, conform regulii de diferențiere a sumei, avem:
.

Răspuns

; ; .

Derivată a logaritmului modulului x

Să găsim derivata unei alte funcții foarte importante - logaritmul natural al modulului x:
(12) .

Să luăm în considerare cazul. Apoi funcția arată astfel:
.
Derivatul său este determinat de formula (1):
.

Acum să luăm în considerare cazul. Apoi funcția arată astfel:
,
Unde .
Dar am găsit și derivata acestei funcții în exemplul de mai sus. Nu depinde de n și este egal cu
.
Apoi
.

Combinăm aceste două cazuri într-o singură formulă:
.

În consecință, pentru ca logaritmul să bazeze a, avem:
.

Derivate de ordine superioare ale logaritmului natural

Luați în considerare funcția
.
Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
(13) .

Să găsim derivata de ordinul doi:
.
Să găsim derivata de ordinul trei:
.
Să găsim derivata de ordinul al patrulea:
.

Puteți observa că derivata de ordinul n-a are forma:
(14) .
Să demonstrăm acest lucru prin inducție matematică.

Dovada

Să înlocuim valoarea n = 1 în formula (14):
.
Din moment ce , atunci când n = 1 , formula (14) este valabilă.

Să presupunem că formula (14) este satisfăcută pentru n = k. Să demonstrăm că aceasta implică că formula este valabilă pentru n = k + 1 .

Într-adevăr, pentru n = k avem:
.
Diferențierea față de variabila x:

.
Deci avem:
.
Această formulă coincide cu formula (14) pentru n = k + 1 . Astfel, din ipoteza că formula (14) este valabilă pentru n = k, rezultă că formula (14) este valabilă pentru n = k + 1 .

Prin urmare, formula (14), pentru derivata de ordinul n, este valabilă pentru orice n.

Derivate de ordine superioare ale logaritmului la baza a

Pentru a găsi derivata de ordinul al n-lea a unui logaritm la baza a, trebuie să o exprimați în termeni de logaritm natural:
.
Aplicând formula (14), găsim derivata a n-a:
.

Lăsa
(1)
este o funcție diferențiabilă a variabilei x. În primul rând, îl vom considera pe mulțimea valorilor x pentru care y ia valori pozitive: . În cele ce urmează, vom arăta că toate rezultatele obținute sunt aplicabile și pentru valorile negative ale .

În unele cazuri, pentru a găsi derivata funcției (1), este convenabil să o pre-logaritm
,
și apoi calculați derivata. Apoi, conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe,
.
De aici
(2) .

Derivata logaritmului unei functii se numeste derivata logaritmica:
.

Derivată logaritmică a funcției y = f(x) este derivata logaritmului natural al acestei funcții: (ln f(x))′.

Cazul valorilor negative y

Acum luați în considerare cazul în care o variabilă poate lua atât valori pozitive, cât și negative. În acest caz, luați logaritmul modulului și găsiți derivata acestuia:
.
De aici
(3) .
Adică, în cazul general, trebuie să găsiți derivata logaritmului modulului funcției.

Comparând (2) și (3) avem:
.
Adică, rezultatul formal al calculării derivatei logaritmice nu depinde dacă am luat modulo sau nu. Prin urmare, atunci când calculăm derivata logaritmică, nu trebuie să ne îngrijorăm cu privire la semnul funcției.

Această situație poate fi clarificată folosind numere complexe. Fie, pentru unele valori ale lui x, negativ: . Dacă luăm în considerare numai numere reale, atunci funcția este nedefinită. Totuși, dacă introducem numere complexe în considerare, obținem următoarele:
.
Adică, funcțiile și diferă printr-o constantă complexă:
.
Deoarece derivata unei constante este zero, atunci
.

Proprietatea derivatei logaritmice

Dintr-o asemenea consideraţie rezultă că derivata logaritmică nu se va schimba dacă înmulțiți funcția cu o constantă arbitrară :
.
Într-adevăr, folosind proprietățile logaritmului, formule sumă derivatăȘi derivată a unei constante, avem:

.

Aplicarea derivatei logaritmice

Este convenabil să folosiți derivata logaritmică în cazurile în care funcția originală constă dintr-un produs de putere sau funcții exponențiale. În acest caz, operația cu logaritm transformă produsul funcțiilor în suma lor. Acest lucru simplifică calculul derivatei.

Exemplul 1

Aflați derivata funcției:
.

Soluţie

Să logaritmăm funcția originală:
.

Să diferențiem față de variabila x.
În tabelul derivatelor găsim:
.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe.
;
;
;
;
(A1.1) .
Înmulțit cu:

.

Deci, am găsit derivata logaritmică:
.
De aici găsim derivata funcției originale:
.

Notă

Dacă vrem să folosim numai numere reale, atunci ar trebui să luăm logaritmul modulului funcției inițiale:
.
Apoi
;
.
Și am primit formula (A1.1). Prin urmare, rezultatul nu s-a schimbat.

Răspuns

Exemplul 2

Folosind derivata logaritmică, găsiți derivata funcției
.

Soluţie

Să luăm logaritmi:
(A2.1) .
Diferențierea față de variabila x:
;
;

;
;
;
.

Înmulțit cu:
.
De aici obținem derivata logaritmică:
.

Derivată a funcției originale:
.

Notă

Aici funcția originală este nenegativă: . Este definit la . Dacă nu presupunem că logaritmul poate fi definit pentru valorile negative ale argumentului, atunci formula (A2.1) ar trebui scrisă după cum urmează:
.
Deoarece

Și
,
acest lucru nu va afecta rezultatul final.

Răspuns

Exemplul 3

Găsiți derivata
.

Soluţie

Efectuăm diferențierea folosind derivata logaritmică. Să luăm un logaritm, ținând cont de faptul că:
(A3.1) .

Prin diferențiere, obținem derivata logaritmică.
;
;
;
(A3.2) .

De atunci

.

Notă

Să efectuăm calculele fără a presupune că logaritmul poate fi definit pentru valorile negative ale argumentului. Pentru a face acest lucru, luați logaritmul modulului funcției originale:
.
Atunci în loc de (A3.1) avem:
;

.
Comparând cu (A3.2) vedem că rezultatul nu s-a schimbat.