Funcționează punctele critice

În raționamentul anterior, nu am folosit deloc metodele tehnice de calcul diferențial.

Este greu să nu admitem că metodele noastre elementare sunt mai simple și mai directe decât metodele de analiză. În general, atunci când se tratează o anumită problemă științifică, este mai bine să se pornească de la caracteristicile sale individuale decât să se bazeze doar pe metode generale, deși, pe de altă parte, principiul general care clarifică semnificația procedurilor speciale utilizate, desigur, ar trebui să joace întotdeauna un rol principal. Acesta este tocmai sensul metodelor de calcul diferențial atunci când se iau în considerare probleme extreme. Efortul de generalitate observat în știința modernă este doar o parte a problemei, deoarece ceea ce este cu adevărat vital în matematică este, fără îndoială, condiționat de trăsăturile individuale ale problemelor și metodelor utilizate.

În dezvoltarea sa istorică, calculul diferențial a experimentat într-o foarte mare măsură impactul problemelor individuale asociate cu găsirea celor mai mari și mai mici valori ale cantităților. Conexiunea dintre problemele extreme și calculul diferențial poate fi înțeleasă după cum urmează. În capitolul VIII vom studia cu atenție derivata f "(x) a funcției f (x) și semnificația sa geometrică. Acolo vom vedea că, pe scurt, derivata f" (x) este panta tangentei la curbă y \u003d f (x) la punctul (x, y). Geometric, este evident că în punctele de maxim sau minim ale unei curbe netede y \u003d f (x) tangenta curbei trebuie neapărat să fie orizontală, adică panta trebuie să fie zero. Astfel, pentru punctele extreme obținem condiția f "(x) \u003d 0.

Pentru a înțelege clar ce înseamnă dispariția derivatei f "(x), luați în considerare curba prezentată în Fig. 191. Vedem aici cinci puncte A, B, C, D,?, În care tangenta la curbă este orizontală ; denotați valorile corespunzătoare ale f (x) în aceste puncte prin a, b, c, d, e. Cea mai mare valoare a lui f (x) (în aria arătată în desen) este atinsă în punctul D, cea mai mică - în punctul A. În punctul B există un maxim - în sensul că în toate punctele vreun cartier punctul B, valoarea f (x) este mai mică decât b, deși în puncte apropiate de D, valoarea f (x) este încă mai mare decât b. Din acest motiv, se obișnuiește să spunem că la punctul B există funcție relativă maximă f (x), în timp ce la punctul D - maxim absolut. În același mod, la punctul C, minim relativ, iar la punctul A - minimul absolut. În cele din urmă, în ceea ce privește punctul E, nu există nici maxim, nici minim în el, deși egalitatea f "(x) \u003d Q, Rezultă că dispariția derivatei f "(x) este necesardar nu suficient condiție pentru apariția unui extrem al unei funcții netede f (x); cu alte cuvinte, în orice moment în care există un extremum (absolut sau relativ), egalitatea f "(x) \u003d 0, dar nu în orice moment f "(x) \u003d 0, trebuie să existe un extremum. Se numesc acele puncte în care derivata f "(x) dispare, indiferent dacă au extremum staționar. O analiză suplimentară conduce la condiții mai mult sau mai puțin complicate referitoare la derivații superiori ai funcției f (x) și care caracterizează pe deplin maximele, minimele și alte puncte staționare.

Luați în considerare următoarea figură.

Arată graficul funcției y \u003d x ^ 3 - 3 * x ^ 2. Luați în considerare un interval care conține punctul x \u003d 0, de exemplu, de la -1 la 1. Un astfel de interval se mai numește vecinătatea punctului x \u003d 0. După cum puteți vedea în grafic, în acest cartier funcția y \u003d x ^ 3 - 3 * x ^ 2 ia exact cea mai mare valoare la punctul x \u003d 0.

Funcția maximă și minimă

În acest caz, punctul x \u003d 0 se numește punctul maxim al funcției. Prin analogie cu acesta, punctul x \u003d 2 se numește punctul minim al funcției y \u003d x ^ 3 - 3 * x ^ 2. Pentru că există un astfel de vecinătate a acestui punct, în care valoarea în acest moment va fi minimă între toate celelalte valori din acest vecinătate.

Punct maxim funcția f (x) se numește punct x0, cu condiția să existe o vecinătate a punctului x0 astfel încât pentru toate x care nu sunt egale cu x0 din acest vecinătate, inegalitatea f (x)< f(x0).

Punct minim funcției f (x) se numește punct x0, cu condiția să existe o vecinătate a punctului x0 astfel încât pentru toate x care nu sunt egale cu x0 din acest vecinătate, se menține inegalitatea f (x)\u003e f (x0).

În punctele de maxim și minim de funcții, valoarea derivatei funcției este egală cu zero. Dar aceasta nu este o condiție suficientă pentru existența unei funcții la un punct maxim sau minim.

De exemplu, funcția y \u003d x ^ 3 în punctul x \u003d 0 are o derivată zero. Dar punctul x \u003d 0 nu este punctul minim sau maxim al funcției. După cum știți, funcția y \u003d x ^ 3 crește de-a lungul întregii axe numerice.

Astfel, punctele minim și maxim vor fi întotdeauna printre rădăcina ecuației f '(x) \u003d 0. Dar nu toate rădăcinile acestei ecuații vor fi puncte de maxim sau minim.

Puncte staționare și critice

Punctele la care valoarea derivatei funcției este egală cu zero se numesc puncte staționare. Punctele de maxim sau minim pot exista, de asemenea, în puncte în care derivata funcției nu există deloc. De exemplu, y \u003d | x | la punctul x \u003d 0 are un minim, dar derivata în acest moment nu există. Acest punct va fi punctul critic al funcției.

Punctele critice ale unei funcții sunt punctele în care derivata este zero sau derivata nu există în acest moment, adică funcția în acest moment nu este diferențiată. Pentru a găsi maximul sau minimul unei funcții, trebuie îndeplinită o condiție suficientă.

Fie f (x) o funcție diferențiată pe intervalul (a; b). Punctul x0 aparține acestui interval și f '(x0) \u003d 0. Apoi:

1. Dacă, când treceți prin punctul staționar x0, funcția f (x) și derivatul său schimbă semnul, de la „plus” la „minus”, atunci punctul x0 este punctul maxim al funcției.

2. dacă, când treceți prin punctul staționar x0, funcția f (x) și semnul său derivativ modifică, de la „minus” la „plus”, atunci punctul x0 este punctul minim al funcției.

Punctele staționare ale funcției. O condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții

Prima condiție suficientă pentru un extremum local

A doua și a treia condiție suficientă pentru un extremum local

Cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment

Funcții convexe și puncte de inflexiune

1. Punctele staționare ale funcției. O condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții

Definiția 1 ... Să fie definită funcția pe
... Punct se numește punctul staționar al funcției
, dacă
diferențiat la punct și
.

Teorema 1 (condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții) ... Să funcția
definit la
și are la punctul respectiv
extremum local. Atunci una dintre condiții este îndeplinită:

Astfel, pentru a găsi puncte suspecte de extremum, este necesar să se găsească puncte staționare ale funcției și puncte la care derivata funcției nu există, dar care aparțin domeniului funcției.

Exemplu ... Lasa
... Găsiți puncte care suspectează un extremum. Pentru a rezolva problema, în primul rând, vom găsi domeniul definiției funcției:
... Să găsim acum derivata funcției:

Puncte în care derivata nu există:
... Punctele staționare ale funcției:

De când și
și
aparțin domeniului funcției, atunci ambii vor fi suspicioși cu privire la un extremum. Dar, pentru a concluziona dacă există într-adevăr un extremum, este necesar să se aplice condiții de extremum suficiente.

2. Prima condiție suficientă pentru un extremum local

Teorema 1 (prima condiție suficientă pentru un extremum local) ... Să funcția
definit la
și este diferențiat pe acest interval peste tot, cu excepția, eventual, a punctului
dar în acest moment funcţie
este continuu. Dacă există astfel de semicartiere dreapta și stângă ale punctului , în fiecare dintre care
păstrează un anumit semn, atunci

1) funcție
are un extrem local la punct , dacă
preia semnificațiile diferitelor semne în semicartierele corespunzătoare;

2) funcție
nu are extremum local la punct dacă la dreapta și la stânga punctului
are același semn.

Dovezi ... 1) Să presupunem că într-un semi-cartier
derivat
si in

.

Deci, la momentul respectiv funcţie
are un extremum local, și anume, un maxim local, după cum trebuia dovedit.

2) Să presupunem că în stânga și în dreapta punctului derivatul își păstrează semnul, de exemplu,
... Apoi
și
funcţie
crește strict monoton, adică:

Astfel, extremul la punctul funcţie
nu are, așa cum trebuia dovedit.

Observația 1 ... Dacă derivatul
la trecerea printr-un punct schimbă semnul din „+” în „-”, apoi la punct funcţie
are un maxim local, iar dacă semnul se schimbă de la "-" la "+", atunci un minim local.

Observația 2 ... O condiție importantă este continuitatea funcției
la punct ... Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci teorema 1 nu poate fi valabilă.

Exemplu ... Funcția este luată în considerare (Fig. 1):

Această funcție este definită pe și este continuu peste tot, cu excepția punctului
unde are un decalaj amovibil. Când treci printr-un punct

schimbă semnul de la "-" la "+", dar funcția nu are un minim local în acest moment, dar are un maxim local prin definiție. Într-adevăr, aproape de punct
se poate construi un cartier astfel încât pentru toate argumentele din acest cartier valorile funcției să fie mai mici decât valoarea
... Teorema 1 nu a funcționat deoarece la momentul respectiv
funcția avea un decalaj.

Observația 3 ... Prima condiție suficientă pentru un extremum local nu poate fi utilizată atunci când derivatul funcției
își schimbă semnul în fiecare semi-vecinătate stângă și dreaptă a punctului .

Exemplu ... Funcția este luată în considerare:

Pentru că
atunci
, prin urmare
dar
... În acest fel:

,

acestea. la punct
funcţie
are prin definiție un minim local. Să vedem dacă prima condiție suficientă pentru un extremum local va funcționa aici.

Pentru
:

Pentru primul termen din partea dreaptă a formulei rezultate, avem:

,

și, prin urmare, într-un mic cartier al punctului
semnul derivatului este determinat de semnul celui de-al doilea termen, adică:

,

și asta înseamnă că în orice cartier al punctului

va lua atât valori pozitive, cât și negative. Într-adevăr, luați în considerare o vecinătate arbitrară a acestui punct
:
... Cand

,

atunci

(Fig. 2) și își schimbă semnul aici infinit de multe ori. Astfel, prima condiție suficientă pentru un extremum local nu poate fi utilizată în exemplul dat.

Puncte critice Sunt punctele la care derivata funcției este zero sau nu există. Dacă derivata este 0 atunci funcția în acest moment ia minim local sau maxim... Pe grafic în astfel de puncte, funcția are o asimptotă orizontală, adică tangenta este paralelă cu axa Ox.

Astfel de puncte sunt numite staționar... Dacă vedeți o „cocoașă” sau „groapă” pe graficul unei funcții continue, amintiți-vă că maximul sau minimul este atins într-un punct critic. Luați în considerare, de exemplu, următoarea sarcină.

Exemplul 1. Găsiți punctele critice ale funcției y \u003d 2x ^ 3-3x ^ 2 + 5.
Decizie. Algoritmul pentru găsirea punctelor critice este următorul:

Deci funcția are două puncte critice.

Mai mult, dacă este necesar să studiem funcția, atunci determinăm semnul derivatei la stânga și la dreapta punctului critic. Dacă derivata schimbă semnul de la "-" la "+" când trece prin punctul critic, atunci funcția ia minim local... Dacă de la "+" la "-" ar trebui maxim local.

Al doilea tip de puncte critice acestea sunt zerourile numitorului funcțiilor fracționale și iraționale

Funcții cu logaritmi și funcții trigonometrice care nu sunt definite în aceste puncte


Al treilea tip de puncte critice au funcții și module continue în bucăți.
De exemplu, orice funcție de modul are un minim sau maxim la punctul de rupere.

De exemplu, modulul y \u003d | x -5 | la punctul x \u003d 5 are un minim (punct critic).
Derivata nu există în ea, iar în dreapta și în stânga ia valorile 1 și, respectiv, -1.

Încercați să identificați punctele critice ale funcțiilor

1)
2)
3)
4)
5)

Dacă în răspuns obții valoarea
1) x \u003d 4;
2) x \u003d -1; x \u003d 1;
3) x \u003d 9;
4) x \u003d Pi * k;
5) x \u003d 1.
atunci știi deja cum să găsești puncte critice și poate gestiona teste sau teste simple.

Domeniul funcției, calculați derivata sa, găsiți domeniul derivatei funcției, găsiți puncte că derivatul dispare, demonstrează că punctele găsite aparțin domeniului funcției originale.

Exemplul 1 Identificați criticul puncte funcțiile y \u003d (x - 3) ² · (x-2).

Soluție Găsiți domeniul funcției, în acest caz nu există restricții: x ∈ (-∞; + ∞); Calculați derivata y ’. Conform regulilor de diferențiere, produsul a două este: y '\u003d ((x - 3) ²)' (x - 2) + (x - 3) ² (x - 2) '\u003d 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3) ² · 1. Apoi se obține ecuația pătratică: y ’\u003d 3 · x² - 16 · x + 21.

Găsiți domeniul derivatei funcției: x ∈ (-∞; + ∞). Rezolvați ecuația 3 x² - 16 x + 21 \u003d 0 pentru a găsi pentru care dispare: 3 x² - 16 x + 21 \u003d 0.

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 \u003d (16 - 2) / 6 \u003d 7/3 Deci derivatul dispare pentru x 3 și 7/3.

Stabiliți dacă articolele găsite aparțin puncte domeniul funcției originale. Din moment ce x (-∞; + ∞), ambele puncte sunt critice.

Exemplul 2 Identificați criticul puncte funcțiile y \u003d x² - 2 / x.

Soluție Domeniul funcției: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞), deoarece x este în numitor. Calculați derivata y ’\u003d 2 · x + 2 / x².

Domeniul derivatei funcției este același cu cel al originalului: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞). Rezolvați ecuația 2x + 2 / x² \u003d 0: 2x \u003d -2 / x² → x \u003d -1.

Deci, derivata dispare la x \u003d -1. A fost îndeplinită o condiție de criticitate necesară, dar insuficientă. Deoarece x \u003d -1 se încadrează în intervalul (-∞; 0) ∪ (0; + ∞), atunci acest punct este critic.

Surse:

• Volumul critic al vânzărilor, buc

Multe femei suferă de sindrom premenstrual, care se manifestă nu numai prin senzații dureroase, ci și prin apetitul crescut. Drept urmare, zilele critice pot încetini semnificativ procesul de slăbire.

Motive pentru apetitul crescut în zilele critice

Motivul creșterii poftei de mâncare în zilele critice este o schimbare a fondului hormonal general în corpul feminin. Cu câteva zile înainte de apariția menstruației, nivelul hormonului progesteron crește, corpul se adaptează la posibil și încearcă să facă depozite suplimentare de energie sub formă de grăsime corporală, chiar dacă femeia stă. Astfel, schimbările de greutate în zilele critice sunt normale.

Cum să mănânci în timpul perioadei tale

Încercați să nu mâncați dulciuri, produse de patiserie și alte alimente bogate în calorii care conțin alimente „rapide” în aceste zile. Excesul se depune imediat în grăsimi. Multe femei din această perioadă își doresc cu adevărat să mănânce ciocolată, în acest caz, puteți cumpăra ciocolată neagră și vă puteți răsfăța cu câteva felii, dar nu mai mult. În timpul perioadei, nu trebuie să consumați băuturi alcoolice, marinate, murături, afumături, semințe și nuci. În general, murăturile și carnea afumată ar trebui să fie limitate în dietă cu 6-8 zile înainte de debutul menstruației, deoarece astfel de alimente cresc rezervele de apă ale organismului, iar această perioadă se caracterizează printr-o creștere a acumulării de lichide. Pentru a reduce cantitatea de sare din dieta dvs., adăugați cât mai puțină sare posibilă la mesele gata preparate.

Este recomandat să consumați produse lactate cu conținut scăzut de grăsimi, alimente vegetale, cereale. Fasolea, cartofii fierți, orezul - produsele care conțin carbohidrați „încet” vor fi utile. Fructele de mare, ficatul, peștele, carnea de vită, carnea de pasăre, ouăle, leguminoasele, fructele uscate vor ajuta la refacerea pierderilor de fier. Taratele de grau vor fi de ajutor. O reacție naturală în timpul menstruației este edemul. Ierburile diuretice ușoare vor ajuta la corectarea stării: busuioc, mărar, pătrunjel, țelină. Pot fi folosite ca condiment. În a doua jumătate a ciclului, se recomandă consumul de produse proteice (carne slabă și pește, produse lactate), iar cantitatea de carbohidrați din dietă trebuie redusă cât mai mult posibil.

Conceptul economic al volumului critic vânzări corespunde poziției întreprinderii pe piață, în care încasările din vânzarea de bunuri sunt minime. Această situație se numește un punct de rentabilitate, atunci când cererea de produse scade și profitul abia acoperă costul. Pentru a determina volumul critic vânzărifolosiți mai multe metode.

Instrucțiuni

Ciclul de lucru nu se limitează la activitățile sale - producție sau servicii. Aceasta este o muncă complexă a unei anumite structuri, inclusiv munca personalului principal, a personalului de conducere, a personalului de conducere etc., precum și a economiștilor, a căror sarcină este analiza financiară a întreprinderii.

Scopul acestei analize este de a calcula unele valori care, într-un grad sau altul, afectează mărimea profitului final. Acestea sunt diverse tipuri de volume de producție și vânzări, complete și medii, indicatori ai cererii etc. Sarcina principală este de a identifica un astfel de volum de producție la care se stabilește o relație stabilă între costuri și profituri.

Volumul minim vânzări, în care venitul acoperă integral costurile, dar nu mărește capitalul social al companiei, se numește volumul critic vânzări... Există trei metode pentru calcularea metodei acestui indicator: metoda ecuațiilor, venitul marginal și graficul.

Pentru a determina volumul critic vânzări conform primei metode, alcătuiește o ecuație de forma: Bn - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, unde: Bp este rezultatul din vânzăriși; Zper și Zpos - costuri variabile și fixe; Pp - profit din vânzăriși.

Conform unei alte metode, primul termen, venituri din vânzări, reprezintă sub forma produsului venitului marginal dintr-o unitate de mărfuri în volum vânzări, același lucru se aplică costurilor variabile. Costurile fixe se aplică întregului lot de bunuri, deci lăsați această componentă comună: MD N - Zper1 N - Zpos \u003d 0.

Exprimați valoarea lui N din această ecuație și obțineți volumul critic vânzări: N \u003d Zpos / (MD - Zper1), unde Zper1 - costuri variabile pe unitate de mărfuri.

Metoda grafică presupune construcția. Desenați două linii pe planul de coordonate: venitul din vânzări minus atât costurile, cât și funcția de profit. Se trasează volumul producției pe abscisă și veniturile din cantitatea corespunzătoare de bunuri, exprimată în unități monetare, pe ordonată. Punctul de intersecție al acestor linii corespunde volumului critic vânzări, poziția de echilibru.

Surse:

• modul de identificare a muncii critice

Gândirea critică este un set de judecăți, pe baza cărora se formează anumite concluzii și se face o evaluare a obiectelor criticii. Este deosebit de caracteristic cercetătorilor și oamenilor de știință din toate ramurile științei. Gândirea critică are un nivel mai înalt decât gândirea obișnuită.

Valoarea experienței în conturarea gândirii critice

Este dificil să analizezi și să tragi concluzii despre ceea ce nu înțelegi bine. Prin urmare, pentru a învăța să gândim critic, este necesar să studiem obiectele în toate conexiunile și relațiile posibile cu alte fenomene. Și, de asemenea, de mare importanță în acest caz este deținerea de informații despre astfel de obiecte, capacitatea de a construi lanțuri logice de judecăți și de a face concluzii în cunoștință de cauză.

De exemplu, se poate judeca valoarea unei opere de artă doar cunoscând multe alte fructe ale activității literare. În același timp, nu este rău să fii expert în istoria dezvoltării umane, formarea literaturii și critica literară. Separată de contextul istoric, o operă își poate pierde sensul. Pentru ca evaluarea unei opere de artă să fie suficient de completă și justificată, este necesar, de asemenea, să folosiți cunoștințele dvs. literare, care includ regulile pentru construirea unui text literar în anumite genuri, un sistem de diverse tehnici literare, clasificarea și analiza stilurilor și tendințelor existente în literatură etc. În același timp, este, de asemenea, important să se studieze logica internă a complotului, succesiunea acțiunilor, aranjamentul și interacțiunea personajelor operei de artă.

Caracteristici ale gândirii critice

Alte caracteristici ale gândirii critice includ următoarele:
- cunoașterea despre obiectul studiat este doar un punct de plecare pentru activitatea creierului ulterioară asociată cu construirea lanțurilor logice;
- construit în mod constant și bazat pe raționamentul de bun simț duce la identificarea informațiilor adevărate și eronate despre obiectul studiat;
- gândirea critică este întotdeauna asociată cu o evaluare a informațiilor disponibile despre un anumit obiect și concluziile corespunzătoare, în timp ce evaluarea, la rândul său, este asociată cu abilitățile existente.

Spre deosebire de gândirea obișnuită, criticul nu este supus credinței oarbe. Gândirea critică permite, cu ajutorul unui întreg sistem de judecăți despre obiectul criticii, să înțeleagă esența sa, să dezvăluie adevărate cunoștințe despre ea și să le infirme pe cele false. Se bazează pe logică, profunzime și completitudinea studiului, veridicitatea, adecvarea și coerența judecăților. În același timp, afirmațiile evidente și dovedite de mult sunt acceptate ca postulate și nu necesită dovezi și evaluări repetate.