Numărul total de rezultate la fel de probabile la alegerea biletelor pentru examen este de 25. Fie A evenimentul „studentul a primit un bilet pentru care nu este pregătit”. Numărul de astfel de rezultate este 25-(11+8) = 6, ceea ce înseamnă P(A) = 6/25 = 0,24.

De asemenea, luăm în considerare problemele în care este necesar să folosim formule combinatorii pentru a calcula numărul de rezultate favorabile sau toate.

Pe o bancă triplă arbitrară

doi bărbați și o femeie se așează. Care este probabilitatea ca bărbații să fie în apropiere?

Numărul tuturor rezultatelor posibile este numărul de permutări ale celor trei elemente, care este 3! \u003d 6. Fie A evenimentul „bărbații au fost în apropiere”, numărul de rezultate favorabile pentru acest eveniment este de patru (când ambii stau de aceeași parte - 2 opțiuni și, în mod similar, pentru cealaltă, există și două opțiuni). Astfel P(A) = 4/6 = 2/3.

Pe lângă definițiile statistice și clasice ale probabilității, există și probabilitatea geometrică. Luați în considerare următorul exemplu. Un pătrat negru este evidențiat pe tabelul pătrat. Cum se determină probabilitatea ca un jet să lovească pătratul negru dacă este aruncat pe masă la întâmplare.

Această probabilitate este egală cu raportul dintre suprafața pătratului negru și suprafața tabelului. Dacă, de exemplu, aria mesei este de 0,6 m ² , iar aria pătratului negru este de 0,04 m ² , apoi Р = 0,04/0,6 = 1/15.

Trăgătorul, fără a ținti, trage într-o țintă triunghiulară (Fig. 1) și lovește.

Care este probabilitatea ca el să intre în „trei”? "dubla"? "unitate"?

Să luăm aria unui triunghi ca fiind 1. Toate sunt egale, deci aria întregului triunghi mare = 16. Probabilitatea ca acesta să cadă în „3” este 1/16. probabilitatea de a lovi „2” ar fi 6/16 (aria totală a triunghiurilor cu „2” ar fi 6), iar probabilitatea de a lovi „1” ar fi 9/16.

§5 Metodologia de implementare a liniei stocastice în clasa a IX-a.

Sarcini principale:

Pe baza tuturor cunoștințelor dobândite anterior, arătați aplicarea acestora pentru cercetarea statistică

· Să se familiarizeze cu concepte precum populația generală, eșantionul reprezentativ, sondajul prin sondaj. serie de intervale.

· Introducerea unui nou tip de reprezentare grafică a rezultatelor unui studiu statistic - poligoane și histograme.

În clasa a 9-a se au în vedere studii statistice, folosind exemple apropiate de experiența de viață a elevilor. Acestea sunt „Studiul calității cunoștințelor elevilor”, „Este școala situată convenabil?” și „Unde să mergi la muncă?”.

Luați în considerare studiul calității cunoștințelor școlarilor, folosind exemplul studierii pregătirii matematice a școlarilor. Să presupunem că într-una dintre regiuni au decis să afle nivelul de cunoștințe ale elevilor de clasa a IX-a la matematică și au alcătuit un test de 6 sarcini. Este destul de dificil să se organizeze conducerea, verificarea și prelucrarea simultană a rezultatelor obținute în toate școlile din regiune. Dar, conform statisticilor, pentru a obține informații complet fiabile, este suficient să se efectueze o anchetă prin sondaj, adică. verificați doar unii dintre studenți.

Toți elevii de clasa a IX-a din regiune vor reprezenta populația generală, care va fi judecată de un eșantion reprezentativ (reprezentator). De obicei limitat la un sondaj de 5-10% din întreaga populație studiată, în timp ce se efectuează selecția aleatorie, asigurând aceeași probabilitate de a intra în eșantionul oricărui obiect al populației generale.

Luați în considerare posibilele rezultate ale unui astfel de sondaj eșantion pentru un anumit oraș din regiune. Să locuiască în oraș 710 elevi de clasa a IX-a, dintre care 50 au fost selectați aleatoriu. Numărul de probleme rezolvate corect a fost stabilit pentru fiecare nume de familie și a primit următorul rând:

4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.

Pe baza acestei serii, este dificil să se tragă concluzii certe, iar pentru a facilita analiza informațiilor, în astfel de cazuri datele numerice sunt ierarhizate, ordonându-le în ordine crescătoare. Ca urmare a clasamentului, seria va lua următoarea formă:

0;0;0; 1;1;1;1; 2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2; 3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;

4;4;4;4;4;4;4;4; 5;5;5; 6;6;6;6;6.

Vedem că seria este împărțită în 7 grupe. Fiecare grupă reprezintă un anumit rezultat al experimentului: nicio problemă nu este rezolvată, o problemă este rezolvată etc. Din această serie, putem calcula frecvența pentru fiecare rezultat al experimentului. De exemplu, frecvența de apariție a evenimentului „un elev de clasa a IX-a nu a rezolvat o singură problemă” este egală cu 3. Frecvența relativă este egală cu raportul dintre frecvența sa și dimensiunea eșantionului, adică. 3/50 sau 6%.

Pentru claritate, luați în considerare reprezentarea tabelară și grafică a rezultatelor.

Să construim o diagramă:

Pe lângă diagrame, așa-numitele poligoane sunt folosite pentru a prezenta grafic rezultatele. Pentru a le construi, în sistemul de coordonate sunt marcate puncte, ale căror abscise sunt rezultatele unui experiment aleatoriu, iar ordonatele sunt frecvențele corespunzătoare. Pentru cazul nostru, poligonul va arăta astfel:

Întrucât considerăm că eșantionul a fost reprezentativ, pe baza rezultatelor obținute, este posibil să se judece cu suficientă încredere nivelul de cunoștințe al tuturor elevilor de clasa a IX-a ai orașului.

De exemplu, în eșantion, 10% dintre școlari au rezolvat toate problemele. Deci, ne putem aștepta ca din 710 de studenți, aproximativ 10% să facă față tuturor celor șase sarcini. Asta înseamnă că aproximativ 70 de elevi de clasa a IX-a ai orașului au un nivel ridicat de pregătire la matematică.

Combinatorică studiază modalități de numărare a numărului de elemente din mulțimi finite. Formulele combinatorice sunt utilizate în calculul direct al probabilităților.
Se numesc seturi de elemente formate din aceleași elemente diferite și care diferă între ele numai în ordinea lor permutări aceste elemente. Numărul de permutări posibile de la n elementele sunt notate cu , iar acest număr este egal cu n! (citiți „en-factorial”):
\(P_n=n\) (1.3.1)
Unde
. (1.3.2)

Observație 1. Pentru un set gol se acceptă următoarea convenție: setul gol poate fi ordonat într-un singur mod; prin definitie presupune .

Plasări se numesc multimi alcatuite din n diverse elemente conform m elemente care diferă fie în alcătuirea elementelor, fie în ordinea acestora. Numărul tuturor plasărilor posibile este determinat de formulă
. (1.3.3)

Combinații din n diverse elemente conform m se numesc multimi care contin m elemente din mijloc n date şi care diferă cu cel puţin un element. Numărul de combinații de la n elemente prin m notează: sau. Acest număr este exprimat prin formula

. (1.3.4)

Observația 2. Prin definiție, presupunem .

Următoarele egalități sunt valabile pentru numărul de combinații:
, , (1.3.5)
. (1.3.6)

Ultima egalitate este uneori formulată ca următoarea teoremă pe multimi finite:
Numărul tuturor submulților din mulțimea formată din ele n elemente, egal cu .
Rețineți că numărul de permutări, plasări și combinații sunt legate de egalitate

Observaţia 3. S-a presupus mai presus că toate n elementele sunt diferite. Dacă unele elemente sunt repetate, atunci în acest caz seturile cu repetări sunt calculate folosind alte formule.

De exemplu, dacă printre n elementele sunt elemente de un tip, elemente de alt tip etc., apoi numărul de permutări cu repetări este determinat de formula
(1.3.7)
Unde .

Numărul de plasări după m elemente cu repetari din n elemente egale
, adică
cu repetare (1.3.8)
Numărul de combinații cu repetări de la n elemente prin m elemente este egal cu numărul de combinații fără repetări din n + m- 1 articole per m elemente, adică
cu rep. (1.3.9)

Atunci când rezolvă probleme, combinatoria folosește următoarele reguli.

Regula sumei. Dacă un obiect A poate fi ales dintr-un set de obiecte în m moduri, iar un alt obiect B poate fi ales în n moduri, atunci fie A sau B poate fi ales în m + n moduri.

regula produsului. Dacă obiectul A poate fi selectat dintr-un set de obiecte m modalități și după fiecare astfel de alegere, poate fi ales obiectul B n moduri, atunci o pereche de obiecte (A, B) în ordinea specificată poate fi aleasă în moduri.

Schema clasică de calcul al probabilității este potrivită pentru rezolvarea unui număr de probleme pur practice. Luați în considerare, de exemplu, un anumit set de elemente de volum N. Acestea pot fi produse, fiecare dintre ele bune sau defecte, sau semințe, fiecare dintre acestea putând fi sau nu viabile. Situațiile de acest fel sunt descrise printr-o schemă de urnă: într-o urnă sunt N bile, dintre care M sunt albastre și (N - M) sunt roșii.

Dintr-o urnă care conține N bile care conține M bile albastre, se extrag n bile. Este necesar să se determine probabilitatea ca m bile albastre să fie găsite într-un eșantion de mărimea n. Notați cu A evenimentul „în eșantionul de mărime n sunt m bile albastre”, atunci
(1.3.10)

Exemplul 1În câte moduri diferite pot fi selectate trei persoane pentru trei posturi diferite din zece candidați?

Decizie. Folosim formula (1.3.3). Pentru n = 10, m = 3 obținem
.

Exemplul 2În câte moduri diferite pot sta 5 persoane pe o bancă?

Decizie. Conform formulei (1.3.1) pentru n=5 găsim
P 5 =5!=1 2 3 4 5=120.

Exemplul 3În câte moduri pot fi selectate trei persoane pentru trei posturi identice din zece candidați?

Decizie.În conformitate cu formula (1.3.4), găsim

Exemplul 4 Câte numere diferite de șase cifre pot fi scrise folosind numerele 1; unu; unu; 2; 2; 2?

Decizie. Aici trebuie să găsiți numărul de permutări cu repetări, care este determinat de formula (1.3.7). Cu k \u003d 2, n 1 \u003d 3, n 2 \u003d 3, n \u003d 6, conform acestei formule, obținem

Exemplul 5 Câte permutări diferite de litere pot fi făcute în cuvintele: castel, rotor, topor, clopot?

Decizie.În cuvântul castel, toate literele sunt diferite, sunt cinci în total. Conform formulei (1.3.1), obținem P 5 = 5! = 1 2 3 4 5 = 120. În cuvânt rotor, format din cinci litere, litere pși o se repetă de două ori. Pentru a calcula diferitele permutări, folosim formula (1.3.7). Pentru n \u003d 5, n 1 \u003d 2, n 2 \u003d 2, folosind această formulă, găsim

În cuvântul ax o literă despre repetat de două ori, deci

În cuvântul clopot, care este format din șapte litere, litera la apare de două ori, lit despre- de trei ori, scrisoare l- de două ori. În conformitate cu formula (13.7) pentru n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n z = 2, obținem

Exemplul 6 Literele I, K, M, H, S sunt scrise pe cinci cărți identice. Cărțile sunt amestecate și așezate la întâmplare într-un rând. Care este probabilitatea de a obține cuvântul MINSK?

Decizie. Cinci elemente diferite pot fi folosite pentru a face permutări P5:
. Aceasta înseamnă că vor exista 120 de rezultate posibile în total și un singur rezultat favorabil pentru acest eveniment. Prin urmare,

Exemplul 7 Din literele cuvântului rotor, compilate folosind un alfabet divizat, 3 litere sunt extrase secvenţial la întâmplare şi adăugate într-un rând. Care este probabilitatea ca cuvântul torus?

Decizie. Pentru a distinge aceleași litere unele de altele, le vom furniza numere: p 1 , p 2 , 0 1 , 0 2. Numărul total de rezultate elementare este: . Cuvânt rotor se întâmplă în cazuri ( apoi 1 r 1 , apoi 1 r 2 , apoi 2 r 1 , apoi 2 r 2). Probabilitatea dorită este egală cu

La numărarea cazurilor favorabile am folosit aici regula produsului: litera m poate fi selectat într-un fel, litera despre- doi, scrisoare R- doua feluri.

Exemplul 8 Literele cuvântului sunt scrise pe șase cărți de aceeași dimensiune și formă. talent- o literă pe fiecare card. Cărțile sunt amestecate cu grijă. se scot la întâmplare şi se pun pe masă unul după altul. Care este probabilitatea de a primi cuvântul din nou talent?

Decizie. Să numerotăm cărțile cu litere:

Cuvântul talant (513246) nu se va schimba dacă literele A rearanjați, dar în funcție de aranjarea cărților, se va dovedi o combinație diferită: talent (523146). Dacă în fiecare dintre aceste două combinații procedăm la fel cu litera t, vom obține încă 2 combinații diferite de cărți cu cuvântul talent. Deci, apariția cuvântului talent 4 rezultate elementare favorizează. Numărul total de rezultate elementare la fel de posibile este egal cu numărul de permutări a 6 elemente: n = 6! = 720. Prin urmare, probabilitatea dorită

.

Observație Această probabilitate poate fi găsită și folosind formula (1.3.7), care pentru n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n z = 2, n 4 = 2 are în vedere:

. Astfel, P = 1/180.

Exemplul 9 Literele sunt scrise pe cinci cărți identice: pe două cărți l, pe celelalte trei și. Întindeți aceste cărți la întâmplare.
rând. Care este probabilitatea ca acest lucru să rezulte în cuvânt crinii?

Decizie. Să găsim numărul de permutări ale acestor cinci litere cu repetări.
Conform formulei (1.3.7) pentru n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3 obținem

Acesta este numărul total de rezultate la fel de posibile ale experienței, acest eveniment A - „apariția cuvântului crin” este favorizat de unul. În conformitate cu formula (1.2.1), obținem

Exemplul 10 Există 7 piese standard într-un lot de 10 părți. Găsiți probabilitatea
faptul că dintre cele 6 părți luate la întâmplare, 4 sunt standard.

Decizie. Numărul total de posibile Ix rezultate elementare ale testului este egal cu numărul de moduri în care 6 părți pot fi extrase din 10, adică numărul de combinații a 10 elemente a câte 6 elemente fiecare ().

Determinăm numărul de rezultate care favorizează evenimentul A - „dintre 6 părți luate, 4 sunt standard”. Patru părți standard din șapte părți standard pot fi luate în moduri, în timp ce restul de 6 - 4 = 2 părți trebuie să fie nestandard; puteți lua 2 piese non-standard din 10 - 7 = 3 piese non-standard în moduri. Prin urmare, numărul de rezultate favorabile este de .

Probabilitatea dorită este egală cu raportul dintre numărul de rezultate care favorizează evenimentul și numărul tuturor rezultatelor elementare:

Observație.Ultima formulă este un caz special al formulei (1.3.10): N= 10, M= 7, n=6, m=4.

Exemplul 11. Dintre cei 25 de elevi ai grupei, în care sunt 10 fete, se extrag 5 bilete. Găsiți probabilitatea ca printre posesorii de bilete să fie 2 fete.

Decizie. Numărul tuturor cazurilor la fel de posibile de distribuire a 5 bilete între 25 de studenți este egal cu numărul de combinații de 25 de elemente cu 5, adică . Numărul grupelor de 3 băieți din 15 care pot obține bilete este de . Fiecare astfel de triplă poate fi combinată cu orice pereche de zece fete, iar numărul de astfel de perechi este egal.De aceea, numărul de grupe de 5 elevi formate dintr-un grup de 25 de elevi, fiecare dintre ele va include trei băieți și două fete, este egal cu produsul. Acest produs este egal cu numărul cazurilor favorabile de distribuire a cinci bilete între elevii grupei astfel încât băieții să primească trei bilete, iar fetele două. În conformitate cu formula (1.2.1), găsim probabilitatea dorită

Observație.Ultima formulă este un caz special al formulei (1.3.10): N= 25, М= 15, n=5, m=3.

Exemplul 12. O cutie conține 15 bile roșii, 9 albastre și 6 verzi. Se extrag la întâmplare 6 bile. Care este probabilitatea ca 1 bile verzi, 2 albastre și 3 roșii să fie extrase (evenimentul A)?

Decizie. Sunt doar 30 de bile într-o cutie. Cu acest experiment, numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile va fi . Să calculăm numărul de rezultate elementare care favorizează evenimentul A. Trei bile roșii din 15 pot fi alese în moduri, două bile albastre din 9 pot fi alese în moduri, una verde din 6 -
Numărul de rezultate favorabile este egal cu produsul

Probabilitatea dorită este determinată de formula (1.3.10):

Exemplul 14 Zarurile se aruncă de 10 ori. Care este probabilitatea ca în acest caz fețele 1, 2, 3, 4, 5, 6 să cadă respectiv de 2, 3, 1, 1, 1, 2 ori (evenimentul A)?

Decizie. Numărul de rezultate favorabile pentru evenimentul A, îl calculăm conform formulei (1.3.7):
Prin urmare, numărul tuturor rezultatelor elementare din acest experiment este n = 6 10

Sarcini
1. Literele B, E, P, C, T sunt scrise pe 5 cărți identice. Aceste cărți sunt așezate la întâmplare într-un rând. Care este probabilitatea de a obține cuvântul BREST?
2. Într-o cutie sunt 4 bile albastre și 5 roșii. 2 bile sunt extrase la întâmplare din cutie. Găsiți probabilitatea ca aceste bile să fie de culori diferite.
3. În echipă sunt 4 femei și 3 bărbați. Dintre membrii brigăzii se trag la sorți 4 bilete la teatru. Care este probabilitatea ca printre posesorii de bilete să fie 2 femei și 2 bărbați?
4. Într-o cutie sunt 10 bile, dintre care 2 sunt albe, 3 roșii și 5 albastre.Se extrag 3 bile la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca toate cele 3 bile să aibă culori diferite.
5. Literele l, m, o, o, t sunt scrise pe cinci cărți identice.Care este probabilitatea ca prin scoaterea cărților pe rând, la întâmplare, să obținem cuvântul ciocan în ordinea eliberării lor?
6. Dintr-un lot care contine 10 produse, dintre care 3 sunt defecte, se scot aleatoriu 3 produse. Găsiți probabilitatea ca un element din eșantion să fie defect.
7. Din zece bilete, două sunt câștigătoare. Care este probabilitatea ca dintre cinci bilete extrase la întâmplare, unul să câștige?

Răspunsuri
1. 1/120. 2. 5/9. 3. 18/35. 4 . 0,25. 5 . 1/60. 6 . 21/40. 7 . 5/9.

Întrebări
1. Ce se numesc permutări?
2. Sub ce formă se calculează numărul de permutări a n elemente diferite?
3. Ce se numesc plasamente?
4. Ce formulă se utilizează pentru a calcula numărul de plasări din n elemente diferite de m elemente?
5. Ce se numesc combinatii?
6. Prin ce formulă se calculează numărul de combinații de n elemente cu m elemente?
7. Care este egalitatea numărului de permutări, plasări și combinații?
8. Ce formulă se utilizează pentru a calcula numărul de permutări a n elemente dacă unele elemente se repetă?
9. Ce formulă determină numărul de plasări a m elemente cu repetări a n elemente?
10. Ce formulă determină numărul de combinații cu repetări de n elemente cu m elemente?

1. Un pachet complet de cărți (52 de coli) este împărțit la întâmplare în 2 părți egale (26 de cărți fiecare). Aflați probabilitățile următoarelor evenimente: A - în fiecare parte vor fi 2 ași; B - într-una dintre părți nu va fi un singur as; C - într-una dintre părți va fi exact un as.

2. Se aleg la întâmplare 5 soldați dintr-un grup de 4 ofițeri și 12 soldați. Care este probabilitatea ca în grup să nu fie mai mult de doi ofițeri?

3. Găsiți probabilitatea ca un participant la loteria „Sportloto 6 din 45”, care a cumpărat un bilet, să ghicească corect: a) 2 numere, b) 6 numere.

4. Trei persoane sunt plasate aleatoriu în 8 vagoane de tren. Care este probabilitatea ca toți: a) să intre în aceeași mașină, b) să intre în mașina nr. 3, c) să fie cazați în mașini diferite?

5. Printre lotul de 50 de produse sunt 5 defecte. Pentru a controla acest lot, sunt selectate 5 produse. Dacă mai multe dintre ele sunt defecte, atunci întregul lot de produse este respins. Care este probabilitatea ca un lot de produse să fie respins?

6. Din 20 de angajați ai laboratorului, 5 persoane trebuie să plece într-o călătorie de afaceri. Care este probabilitatea ca printre angajații detașați să nu fie 3 directori de laborator (șeful, adjunctul acestuia și inginer-șef)?

7. 12 elevi sunt așezați aleatoriu în primele 12 locuri dintr-un rând de boxe. Care este probabilitatea ca elevii M și N să stea unul lângă altul?

8. Poșta comercializează 6 tipuri de cărți poștale. Cumpărătorul a achiziționat 4 cărți poștale. Aflați probabilitatea ca aceste cărți poștale să fie: a) de același fel; b) diverse tipuri.

9. Dintr-un grup format din 7 bărbați și 4 femei trebuie selectate 5 persoane. Care este probabilitatea ca printre aceste persoane selectate să fie cel puțin trei femei.

10. În cutie sunt 10 becuri, dintre care 3 sunt arse. Găsiți probabilitatea ca din 5 becuri luate la întâmplare din cutie, să se aprindă 2 becuri.

11. Într-un grup sunt 15 elevi. Dintre acestea, 12 sunt fete, restul sunt băieți. Se știe că doi elevi ar trebui chemați la consiliu. Care este probabilitatea ca printre ei să fie: a) o fată și un băiat; b) două fete?

12. La gară sunt 10 vagoane de diverse produse. Mașinile sunt marcate cu numere de la 1 la 10. Aflați probabilitatea ca printre cele 5 mașini selectate pentru deschiderea de control să fie mașini cu numerele 2 și 5?

13. La depozit au fost aduse 20 de cutii de componente pentru un tip de calculator, dar printre acestea se aflau 4 cutii de componente pentru un alt tip de calculator. Au fost luate la întâmplare 6 cutii. Care este probabilitatea ca între 6 cutii să fie: a) o cutie de piese incomplete; b) cel puțin o cutie de piese incomplete?

14. Din 20 de societati pe actiuni, 4 sunt in faliment. Un cetățean a cumpărat o acțiune din șase SA. Care este probabilitatea ca printre acțiunile achiziționate 2 să fie acțiuni în faliment?

15. În cutie sunt 5 creioane albastre, 4 roșii și 3 verzi. Se desenează la întâmplare 3 creioane. Care este probabilitatea ca: a) să fie toate de aceeași culoare, b) să fie toate culori diferite, c) să fie 2 creioane roșii și 1 verde printre ele.

16. La punctul de închiriere sunt 8 mașini noi și 10 second hand. Trei mașini au fost închiriate la întâmplare. Care este probabilitatea ca toate mașinile închiriate să fie: a) toate noi; b) 1 nou si 2 folosit?

17. Pe cartonaşe separate sunt scrise literele A, A, I, M, L, N. Aflaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare cartonaşe una după alta: a) să se obţină cuvântul „MINA”; b) "Zmeura"; c) „NALIM”.

18. În plic, printre 100 de fotografii, există una dorită. 10 cărți sunt extrase aleatoriu din plic. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie cea potrivită?

19. Magazinul are 10 televizoare, dintre care 4 defecte. Lotul este împărțit în mod arbitrar în 2 părți egale, care sunt trimise la doi consumatori. Care este probabilitatea ca produsele defecte să fie distribuite în mod egal la doi consumatori?

20. Într-un grup de 20 de elevi, 9 au performanțe slabe. Două persoane sunt alese aleatoriu din grup. Care este probabilitatea ca printre ei: a) doar un elev slab performant; b) cel puțin un elev cu performanțe slabe?

21. Există 7 tuburi radio, dintre care 3 sunt defecte, aparent nu sunt diferite de cele de întreținere. Două lămpi sunt alese la întâmplare. Care este probabilitatea ca: a) ambele lămpi să fie funcționale; b) unul lucrează; c) cel puțin unul este corect?

22. În flotă sunt 20 de autobuze de două mărci: 12, respectiv 8. Probabilitatea de a merge într-un tur al autobuzelor fiecărei mărci este aceeași. Care este probabilitatea ca după plecarea din tur 18 autobuze din flota să rămână autobuze: a) prima marcă; b) o singură marcă; c) diferite mărci?

23. Un autobuz cu 15 pasageri are de făcut 20 de opriri. Presupunând că toate modalitățile posibile de distribuire a pasagerilor în stații sunt la fel de probabile, găsiți probabilitatea ca doi pasageri să nu coboare la aceeași oprire.

24. În grup sunt 12 elevi, inclusiv 3 elevi excelenți. 9 elevi au fost selectați aleatoriu din listă. Aflați probabilitatea ca printre elevii selectați: a) 3 elevi excelenți; b) cel puţin 3 studenţi excelenţi.

25. Într-o cutie sunt 5 produse identice, iar 3 dintre ele sunt vopsite. 2 articole au fost luate la întâmplare. Aflați probabilitatea ca printre cele două articole scoase să fie: a) un articol pictat; b) două produse vopsite; c) cel puţin un produs vopsit.

26. 15 manuale sunt așezate aleatoriu pe raftul bibliotecii, 5 dintre ele sunt legate. Bibliotecarul ia la întâmplare 3 manuale. Aflați probabilitatea ca legarea să conțină: a) cel puțin unul dintre manualele luate; b) 2 manuale nu vor fi legate.

27. 5 persoane stau la întâmplare pe o bancă cu cinci locuri. Care este probabilitatea ca 3 anumite persoane să fie una lângă alta?

28. Mecanismul include două părți identice. Mecanismul nu va funcționa dacă ambele părți furnizate sunt subdimensionate. Asamblatorul are 10 piese, dintre care 3 sunt mai mici decât standardul. Determinați probabilitatea ca mecanismul să funcționeze normal dacă asamblatorul alege două părți la întâmplare.

29. Floraria vinde 8 sparanghel si 5 muscate. Care este probabilitatea ca dintre 5 plante vândute: a) 2 sparanghel; b) toate muşcatele?

30. 8 jucători de șah, inclusiv 3 mari maeștri, sunt împărțiți prin tragere la sorți în 2 echipe de 4 persoane. Care este probabilitatea ca: a) doi mari maeștri să intre într-o echipă și încă unul - în alta; vor fi toți cei 3 maeștri în aceeași echipă?

Sarcini pentru definirea clasică a probabilității.
Exemple de soluții

În a treia lecție, vom lua în considerare diverse probleme legate de aplicarea directă a definiției clasice a probabilității. Pentru a studia eficient materialele acestui articol, vă recomand să vă familiarizați cu conceptele de bază teoria probabilitățiiși bazele combinatoriei. Problema determinării clasice a probabilității cu o probabilitate care tinde spre unu va fi prezentă în munca dumneavoastră independentă / de control pe terver, așa că ne pregătim pentru o muncă serioasă. Ce e atât de grav, întrebi? ... doar o formulă primitivă. Avertizez împotriva frivolității - sarcinile tematice sunt destul de diverse și multe dintre ele pot confunda cu ușurință. În acest sens, pe lângă elaborarea lecției principale, încercați să studiați sarcini suplimentare pe subiect care se află în pușculiță soluții gata făcute la matematică superioară. Metodele de decizie sunt metode de decizie, dar „prietenii” încă „trebuie cunoscuți din vedere”, pentru că chiar și o imaginație bogată este limitată și există și suficiente sarcini tipice. Ei bine, voi încerca să fac numărul maxim de ele de bună calitate.

Să ne amintim de clasicii genului:

Probabilitatea ca un eveniment să apară într-un proces este egală cu raportul, unde:

este numărul total al tuturor la fel de posibil, elementar rezultatele acestui test, care formează grup complet de evenimente;

- Cantitate elementar rezultate care favorizează evenimentul.

Și imediat o oprire imediată. Înțelegi termenii subliniați? Înseamnă înțelegere clară, nu intuitivă. Dacă nu, atunci este mai bine să reveniți la primul articol pe teoria probabilitățiiși abia apoi mergi mai departe.

Vă rugăm să nu sări peste primele exemple - în ele voi repeta un punct fundamental important și, de asemenea, vă voi spune cum să formatați corect o soluție și în ce moduri se poate face:

Sarcina 1

O urnă conține 15 bile albe, 5 roșii și 10 negre. Se extrage la întâmplare 1 minge, aflați probabilitatea ca aceasta să fie: a) albă, b) roșie, c) neagră.

Decizie: cea mai importantă condiție prealabilă pentru utilizarea definiției clasice a probabilității este capacitatea de a calcula numărul total de rezultate.

Există 15 + 5 + 10 = 30 de bile în urnă și, evident, următoarele fapte sunt adevărate:

– extragerea oricărei mingi este la fel de posibilă (oportunitate egala rezultate), în timp ce rezultatele elementar și formă grup complet de evenimente (adică, ca rezultat al testului, una dintre cele 30 de bile va fi cu siguranță îndepărtată).

Astfel, numărul total de rezultate:

Luați în considerare următorul eveniment: – din urnă va fi extrasă o minge albă. Acest eveniment este favorizat elementar rezultate, deci după definiția clasică:
este probabilitatea ca o bila alba sa fie extrasa din urna.

Destul de ciudat, chiar și într-o problemă atât de simplă, se poate face o gravă inexactitate, pe care m-am concentrat deja în primul articol despre teoria probabilității. Unde este capcana aici? Este incorect să argumentăm aici că „Deoarece jumătate dintre bile sunt albe, atunci probabilitatea de a extrage o minge albă» . Definiția clasică a probabilității este ELEMENTAR rezultate, iar fracția trebuie scrisă!

Cu alte puncte în mod similar, luați în considerare următoarele evenimente:

- se va extrage o bila rosie din urna;
- Din urnă va fi extrasă o bilă neagră.

Evenimentul este favorizat de 5 rezultate elementare, iar evenimentul este favorizat de 10 rezultate elementare. Deci probabilitățile corespunzătoare sunt:

O verificare tipică a multor probleme terver se face folosind teoreme privind suma probabilităților evenimentelor care formează un grup complet. În cazul nostru, evenimentele formează un grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților corespunzătoare trebuie să fie neapărat egală cu unu: .

Să verificăm dacă este așa: , de care am vrut să mă asigur.

Răspuns:

În principiu, răspunsul poate fi scris mai detaliat, dar personal sunt obișnuit să pun acolo doar numere - din motivul că atunci când începi să „timbrați” sarcini în sute și mii, vă străduiți să minimizați introducerea soluției. Apropo, despre concizie: în practică, o opțiune de design „de mare viteză” este comună. solutii:

Total: 15 + 5 + 10 = 30 de bile în urnă. Conform definiției clasice:
este probabilitatea ca o bila alba sa fie extrasa din urna;
este probabilitatea ca o bila rosie sa fie extrasa din urna;
este probabilitatea ca o bila neagra sa fie extrasa din urna.

Răspuns:

Cu toate acestea, dacă există mai multe puncte în stare, atunci soluția este adesea mai convenabilă de a întocmi în primul mod, ceea ce durează puțin mai mult timp, dar apoi „pune totul pe rafturi” și facilitează navigarea prin sarcină.

Încălzire:

Sarcina 2

Magazinul a primit 30 de frigidere, dintre care cinci au un defect de fabrica. Un frigider este selectat aleatoriu. Care este probabilitatea ca acesta să fie fără defecte?

Alegeți opțiunea de design care vi se potrivește și verificați șablonul din partea de jos a paginii.

În cele mai simple exemple, numărul de rezultate comune și numărul de rezultate favorabile se află la suprafață, dar în cele mai multe cazuri trebuie să dezgropați singur cartofii. Seria canonică de probleme despre abonatul uituc:

Sarcina 3

La formarea unui număr de telefon, abonatul a uitat ultimele două cifre, dar își amintește că una dintre ele este zero, iar cealaltă este impară. Găsiți probabilitatea ca el să formeze numărul corect.

Notă : zero este un număr par (divizibil cu 2 fără rest)

Decizie: mai întâi găsiți numărul total de rezultate. Prin condiție, abonatul își amintește că una dintre cifre este zero, iar cealaltă cifră este impară. Aici este mai rațional să nu fii mai înțelept cu combinatoria și utilizarea enumerarea directă a rezultatelor . Adică, atunci când luăm o decizie, pur și simplu notăm toate combinațiile:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Și le numărăm - în total: 10 rezultate.

Există un singur rezultat favorabil: numărul potrivit.

Conform definiției clasice:
este probabilitatea ca abonatul să formeze numărul corect

Răspuns: 0,1

Fracțiile zecimale în teoria probabilității par destul de potrivite, dar puteți urma și stilul tradițional Vyshmatov, operând numai cu fracții obișnuite.

Sarcină avansată pentru soluție independentă:

Sarcina 4

Abonatul a uitat codul PIN al cartelei SIM, dar își amintește că acesta conține trei „cinci”, iar unul dintre numere este fie „șapte”, fie „opt”. Care este probabilitatea de autorizare cu succes la prima încercare?

Aici puteți dezvolta în continuare ideea probabilității ca abonatul să aștepte o pedeapsă sub forma unui cod puk, dar, din păcate, raționamentul va depăși deja scopul acestei lecții.

Soluție și răspuns mai jos.

Uneori, enumerarea combinațiilor se dovedește a fi o sarcină foarte minuțioasă. În special, acesta este cazul în următorul grup de probleme, nu mai puțin popular, în care sunt aruncate 2 zaruri (mai rar - mai mult):

Sarcina 5

Aflați probabilitatea ca atunci când sunt aruncate două zaruri, totalul să fie:

a) cinci puncte
b) nu mai mult de patru puncte;
c) de la 3 la 9 puncte inclusiv.

Decizie: găsiți numărul total de rezultate:

Modalități pot scăpa fața primului zar și fața celui de-al 2-lea zar poate cădea în anumite moduri; pe regula înmulțirii combinațiilor, Total: combinatii posibile. Cu alte cuvinte, fiecare fața primului cub poate fi ordonat cuplu cu fiecare fata celui de-al 2-lea cub. Suntem de acord să scriem o astfel de pereche în forma , unde este numărul care a căzut pe primul zar, este numărul care a căzut pe al 2-lea zar. De exemplu:

- 3 puncte la primul zar, 5 puncte la al doilea, total puncte: 3 + 5 = 8;
- pe primul zar au căzut 6 puncte, pe al doilea - 1 punct, suma punctelor: 6 + 1 = 7;
- ambele zaruri au aruncat 2 puncte, suma: 2 + 2 = 4.

Evident, cea mai mică cantitate este dată de o pereche, iar cea mai mare de două „șase”.

a) Luați în considerare evenimentul: - când aruncați două zaruri, vor cădea 5 puncte. Să notăm și să numărăm numărul de rezultate care favorizează acest eveniment:

Total: 4 rezultate favorabile. Conform definiției clasice:
este probabilitatea dorită.

b) Luați în considerare evenimentul: - nu vor cădea mai mult de 4 puncte. Adică fie 2, fie 3, fie 4 puncte. Din nou, enumerăm și numărăm combinațiile favorabile, în stânga voi nota numărul total de puncte, iar după două puncte - perechi potrivite:

Total: 6 combinatii favorabile. Prin urmare:
- probabilitatea ca nu mai mult de 4 puncte să cadă.

c) Să luăm în considerare evenimentul: - de la 3 la 9 puncte vor cădea inclusiv. Aici poți merge pe un drum drept, dar... ceva nu se simte așa. Da, unele perechi sunt deja enumerate în paragrafele anterioare, dar mai este mult de lucru.

Care este cel mai bun mod de a o face? În astfel de cazuri, un ocol se dovedește a fi rațional. Considera eveniment opus: - 2 sau 10 sau 11 sau 12 puncte vor cădea.

Care-i rostul? Evenimentul opus este favorizat de un număr mult mai mic de perechi:

Total: 7 rezultate favorabile.

Conform definiției clasice:
- probabilitatea ca mai puțin de trei sau mai mult de 9 puncte să cadă.

Pe lângă enumerarea directă și calcularea rezultatelor, diverse formule combinatorii. Și din nou sarcina epică despre lift:

Sarcina 7

3 persoane au intrat în liftul unui bloc de 20 de etaje de la primul etaj. Și să mergem. Găsiți probabilitatea ca:

a) vor ieși pe etaje diferite
b) doi vor ieși la același etaj;
c) toți vor ieși la același etaj.

Lecția noastră fascinantă a luat sfârșit și, în sfârșit, încă o dată, recomand cu tărie, dacă nu să rezolvăm, atunci măcar să înțelegem sarcini suplimentare privind definiția clasică a probabilității. După cum am observat, „îndestul mâinii” contează și el!

Mai jos pe curs - Definiția geometrică a probabilitățiiși Teoreme ale adunării și înmulțirii probabilitățilorși... noroc în principal!

Soluții și răspunsuri:

Sarcina 2: Decizie: 30 - 5 = 25 frigidere nu au nici un defect.

este probabilitatea ca un frigider selectat aleatoriu să nu aibă un defect.
Răspuns :

Sarcina 4: Decizie: găsiți numărul total de rezultate:
moduri în care puteți alege locul în care se află figura dubioasă iar pe fiecare dintre aceste 4 locuri pot fi localizate 2 cifre (șapte sau opt). Conform regulii înmulțirii combinațiilor, numărul total de rezultate: .
Alternativ, în soluție, puteți enumera pur și simplu toate rezultatele (din fericire, nu sunt multe dintre ele):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Există un singur rezultat favorabil (codul PIN corect).
Astfel, după definiția clasică:
- probabilitatea ca abonatul să fie autorizat la prima încercare
Răspuns :

Sarcina 6: Decizie: găsiți numărul total de rezultate:
moduri pot arunca numere pe 2 zaruri.

a) Luați în considerare evenimentul: - la aruncarea a două zaruri, produsul punctelor va fi egal cu șapte. Pentru acest eveniment, nu există rezultate favorabile, conform definiției clasice a probabilității:
, adică acest eveniment este imposibil.

b) Să luăm în considerare evenimentul: - la aruncarea a două zaruri, produsul punctelor va fi de cel puțin 20. Acest eveniment este favorizat de următoarele rezultate:

Total: 8
Conform definiției clasice:
este probabilitatea dorită.

c) Luați în considerare evenimente opuse:
– produsul punctelor va fi par;
– produsul punctelor va fi impar.
Să enumerăm toate rezultatele care favorizează evenimentul:

Total: 9 rezultate favorabile.
Conform definiției clasice a probabilității:
Evenimentele opuse formează un grup complet, deci:
este probabilitatea dorită.

Răspuns :

Sarcina 8: Decizie: calculați numărul total de rezultate: 10 monede pot cădea în anumite moduri.
Alt mod: prima monedă poate cădea în anumite moduri și A doua monedă poate cădea în anumite moduri și … și moduri în care moneda a zecea poate cădea. Conform regulii înmulțirii combinațiilor, pot cădea 10 monede moduri.
a) Luați în considerare evenimentul: - toate monedele vor cădea capete. Acest eveniment este favorizat de un singur rezultat, conform definiției clasice a probabilității: .
b) Luați în considerare evenimentul: - 9 monede vor veni cu cap, iar una va veni cozi.
Există monede care pot ateriza cozi. Conform definiției clasice a probabilității: .
c) Să luăm în considerare următorul eveniment: - capete vor cădea pe jumătate din monede.
Exista combinații unice de cinci monede care pot ateriza capete. Conform definiției clasice a probabilității:
Răspuns :