Erorile absolute și relative sunt utilizate pentru a evalua inexactitatea în calcule extrem de complexe. Ele sunt, de asemenea, utilizate în diferite măsurători și pentru rotunjirea rezultatelor calculelor. Să ne uităm la cum să determinăm eroarea absolută și relativă.

Eroare absolută

Eroare absolută a numărului numiți diferența dintre acest număr și valoarea lui exactă.
Să ne uităm la un exemplu : În școală sunt 374 de elevi. Dacă rotunjim acest număr la 400, atunci eroarea absolută de măsurare este 400-374=26.

Pentru a calcula eroarea absolută, trebuie să scădeți numărul mai mic din numărul mai mare.

Există o formulă pentru eroarea absolută. Să notăm numărul exact cu litera A, iar litera a - aproximarea la numărul exact. Un număr aproximativ este un număr care diferă ușor de cel exact și îl înlocuiește de obicei în calcule. Apoi formula va arăta astfel:

Δa=A-a. Am discutat mai sus cum să găsim eroarea absolută folosind formula.

În practică, eroarea absolută nu este suficientă pentru a evalua cu precizie o măsurătoare. Rareori este posibil să se cunoască valoarea exactă a mărimii măsurate pentru a calcula eroarea absolută. Măsurând o carte de 20 cm lungime și permițând o eroare de 1 cm, se poate considera măsurarea ca fiind cu o eroare mare. Dar dacă s-a făcut o eroare de 1 cm la măsurarea unui perete de 20 de metri, această măsurătoare poate fi considerată cât se poate de precisă. Prin urmare, în practică, determinarea erorii relative de măsurare este mai importantă.

Înregistrați eroarea absolută a numărului folosind semnul ±. De exemplu , lungimea unei role de tapet este de 30 m ± 3 cm Limita de eroare absolută se numește eroare absolută maximă.

Eroare relativă

Eroare relativă Ei numesc raportul dintre eroarea absolută a unui număr și numărul însuși. Pentru a calcula eroarea relativă din exemplul cu studenți, împărțim 26 la 374. Obținem numărul 0,0695, îl transformăm în procent și obținem 6%. Eroarea relativă se notează procentual deoarece este o mărime adimensională. Eroarea relativă este o estimare precisă a erorii de măsurare. Dacă luăm o eroare absolută de 1 cm la măsurarea lungimii segmentelor de 10 cm și 10 m, atunci erorile relative vor fi egale cu 10%, respectiv 0,1%. Pentru un segment de 10 cm lungime, o eroare de 1 cm este foarte mare, aceasta este o eroare de 10%. Dar pentru un segment de zece metri, 1 cm nu contează, doar 0,1%.

Există erori sistematice și aleatorii. Sistematică este eroarea care rămâne neschimbată în timpul măsurătorilor repetate. Eroarea aleatorie apare ca urmare a influenței factorilor externi asupra procesului de măsurare și poate modifica valoarea acesteia.

Reguli pentru calcularea erorilor

Există mai multe reguli pentru estimarea nominală a erorilor:

• la adunarea și scăderea numerelor, este necesar să se adună erorile absolute ale acestora;
• la împărțirea și înmulțirea numerelor, este necesar să adăugați erori relative;
• Când este ridicată la o putere, eroarea relativă este înmulțită cu exponent.

Numerele aproximative și exacte sunt scrise folosind fracții zecimale. Se ia doar valoarea medie, deoarece valoarea exactă poate fi infinit de lungă. Pentru a înțelege cum să scrieți aceste numere, trebuie să aflați despre numerele adevărate și dubioase.

Numerele adevărate sunt acele numere al căror rang depășește eroarea absolută a numărului. Dacă cifra unei cifre este mai mică decât eroarea absolută, se numește îndoielnică. De exemplu , pentru fracția 3,6714 cu o eroare de 0,002, numerele corecte vor fi 3,6,7, iar cele îndoielnice vor fi 1 și 4. În înregistrarea numărului aproximativ au rămas doar numerele corecte. Fracția în acest caz va arăta astfel - 3,67.

Ce am învățat?

Erorile absolute și relative sunt utilizate pentru a evalua acuratețea măsurătorilor. Eroarea absolută este diferența dintre un număr exact și unul aproximativ. Eroarea relativă este raportul dintre eroarea absolută a unui număr și numărul însuși. În practică, eroarea relativă este utilizată deoarece este mai precisă.

Erori sistematice. Erorile sistematice modifică în mod natural valorile mărimii măsurate. Erorile introduse în măsurători de către instrumente sunt cel mai ușor de evaluat dacă sunt asociate cu caracteristicile de proiectare ale instrumentelor în sine. Aceste erori sunt indicate în pașapoartele dispozitivelor. Erorile unor dispozitive pot fi evaluate fără a se face referire la fișa tehnică. Pentru multe instrumente de măsură electrice, clasa de precizie este indicată direct pe scară.

Clasa de precizie a instrumentului- acesta este raportul dintre eroarea absolută a dispozitivului și valoarea maximă a mărimii măsurate, care poate fi determinată folosind acest dispozitiv (aceasta este eroarea relativă sistematică a acestui dispozitiv, exprimată ca procent din evaluarea scalei).

Atunci eroarea absolută a unui astfel de dispozitiv este determinată de relația:

.

Pentru instrumentele electrice de măsură au fost introduse 8 clase de precizie: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Cu cât valoarea măsurată este mai aproape de valoarea nominală, cu atât rezultatul măsurării va fi mai precis. Precizia maximă (adică cea mai mică eroare relativă) pe care o poate oferi un anumit dispozitiv este egală cu clasa de precizie. Această circumstanță trebuie luată în considerare atunci când se utilizează instrumente multiscale. Scara trebuie selectată în așa fel încât valoarea măsurată, rămânând în interiorul scalei, să fie cât mai aproape de valoarea nominală.

Dacă nu este specificată clasa de precizie pentru dispozitiv, atunci trebuie respectate următoarele reguli:

· Eroarea absolută a instrumentelor cu vernier este egală cu precizia vernierului.

· Eroarea absolută a instrumentelor cu pas fix săgeată este egală cu valoarea diviziunii.

· Eroarea absolută a dispozitivelor digitale este egală cu o cifră minimă.

· Pentru toate celelalte instrumente, eroarea absolută se presupune a fi egală cu jumătate din valoarea diviziunii.

Erori aleatorii. Aceste erori sunt de natură statistică și sunt descrise de teoria probabilității. S-a stabilit că, cu un număr foarte mare de măsurători, probabilitatea de a obține unul sau altul rezultat în fiecare măsurătoare individuală poate fi determinată folosind distribuția normală Gaussiană. Cu un număr mic de măsurători, descrierea matematică a probabilității de a obține unul sau altul rezultat al măsurătorilor se numește distribuția Student (puteți citi mai multe despre aceasta în manualul lui I.L. Skvortsova „Erori de măsurare în mărimi fizice”).

Cum se evaluează adevărata valoare a mărimii măsurate?

Să presupunem că la măsurarea unei anumite valori am primit N rezultate: . Media aritmetică a unei serii de măsurători este mai aproape de valoarea adevărată a mărimii măsurate decât majoritatea măsurătorilor individuale. Pentru a obține rezultatul măsurării unei anumite valori, se folosește următorul algoritm.

1). Calculat in medie serie de N măsurători directe:

2). Calculat eroare aleatorie absolută a fiecărei măsurători este diferența dintre media aritmetică a unei serii de N măsurători directe și această măsurătoare:

.

3). Calculat eroare pătrată medie absolută:

.

4). Calculat eroare aleatorie absolută. Cu un număr mic de măsurători, eroarea aleatorie absolută poate fi calculată prin eroarea pătratică medie și un anumit coeficient numit coeficient Student:

,

Coeficientul Student depinde de numărul de măsurători N și de coeficientul de fiabilitate (Tabelul 1 arată dependența coeficientului Student de numărul de măsurători la o valoare fixă ​​a coeficientului de fiabilitate).

Factorul de fiabilitate este probabilitatea cu care valoarea adevărată a valorii măsurate se încadrează în intervalul de încredere.

Interval de încredere este un interval numeric în care valoarea adevărată a mărimii măsurate se încadrează cu o anumită probabilitate.

Astfel, coeficientul Student este numărul cu care trebuie înmulțită eroarea pătratică medie pentru a asigura fiabilitatea specificată a rezultatului pentru un număr dat de măsurători.

Cu cât este mai mare fiabilitatea necesară pentru un anumit număr de măsurători, cu atât este mai mare coeficientul Student. Pe de altă parte, cu cât numărul de măsurători este mai mare, cu atât coeficientul Student este mai mic pentru o anumită fiabilitate. În munca de laborator a atelierului nostru, vom presupune că fiabilitatea este dată și egală cu 0,9. Valorile numerice ale coeficienților lui Student pentru această fiabilitate pentru diferite numere de măsurători sunt date în Tabelul 1.

tabelul 1

5).Calculat eroare absolută totală.În orice măsurătoare, există atât erori aleatoare, cât și erori sistematice. Calcularea erorii de măsurare absolută totală (totală) nu este o sarcină ușoară, deoarece aceste erori sunt de natură diferită.

Pentru măsurătorile de inginerie, este logic să însumăm erorile absolute sistematice și aleatorii

.

Pentru simplitatea calculelor, se obișnuiește să se estimeze eroarea absolută totală ca sumă a erorilor absolute aleatoare și absolute sistematice (instrumentale), dacă erorile sunt de același ordin de mărime și să se neglijeze una dintre erori dacă este mai mult de un ordin de mărime (de 10 ori) mai mic decât celălalt.

6). Eroarea și rezultatul sunt rotunjite. Deoarece rezultatul măsurării este prezentat ca un interval de valori, a cărui valoare este determinată de eroarea absolută totală, este importantă rotunjirea corectă a rezultatului și a erorii.

Rotunjirea începe cu eroare absolută!!! Numărul de cifre semnificative rămase în valoarea erorii, în general, depinde de coeficientul de fiabilitate și de numărul de măsurători. Cu toate acestea, chiar și pentru măsurători foarte precise (de exemplu, astronomice), în care valoarea exactă a erorii este importantă, nu lăsați mai mult de două cifre semnificative. Un număr mai mare de numere nu are sens, deoarece definiția erorii în sine are propria sa eroare. Practica noastră are un coeficient de fiabilitate relativ mic și un număr mic de măsurători. Prin urmare, la rotunjire (cu exces), eroarea absolută totală este lăsată la o cifră semnificativă.

Cifra cifrei semnificative a erorii absolute determină cifra primei cifre îndoielnice din valoarea rezultatului. În consecință, valoarea rezultatului în sine trebuie rotunjită (cu corecție) la acea cifră semnificativă a cărei cifră coincide cu cifra cifrei semnificative a erorii. Regula formulată ar trebui aplicată și în cazurile în care unele numere sunt zero.

Dacă rezultatul obținut la măsurarea greutății corporale este , atunci este necesar să scrieți zerouri la sfârșitul numărului 0,900. Înregistrarea ar însemna că nu se știe nimic despre următoarele cifre semnificative, în timp ce măsurătorile au arătat că acestea au fost zero.

7). Calculat eroare relativă .

La rotunjirea erorii relative, este suficient să lăsați două cifre semnificative.

rezultatul unei serii de măsurători a unei anumite mărimi fizice este prezentat sub forma unui interval de valori, indicând probabilitatea ca valoarea adevărată să cadă în acest interval, adică rezultatul trebuie scris sub forma:

Aici este eroarea absolută totală, rotunjită la prima cifră semnificativă, și este valoarea medie a valorii măsurate, rotunjită ținând cont de eroarea deja rotunjită. Când înregistrați un rezultat de măsurare, trebuie să indicați unitatea de măsură a valorii.

Să ne uităm la câteva exemple:

1. Să presupunem că la măsurarea lungimii unui segment am obținut următorul rezultat: cm și cm.Cum se notează corect rezultatul măsurării lungimii unui segment? În primul rând, rotunjim eroarea absolută cu exces, lăsând o cifră semnificativă, vezi Cifra semnificativă a erorii pe locul sutimilor. Apoi rotunjim valoarea medie corectată la cea mai apropiată sutime, adică. la cifra semnificativă a cărei cifră coincide cu cifra cifrei semnificative a erorii vezi Calcularea erorii relative

Erori în măsurătorile mărimilor fizice

1. Introducere (măsurare și eroare de măsurare)

2.Erori aleatoare și sistematice

3.Erori absolute și relative

4. Erori la instrumentele de măsură

5. Clasa de precizie a instrumentelor electrice de măsură

6.Eroare de citire

7.Eroarea absolută totală a măsurătorilor directe

8.Înregistrarea rezultatului final al măsurării directe

9. Erori de măsurători indirecte

10.Exemplu

1. Introducere (măsurare și eroare de măsurare)

Fizica ca știință s-a născut acum mai bine de 300 de ani, când Galileo a creat în esență studiul științific al fenomenelor fizice: legile fizice sunt stabilite și testate experimental prin acumularea și compararea datelor experimentale, reprezentate printr-un set de numere, legile sunt formulate în limbaj. de matematică, adică folosind formule care conectează valorile numerice ale mărimilor fizice prin dependență funcțională. Prin urmare, fizica este o știință experimentală, fizica este o știință cantitativă.

Să ne familiarizăm cu câteva trăsături caracteristice ale oricăror măsurători.

Măsurarea înseamnă găsirea experimentală a valorii numerice a unei mărimi fizice folosind instrumente de măsură (riglă, voltmetru, ceas etc.).

Măsurătorile pot fi directe sau indirecte.

Măsurarea directă este găsirea valorii numerice a unei mărimi fizice direct prin intermediul măsurării. De exemplu, lungimea - cu o riglă, presiunea atmosferică - cu un barometru.

Măsurarea indirectă este găsirea valorii numerice a unei mărimi fizice folosind o formulă care conectează mărimea dorită cu alte mărimi determinate de măsurători directe. De exemplu, rezistența unui conductor este determinată de formula R=U/I, unde U și I sunt măsurate cu instrumente electrice de măsură.

Să ne uităm la un exemplu de măsurare.

Măsurați lungimea barei cu o riglă (valoarea diviziunii este de 1 mm). Putem spune doar că lungimea barei este între 22 și 23 mm. Lățimea intervalului „necunoscut” este de 1 mm, adică egală cu prețul de divizare. Înlocuirea riglei cu un dispozitiv mai sensibil, cum ar fi un șubler, va reduce acest interval, ceea ce va duce la o precizie crescută de măsurare. În exemplul nostru, precizia măsurării nu depășește 1 mm.

Prin urmare, măsurătorile nu pot fi niciodată făcute absolut exacte. Rezultatul oricărei măsurători este aproximativ. Incertitudinea în măsurare este caracterizată de eroare - abaterea valorii măsurate a unei mărimi fizice de la valoarea ei adevărată.

Să enumerăm câteva dintre motivele care duc la erori.

1. Precizie limitată de fabricație a instrumentelor de măsurare.

2. Influența asupra măsurării condițiilor externe (modificări de temperatură, fluctuații de tensiune...).

3. Acțiuni ale experimentatorului (întârziere la pornirea cronometrului, diferite poziții ale ochilor...).

4. Natura aproximativă a legilor utilizate pentru găsirea mărimilor măsurate.

Cauzele de erori enumerate nu pot fi eliminate, deși pot fi minimizate. Pentru a stabili fiabilitatea concluziilor obținute în urma cercetărilor științifice, există metode de evaluare a acestor erori.

2. Erori aleatoare și sistematice

Erorile care apar în timpul măsurătorilor sunt împărțite în sistematice și aleatorii.

Erorile sistematice sunt erori corespunzătoare abaterii valorii măsurate de la valoarea adevărată a unei mărimi fizice, întotdeauna într-o singură direcție (creștere sau scădere). Cu măsurători repetate, eroarea rămâne aceeași.

Motive pentru erori sistematice:

1) nerespectarea instrumentelor de măsură cu standardul;

2) instalarea incorectă a instrumentelor de măsură (înclinare, dezechilibru);

3) discrepanța între indicatorii inițiali ai instrumentelor și zero și ignorarea corecțiilor care apar în legătură cu aceasta;

4) discrepanța dintre obiectul măsurat și ipoteza despre proprietățile acestuia (prezența golurilor etc.).

Erorile aleatorii sunt erori care își modifică valoarea numerică într-un mod imprevizibil. Astfel de erori sunt cauzate de un număr mare de motive incontrolabile care afectează procesul de măsurare (neregularități pe suprafața obiectului, suflarea vântului, supratensiuni etc.). Influența erorilor aleatoare poate fi redusă prin repetarea experimentului de mai multe ori.

3. Erori absolute și relative

Pentru cuantificarea calității măsurătorilor sunt introduse conceptele de erori de măsurare absolute și relative.

După cum sa menționat deja, orice măsurătoare oferă doar o valoare aproximativă a unei mărimi fizice, dar puteți specifica un interval care conține valoarea sa adevărată:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

Valoarea D A se numește eroare absolută în măsurarea mărimii A. Eroarea absolută este exprimată în unități ale mărimii care se măsoară. Eroarea absolută este egală cu modulul abaterii maxime posibile a valorii unei mărimi fizice de la valoarea măsurată. Și pr este valoarea unei mărimi fizice obținute experimental; dacă măsurarea a fost efectuată în mod repetat, atunci media aritmetică a acestor măsurători.

Dar pentru a evalua calitatea măsurării este necesar să se determine eroarea relativă e. e = D A/A pr sau e= (D A/A pr)*100%.

Dacă în timpul unei măsurători se obține o eroare relativă mai mare de 10%, atunci ei spun că s-a făcut doar o estimare a valorii măsurate. În laboratoarele atelierelor de fizică se recomandă efectuarea măsurătorilor cu o eroare relativă de până la 10%. În laboratoarele științifice, unele măsurători precise (de exemplu, determinarea lungimii de undă a luminii) sunt efectuate cu o precizie de milioane de procente.

4. Erori la instrumentele de măsură

Aceste erori sunt numite și instrumentale sau instrumentale. Ele sunt determinate de proiectarea dispozitivului de măsurare, de precizia fabricării și de calibrarea acestuia. De obicei, se mulțumesc cu erorile instrumentale permise raportate de producător în pașaportul pentru acest dispozitiv. Aceste erori permise sunt reglementate de GOST. Acest lucru este valabil și pentru standarde. De obicei se notează eroarea instrumentală absolută D și A.

Dacă nu există informații despre eroarea permisă (de exemplu, cu o riglă), atunci jumătate din valoarea diviziunii poate fi luată ca această eroare.

La cântărire, eroarea instrumentală absolută constă din erorile instrumentale ale cântarelor și greutăților. Tabelul prezintă cele mai frecvente erori permise

instrumente de măsură întâlnite în experimentele școlare.

Măsurare	Limita de masurare	Valoarea diviziunii	Eroare permisă
conducător student
conducător de demonstrație
bandă de măsurare
pahar
greutăți 10,20, 50 mg
greutate 100.200 mg
greutate 500 mg
etriere
micrometru
dinamometru
scale de antrenament
Cronometru			1 secundă în 30 de minute
barometru aneroid	720-780 mm Hg.	1 mmHg	3 mmHg
termometru de laborator	0-100 grade C
ampermetru școlar
voltmetru de școală

5. Clasa de precizie a instrumentelor electrice de măsură

Instrumentele de măsurare electrice pointer, bazate pe valorile de eroare admise, sunt împărțite în clase de precizie, care sunt indicate pe cântarele instrumentului cu numerele 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Clasa de precizie g pr Dispozitivul arată ce procent este eroarea absolută din întreaga scară a dispozitivului.

g pr = (D și A/A max)*100% .

De exemplu, eroarea instrumentală absolută a unui dispozitiv de clasa 2.5 este de 2,5% din scara sa.

Dacă se cunosc clasa de precizie a dispozitivului și scara acestuia, atunci eroarea absolută de măsurare instrumentală poate fi determinată

D și A = (g pr * A max)/100.

Pentru a crește acuratețea măsurătorilor cu un instrument de măsurare electric pointer, este necesar să selectați un dispozitiv cu o astfel de scară încât în ​​timpul procesului de măsurare să fie situat în a doua jumătate a scalei instrumentului.

6. Eroare de citire

Eroarea de citire rezultă din citirile insuficient de precise ale instrumentelor de măsură.

În cele mai multe cazuri, eroarea absolută de citire este considerată egală cu jumătate din valoarea diviziunii. Se fac excepții la măsurarea cu un ceas (aceasele se mișcă sacadat).

Eroarea absolută de citire este de obicei indicată D oA

7. Eroarea absolută totală a măsurătorilor directe

Atunci când se efectuează măsurători directe ale mărimii fizice A, trebuie evaluate următoarele erori: D și A, D oA și D сА (aleatorie). Desigur, alte surse de erori asociate cu instalarea incorectă a instrumentelor, alinierea greșită a poziției inițiale a săgeții instrumentului cu 0 etc. ar trebui excluse.

Eroarea absolută totală a măsurării directe trebuie să includă toate cele trei tipuri de erori.

Dacă eroarea aleatorie este mică în comparație cu cea mai mică valoare care poate fi măsurată de un instrument de măsurare dat (comparativ cu valoarea diviziunii), atunci poate fi neglijată și atunci o măsurătoare este suficientă pentru a determina valoarea unei mărimi fizice. În caz contrar, teoria probabilității recomandă găsirea rezultatului măsurării ca valoare medie aritmetică a rezultatelor întregii serii de măsurători multiple și calcularea erorii rezultatului folosind metoda statisticii matematice. Cunoașterea acestor metode depășește programa școlară.

8. Înregistrarea rezultatului final al măsurării directe

Rezultatul final al măsurării mărimii fizice A trebuie scris în această formă;

A=A pr + D A, e= (D A/A pr)*100%.

Și pr este valoarea unei mărimi fizice obținute experimental; dacă măsurarea a fost efectuată în mod repetat, atunci media aritmetică a acestor măsurători. D A este eroarea absolută totală a măsurării directe.

Eroarea absolută este de obicei exprimată într-o cifră semnificativă.

Exemplu: L=(7,9 + 0,1) mm, e=13%.

9. Erori de măsurători indirecte

Atunci când se prelucrează rezultatele măsurătorilor indirecte ale unei mărimi fizice care este legată funcțional de mărimile fizice A, B și C, care sunt măsurate direct, eroarea relativă a măsurării indirecte este mai întâi determinată. e=D X/X pr, folosind formulele date în tabel (fără dovezi).

Eroarea absolută este determinată de formulă D X=X pr *e,

unde e exprimată mai degrabă ca o fracție zecimală decât ca procent.

Rezultatul final se înregistrează în același mod ca și în cazul măsurătorilor directe.

Tipul funcției	Formulă
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=A n
X=A/B

Exemplu: Să calculăm eroarea în măsurarea coeficientului de frecare cu ajutorul unui dinamometru. Experimentul constă în tragerea uniformă a unui bloc pe o suprafață orizontală și măsurarea forței aplicate: este egală cu forța de frecare de alunecare.

Cu ajutorul unui dinamometru, cântăriți blocul cu greutăți: 1,8 N. Ftr = 0,6 N

μ = 0,33.Eroarea instrumentală a dinamometrului (o găsim din tabel) este Δ și = 0,05 N, Eroarea de citire (jumătate din valoarea diviziunii)

Δ o =0,05 N. Eroarea absolută în măsurarea greutății și a forței de frecare este de 0,1 N.

Eroare relativă de măsurare (linia a cincea din tabel)

, prin urmare eroarea absolută a măsurării indirecte μ este 0,22*0,33=0,074

Eroare absolută și relativă

Elemente de teoria erorii

Cifre exacte și aproximative

Precizia numărului nu este de obicei pusă la îndoială atunci când vine vorba de valorile întregi ale datelor (2 creioane, 100 de arbori). Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, când este imposibil să se indice valoarea exactă a unui număr (de exemplu, la măsurarea unui obiect cu o riglă, luarea rezultatelor de la un dispozitiv etc.), avem de-a face cu date aproximative.

O valoare aproximativă este un număr care diferă ușor de valoarea exactă și o înlocuiește în calcule. Gradul în care valoarea aproximativă a unui număr diferă de valoarea lui exactă se caracterizează prin eroare .

Se disting următoarele surse principale de eroare:

1. Erori în formularea problemei, apărută ca urmare a unei descrieri aproximative a unui fenomen real din punct de vedere matematic.

2. Erori de metodă, asociat cu dificultatea sau imposibilitatea de a rezolva o problemă dată și înlocuirea acesteia cu una similară, astfel încât să fie posibilă aplicarea unei metode de rezolvare cunoscută și accesibilă și obținerea unui rezultat apropiat de cel dorit.

3. Erori fatale, asociat cu valorile aproximative ale datelor originale și datorită efectuării calculelor pe numere aproximative.

4. Erori de rotunjire asociat cu rotunjirea valorilor datelor inițiale, rezultatelor intermediare și finale obținute cu ajutorul instrumentelor de calcul.

Eroare absolută și relativă

Luarea în considerare a erorilor este un aspect important al aplicării metodelor numerice, întrucât eroarea rezultatului final al rezolvării întregii probleme este un produs al interacțiunii tuturor tipurilor de erori. Prin urmare, una dintre sarcinile principale ale teoriei erorilor este de a evalua acuratețea rezultatului pe baza acurateței datelor sursă.

Dacă este un număr exact și este valoarea sa aproximativă, atunci eroarea (eroarea) valorii aproximative este gradul de apropiere a valorii sale de valoarea sa exactă.

Cea mai simplă măsură cantitativă a erorii este eroarea absolută, care este definită ca

(1.1.2-1)

După cum se poate observa din formula 1.1.2-1, eroarea absolută are aceleași unități de măsură ca și valoarea. Prin urmare, nu este întotdeauna posibil să se tragă o concluzie corectă despre calitatea aproximării pe baza mărimii erorii absolute. De exemplu, dacă , și vorbim despre o piesă de mașină, atunci măsurătorile sunt foarte aspre, iar dacă vorbim despre dimensiunea vasului, atunci sunt foarte precise. În acest sens, a fost introdus conceptul de eroare relativă, în care valoarea erorii absolute este raportată la modulul valorii aproximative ( ).

(1.1.2-2)

Utilizarea erorilor relative este convenabilă, în special, deoarece acestea nu depind de scara cantităților și unităților de măsură ale datelor. Eroarea relativă se măsoară în fracții sau procente. Deci, de exemplu, dacă

,A , Acea , si daca Și ,

deci .

Pentru a estima numeric eroarea unei funcții, trebuie să cunoașteți regulile de bază pentru calcularea erorii acțiunilor:

· la adunarea și scăderea numerelor erorile absolute ale numerelor se adună

· la înmulțirea și împărțirea numerelor erorile lor relative se adună între ele

· la ridicarea unui număr aproximativ la o putere eroarea sa relativă se înmulțește cu exponent

Exemplul 1.1.2-1. Funcția dată: . Aflați erorile absolute și relative ale valorii (eroarea rezultatului efectuării operațiilor aritmetice), dacă valorile sunt cunoscute, iar 1 este un număr exact, iar eroarea acestuia este zero.

După ce am determinat valoarea erorii relative, putem găsi valoarea erorii absolute ca , unde valoarea este calculată folosind formula pentru valori aproximative

Deoarece valoarea exactă a cantității este de obicei necunoscută, calculul Și conform formulelor de mai sus este imposibil. Prin urmare, în practică, erorile maxime ale formularului sunt evaluate:

(1.1.2-3)

Unde Și - marimi cunoscute care sunt limitele superioare ale erorilor absolute si relative, altfel se numesc - erori maxime absolute si maxime relative. Astfel, valoarea exactă se află în:

Dacă valoarea cunoscut, atunci , iar dacă cantitatea este cunoscută , Acea

Lasă o variabilă aleatoare A măsurat n ori in aceleasi conditii. Rezultatele măsurătorilor au dat un set n numere diferite

Eroare absolută- valoare dimensională. Printre n Valorile absolute ale erorii sunt în mod necesar atât pozitive, cât și negative.

Pentru valoarea cea mai probabilă a cantității A de obicei luate in medie valoarea rezultatelor măsurătorilor

.

Cu cât este mai mare numărul de măsurători, cu atât valoarea medie este mai aproape de valoarea adevărată.

Eroare absolutăi

.

Eroare relativăi-a măsurătoare se numește cantitate

Eroarea relativă este o mărime adimensională. De obicei, eroarea relativă este exprimată ca procent, pentru aceasta e i inmultiti cu 100%. Mărimea erorii relative caracterizează acuratețea măsurării.

Eroare absolută medie este definit astfel:

.

Subliniem necesitatea însumării valorilor absolute (module) ale mărimilor D și eu.În caz contrar, rezultatul va fi identic zero.

Eroare relativă medie se numeste cantitate

.

Pentru un număr mare de măsurători.

Eroarea relativă poate fi considerată ca valoarea erorii pe unitatea de valoare măsurată.

Precizia măsurătorilor este apreciată prin compararea erorilor rezultatelor măsurătorilor. Prin urmare, erorile de măsurare sunt exprimate în așa formă încât pentru a aprecia acuratețea este suficient să se compare doar erorile rezultatelor, fără a compara dimensiunile obiectelor măsurate sau a cunoaște aceste dimensiuni foarte aproximativ. Din practică se știe că eroarea absolută în măsurarea unui unghi nu depinde de valoarea unghiului, iar eroarea absolută în măsurarea lungimii depinde de valoarea lungimii. Cu cât lungimea este mai mare, cu atât eroarea absolută este mai mare pentru o anumită metodă și condiții de măsurare. În consecință, eroarea absolută a rezultatului poate fi utilizată pentru a aprecia acuratețea măsurării unghiului, dar acuratețea măsurării lungimii nu poate fi apreciată. Exprimarea erorii în formă relativă face posibilă compararea preciziei măsurătorilor unghiulare și liniare în cazuri cunoscute.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Eroare aleatorie.

Eroare aleatorie numită componenta erorii de măsurare care se modifică aleatoriu în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi.

Când măsurătorile repetate ale aceleiași cantități constante și neschimbate sunt efectuate cu aceeași grijă și în aceleași condiții, obținem rezultate de măsurare - unele dintre ele diferă unele de altele, iar unele coincid. Astfel de discrepanțe în rezultatele măsurătorilor indică prezența componentelor de eroare aleatoare în ele.

Eroarea aleatorie apare din influența simultană a mai multor surse, fiecare dintre acestea având un efect imperceptibil asupra rezultatului măsurării, dar influența totală a tuturor surselor poate fi destul de puternică.

Erorile aleatorii sunt o consecință inevitabilă a oricăror măsurători și sunt cauzate de:

a) inexactitatea citirilor la scara instrumentelor si instrumentelor;

b) neidentitatea condițiilor pentru măsurători repetate;

c) modificări aleatorii ale condiţiilor externe (temperatură, presiune, câmp de forţă etc.), care nu pot fi controlate;

d) toate celelalte influențe asupra măsurătorilor, ale căror cauze ne sunt necunoscute. Mărimea erorii aleatoare poate fi minimizată prin repetarea experimentului de mai multe ori și prin prelucrarea matematică corespunzătoare a rezultatelor obținute.

O eroare aleatorie poate lua diferite valori absolute, care sunt imposibil de prezis pentru o anumită măsurătoare. Această eroare poate fi la fel de pozitivă sau negativă. Erorile aleatorii sunt întotdeauna prezente într-un experiment. În absența erorilor sistematice, acestea provoacă împrăștierea măsurătorilor repetate în raport cu valoarea adevărată.

Să presupunem că perioada de oscilație a unui pendul este măsurată cu ajutorul unui cronometru, iar măsurarea se repetă de mai multe ori. Erori la pornirea și oprirea cronometrului, o eroare în valoarea de citire, o ușoară denivelare în mișcarea pendulului - toate acestea provoacă împrăștierea rezultatelor măsurătorilor repetate și, prin urmare, pot fi clasificate ca erori aleatorii.

Dacă nu există alte erori, atunci unele rezultate vor fi oarecum supraestimate, în timp ce altele vor fi oarecum subestimate. Dar dacă, pe lângă aceasta, ceasul este și în urmă, atunci toate rezultatele vor fi subestimate. Aceasta este deja o eroare sistematică.

Unii factori pot provoca atât erori sistematice, cât și aleatorii în același timp. Deci, pornind și oprind cronometrul, putem crea o mică răspândire neregulată în timpii de pornire și oprire ale ceasului în raport cu mișcarea pendulului și, prin urmare, să introducem o eroare aleatorie. Dar dacă, în plus, ne grăbim să pornim cronometrul de fiecare dată și întârziem oarecum să-l oprim, atunci aceasta va duce la o eroare sistematică.

Erorile aleatorii sunt cauzate de eroarea de paralaxă la numărarea diviziunilor instrumentului, scuturarea fundației unei clădiri, influența mișcării ușoare a aerului etc.

Deși este imposibil să se elimine erorile aleatorii în măsurătorile individuale, teoria matematică a fenomenelor aleatorii ne permite să reducem influența acestor erori asupra rezultatului final al măsurării. Se va arăta mai jos că pentru aceasta este necesar să se facă nu una, ci mai multe măsurători, iar cu cât valoarea erorii pe care dorim să o obținem este mai mică, cu atât trebuie făcute mai multe măsurători.

Datorită faptului că apariția erorilor aleatoare este inevitabilă și inevitabilă, sarcina principală a oricărui proces de măsurare este reducerea erorilor la minimum.

Teoria erorilor se bazează pe două ipoteze principale, confirmate de experiență:

1. Cu un număr mare de măsurători, apar destul de des erori aleatorii de aceeași amploare, dar de semne diferite, adică erori în direcția de creștere și scădere a rezultatului.

2. Erorile care sunt mari în valoare absolută sunt mai puțin frecvente decât cele mici, astfel, probabilitatea apariției unei erori scade pe măsură ce amploarea acesteia crește.

Comportamentul variabilelor aleatoare este descris prin modele statistice, care fac obiectul teoriei probabilităților. Definiția statistică a probabilității w i evenimente i este relația

Unde n- numărul total de experimente, n i- numărul de experimente în care a avut loc evenimentul i s-a întâmplat. În acest caz, numărul total de experimente ar trebui să fie foarte mare ( n®¥). Cu un număr mare de măsurători, erorile aleatoare se supun unei distribuții normale (distribuția Gauss), ale cărei caracteristici principale sunt următoarele:

1. Cu cât abaterea valorii măsurate de la valoarea adevărată este mai mare, cu atât este mai puțin probabil să obțineți un astfel de rezultat.

2. Abaterile în ambele direcții de la valoarea adevărată sunt la fel de probabile.

Din ipotezele de mai sus rezultă că pentru a reduce influența erorilor aleatoare este necesară măsurarea acestei valori de mai multe ori. Să presupunem că măsurăm o cantitate x. Lasă-l să fie produs n masuratori: x 1 , x 2 , ... x n- folosind aceeași metodă și cu aceeași grijă. Se poate aștepta ca numărul dn rezultate obţinute, care se află într-un interval destul de îngust de la X inainte de x + dx, trebuie să fie proporțional:

Mărimea intervalului luat dx;

Numărul total de măsurători n.

Probabilitate dw(X) că ceva valoare X se află în intervalul de la X inainte de x + dx, este definită după cum urmează :

(cu numărul de măsurători n ®¥).

Funcţie f(X) se numește funcție de distribuție sau densitate de probabilitate.

Ca postulat al teoriei erorii, se acceptă că rezultatele măsurătorilor directe și erorile lor aleatoare, atunci când există un număr mare de ele, respectă legea distribuției normale.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue găsită de Gauss X are următoarea formă:

, unde mis - parametrii de distribuție .

Parametrul m al distribuției normale este egal cu valoarea medie b Xñ o variabilă aleatoare, care, pentru o funcție de distribuție cunoscută arbitrară, este determinată de integrală

.

Prin urmare, valoarea m este valoarea cea mai probabilă a mărimii măsurate x, adică. cea mai bună estimare a ei.

Parametrul s 2 al distribuției normale este egal cu varianța D a variabilei aleatoare, care în cazul general este determinată de următoarea integrală

.

Rădăcina pătrată a varianței se numește abaterea standard a variabilei aleatoare.

Abaterea medie (eroarea) variabilei aleatoare ásñ se determină folosind funcția de distribuție după cum urmează

Eroarea medie de măsurare ásñ, calculată din funcția de distribuție Gaussiană, este legată de valoarea abaterii standard s după cum urmează:

< s > = 0,8s.

Parametrii s și m sunt legați unul de celălalt după cum urmează:

.

Această expresie vă permite să găsiți abaterea standard s dacă există o curbă de distribuție normală.

Graficul funcției Gaussiene este prezentat în figuri. Funcţie f(X) este simetrică față de ordonata trasată în punct x = m; trece printr-un maxim în punct x = m și are o inflexiune în punctele m ±s. Astfel, varianța caracterizează lățimea funcției de distribuție sau arată cât de larg sunt împrăștiate valorile unei variabile aleatoare în raport cu valoarea ei adevărată. Cu cât măsurătorile sunt mai precise, cu atât rezultatele măsurătorilor individuale sunt mai aproape de valoarea reală, adică valoarea s este mai mică. Figura A prezintă funcția f(X) pentru trei valori ale s .

Aria unei figuri delimitată de o curbă f(X) și linii verticale trasate din puncte X 1 și X 2 (Fig. B) , egală numeric cu probabilitatea ca rezultatul măsurării să se încadreze în intervalul D x = x 1 -X 2, care se numește probabilitatea de încredere. Aria de sub întreaga curbă f(X) este egală cu probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze în intervalul de la 0 la ¥, i.e.

,

întrucât probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.

Folosind distribuția normală, teoria erorii pune și rezolvă două probleme principale. Prima este o evaluare a preciziei măsurătorilor efectuate. Al doilea este o evaluare a preciziei valorii medii aritmetice a rezultatelor măsurătorilor.5. Interval de încredere. Coeficientul elevului.

Teoria probabilității ne permite să determinăm dimensiunea intervalului în care, cu o probabilitate cunoscută w se găsesc rezultatele măsurătorilor individuale. Această probabilitate se numește probabilitatea de încredere, și intervalul corespunzător (<X>±D X)w numit interval de încredere. Probabilitatea de încredere este, de asemenea, egală cu proporția relativă a rezultatelor care se încadrează în intervalul de încredere.

Dacă numărul de măsurători n este suficient de mare, atunci probabilitatea de încredere exprimă proporția din numărul total n acele măsurători în care valoarea măsurată a fost în intervalul de încredere. Fiecare probabilitate de încredere w corespunde intervalului său de încredere.w 2 80%. Cu cât intervalul de încredere este mai larg, cu atât este mai mare probabilitatea de a obține un rezultat în intervalul respectiv. În teoria probabilității, se stabilește o relație cantitativă între valoarea intervalului de încredere, probabilitatea de încredere și numărul de măsurători.

Dacă alegem ca interval de încredere intervalul corespunzător erorii medii, adică D a = anunț Añ, atunci pentru un număr suficient de mare de măsurători corespunde probabilității de încredere w 60%. Pe măsură ce numărul de măsurători scade, probabilitatea de încredere corespunzătoare unui astfel de interval de încredere (á Añ ± anunț Añ), scade.

Astfel, pentru a estima intervalul de încredere al unei variabile aleatoare, se poate folosi valoarea erorii medii áD Añ .

Pentru a caracteriza magnitudinea erorii aleatoare, este necesar să se precizeze două numere, și anume, valoarea intervalului de încredere și valoarea probabilității de încredere. . Indicarea doar a mărimii erorii fără probabilitatea de încredere corespunzătoare este în mare măsură lipsită de sens.

Dacă eroarea medie de măsurare ásñ este cunoscută, intervalul de încredere scris ca (<X> ± ásñ) w, determinat cu probabilitate de încredere w= 0,57.

Dacă abaterea standard s este cunoscută distribuția rezultatelor măsurătorilor, intervalul specificat are forma (<X>± t w s) w, Unde t w- coeficient în funcție de valoarea probabilității de încredere și calculat folosind distribuția gaussiană.

Cantitățile cele mai frecvent utilizate D X sunt prezentate în tabelul 1.