Care este lungimea liniei mediane a unui trapez? Trapez, linia mediană a trapezului, triunghi

18.10.2019

Curge nasul

Zona unui trapez. Salutări! În această publicație ne vom uita la această formulă. De ce este exact așa și cum să o înțeleg. Dacă există înțelegere, atunci nu trebuie să o înveți. Dacă doriți doar să vă uitați la această formulă și urgent, atunci puteți derula imediat în jos pe pagină))

Acum în detaliu și în ordine.

Un trapez este un patrulater, două laturi ale acestui patrulater sunt paralele, celelalte două nu. Cele care nu sunt paralele sunt bazele trapezului. Celelalte două se numesc laturi.

Dacă laturile sunt egale, atunci trapezul se numește isoscel. Dacă una dintre laturi este perpendiculară pe baze, atunci un astfel de trapez se numește dreptunghiular.

În forma sa clasică, un trapez este reprezentat după cum urmează - baza mai mare este în partea de jos, respectiv cea mai mică este în partea de sus. Dar nimeni nu interzice să o înfățișeze și invers. Iată schițele:

Următorul concept important.
Linia mediană a unui trapez este un segment care leagă punctele medii ale laturilor. Linia de mijloc este paralelă cu bazele trapezului și egală cu jumătatea sumei acestora.

Acum să aprofundăm. De ce este așa?

Luați în considerare un trapez cu baze a și b iar cu linia de mijloc l, și să realizăm câteva construcții suplimentare: trageți linii drepte prin baze și perpendiculare prin capetele liniei mediane până când se intersectează cu bazele:

*Desemnările de litere pentru vârfuri și alte puncte nu sunt incluse în mod intenționat pentru a evita desemnările inutile.

Uite, triunghiurile 1 și 2 sunt egale conform celui de-al doilea semn de egalitate al triunghiurilor, triunghiurile 3 și 4 sunt la fel. Din egalitatea triunghiurilor decurge egalitatea elementelor si anume catetele (sunt indicate cu albastru, respectiv rosu).

Acum atentie! Dacă „decupăm” mental segmentele albastre și roșii de la baza inferioară, atunci vom rămâne cu un segment (aceasta este latura dreptunghiului) egal cu linia de mijloc. Apoi, dacă „lipim” segmentele tăiate albastre și roșii de baza superioară a trapezului, atunci vom obține și un segment (aceasta este și latura dreptunghiului) egal cu linia mediană a trapezului.

Am înţeles? Se pare că suma bazelor va fi egală cu cele două linii de mijloc ale trapezului:

Vezi o altă explicație

Să facem următoarele - construiți o linie dreaptă care trece prin baza inferioară a trapezului și o linie dreaptă care va trece prin punctele A și B:

Obținem triunghiuri 1 și 2, ele sunt egale de-a lungul laturii și unghiurilor adiacente (al doilea semn de egalitate a triunghiurilor). Aceasta înseamnă că segmentul rezultat (în schiță este indicat cu albastru) este egal cu baza superioară a trapezului.

Acum luați în considerare triunghiul:

*Linia mediană a acestui trapez și linia mediană a triunghiului coincid.

Se știe că un triunghi este egal cu jumătate din baza paralelă cu acesta, adică:

Bine, ne-am dat seama. Acum despre zona trapezului.

Formula ariei trapezoidale:

Ei spun: aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea.

Adică, se dovedește că este egal cu produsul dintre linia centrală și înălțimea:

Probabil ați observat deja că acest lucru este evident. Geometric, acest lucru poate fi exprimat astfel: dacă tăiem mental triunghiurile 2 și 4 din trapez și le așezăm pe triunghiurile 1 și, respectiv, 3:

Apoi vom obține un dreptunghi cu o zonă egală cu aria trapezului nostru. Aria acestui dreptunghi va fi egală cu produsul liniei centrale și înălțimea, adică putem scrie:

Dar ideea aici nu este în scris, desigur, ci în înțelegere.

Descărcați (vezi) materialul articolului în format *pdf

Asta e tot. Mult succes pentru tine!

Salutări, Alexandru.

Conceptul liniei mediane a trapezului

În primul rând, să ne amintim ce fel de figură se numește trapez.

Definiția 1

Un trapez este un patrulater în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu sunt paralele.

În acest caz, laturile paralele se numesc bazele trapezului, iar laturile neparalele se numesc laturile laterale ale trapezului.

Definiția 2

Linia mediană a unui trapez este un segment care leagă punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului.

Teorema liniei mediane a trapezului

Acum introducem teorema despre linia mediană a unui trapez și o demonstrăm folosind metoda vectorială.

Teorema 1

Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei acestora.

Dovada.

Să ni se dea un trapez $ABCD$ cu bazele $AD\ și\ BC$. Și să fie $MN$ linia de mijloc a acestui trapez (Fig. 1).

Figura 1. Linia mediană a trapezului

Să demonstrăm că $MN||AD\ și\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Luați în considerare vectorul $\overrightarrow(MN)$. Apoi folosim regula poligonului pentru a adăuga vectori. Pe de o parte, înțelegem asta

Pe cealaltă parte

Să adunăm ultimele două egalități și să obținem

Deoarece $M$ și $N$ sunt punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului, vom avea

Primim:

Prin urmare

Din aceeași egalitate (deoarece $\overrightarrow(BC)$ și $\overrightarrow(AD)$ sunt codirecționale și, prin urmare, coliniare) obținem acel $MN||AD$.

Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme privind conceptul de linie mediană a unui trapez

Exemplul 1

Laturile laterale ale trapezului sunt $15\ cm$ și, respectiv, $17\ cm$. Perimetrul trapezului este $52\cm$. Aflați lungimea liniei mediane a trapezului.

Soluţie.

Să notăm linia mediană a trapezului cu $n$.

Suma laturilor este egală cu

Prin urmare, deoarece perimetrul este $52\ cm$, suma bazelor este egală cu

Deci, prin teorema 1, obținem

Răspuns:$10\cm$.

Exemplul 2

Capetele diametrului cercului sunt de $9$ cm și, respectiv, $5$ cm distanță de tangenta acestuia. Aflați diametrul acestui cerc.

Soluţie.

Să ni se dă un cerc cu centrul în punctul $O$ și diametrul $AB$. Să desenăm o tangentă $l$ și să construim distanțele $AD=9\ cm$ și $BC=5\ cm$. Să desenăm raza $OH$ (Fig. 2).

Figura 2.

Deoarece $AD$ și $BC$ sunt distanțele până la tangentă, atunci $AD\bot l$ și $BC\bot l$ și deoarece $OH$ este raza, atunci $OH\bot l$, prin urmare, $OH |\left|AD\right||BC$. Din toate acestea rezultă că $ABCD$ este un trapez, iar $OH$ este linia sa mediană. Prin teorema 1, obținem

În acest articol vom încerca să reflectăm proprietățile unui trapez cât mai complet posibil. În special, vom vorbi despre caracteristicile și proprietățile generale ale unui trapez, precum și despre proprietățile unui trapez înscris și ale unui cerc înscris într-un trapez. Vom atinge, de asemenea, proprietățile unui trapez isoscel și dreptunghiular.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind proprietățile discutate vă va ajuta să o rezolvați în cap și să vă amintiți mai bine materialul.

Trapez și toate-toate-toate

Pentru început, să ne amintim pe scurt ce este un trapez și ce alte concepte sunt asociate cu acesta.

Deci, un trapez este o figură patrulateră, ale cărei două laturi sunt paralele una cu cealaltă (acestea sunt bazele). Și cele două nu sunt paralele - acestea sunt părțile laterale.

Într-un trapez, înălțimea poate fi coborâtă - perpendicular pe baze. Linia centrală și diagonalele sunt desenate. De asemenea, este posibil să desenați o bisectoare din orice unghi al trapezului.

Vom vorbi acum despre diferitele proprietăți asociate cu toate aceste elemente și combinațiile lor.

Proprietățile diagonalelor trapezoidale

Pentru a fi mai clar, în timp ce citiți, schițați trapezul ACME pe o bucată de hârtie și desenați diagonalele în ea.

Dacă găsiți punctele medii ale fiecăreia dintre diagonale (să numim aceste puncte X și T) și le conectați, obțineți un segment. Una dintre proprietățile diagonalelor unui trapez este că segmentul HT se află pe linia mediană. Și lungimea sa poate fi obținută prin împărțirea diferenței bazelor la două: ХТ = (a – b)/2.
În fața noastră este același ACME trapez. Diagonalele se intersectează în punctul O. Să ne uităm la triunghiurile AOE și MOK, formate din segmente ale diagonalelor împreună cu bazele trapezului. Aceste triunghiuri sunt asemănătoare. Coeficientul de asemănare k al triunghiurilor se exprimă prin raportul bazelor trapezului: k = AE/KM.
Raportul ariilor triunghiurilor AOE și MOK este descris de coeficientul k 2 .
Același trapez, aceleași diagonale care se intersectează în punctul O. Numai de această dată vom lua în considerare triunghiurile pe care le-au format segmentele diagonalelor împreună cu laturile trapezului. Zonele triunghiurilor AKO și EMO au dimensiuni egale - ariile lor sunt aceleași.
O altă proprietate a unui trapez implică construcția diagonalelor. Deci, dacă continuați laturile AK și ME în direcția bazei mai mici, atunci mai devreme sau mai târziu se vor intersecta la un anumit punct. Apoi, trageți o linie dreaptă prin mijlocul bazelor trapezului. Intersectează bazele în punctele X și T.
Dacă extindem acum linia XT, atunci aceasta va lega împreună punctul de intersecție al diagonalelor trapezului O, punctul în care se intersectează prelungirile laturilor și mijlocul bazelor X și T.
Prin punctul de intersecție al diagonalelor vom trasa un segment care va conecta bazele trapezului (T se află pe baza mai mică KM, X pe AE mai mare). Punctul de intersecție al diagonalelor împarte acest segment în următorul raport: TO/OX = KM/AE.
Acum, prin punctul de intersecție al diagonalelor, vom trasa un segment paralel cu bazele trapezului (a și b). Punctul de intersecție îl va împărți în două părți egale. Puteți găsi lungimea segmentului folosind formula 2ab/(a + b).

Proprietățile liniei mediane a unui trapez

Desenați linia de mijloc în trapez paralel cu bazele sale.

Lungimea liniei mediane a unui trapez poate fi calculată adunând lungimile bazelor și împărțindu-le la jumătate: m = (a + b)/2.
Dacă desenați orice segment (înălțime, de exemplu) prin ambele baze ale trapezului, linia de mijloc îl va împărți în două părți egale.

Proprietatea Bisectoarei Trapezoid

Selectați orice colț al trapezului și trageți o bisectoare. Să luăm, de exemplu, unghiul KAE al ACME nostru trapez. După ce ați finalizat singur construcția, puteți verifica cu ușurință dacă bisectoarea taie de la bază (sau continuarea ei pe o linie dreaptă în afara figurii în sine) un segment de aceeași lungime ca și latura.

Proprietățile unghiurilor trapezoidale

Oricare dintre cele două perechi de unghiuri adiacente laturii pe care o alegeți, suma unghiurilor din pereche este întotdeauna 180 0: α + β = 180 0 și γ + δ = 180 0.
Să conectăm punctele medii ale bazelor trapezului cu un segment TX. Acum să ne uităm la unghiurile de la bazele trapezului. Dacă suma unghiurilor pentru oricare dintre ele este 90 0, lungimea segmentului TX poate fi calculată cu ușurință pe baza diferenței dintre lungimile bazelor, împărțită la jumătate: TX = (AE – KM)/2.
Dacă sunt trasate linii paralele prin laturile unui unghi trapez, acestea vor împărți laturile unghiului în segmente proporționale.

Proprietățile unui trapez isoscel (echilateral).

Într-un trapez isoscel, unghiurile de la orice bază sunt egale.
Acum construiți din nou un trapez pentru a vă face mai ușor să vă imaginați despre ce vorbim. Priviți cu atenție baza AE - vârful bazei opuse M este proiectat într-un anumit punct pe linia care conține AE. Distanța de la vârful A până la punctul de proiecție al vârfului M și linia de mijloc a trapezului isoscel sunt egale.
Câteva cuvinte despre proprietatea diagonalelor unui trapez isoscel - lungimile lor sunt egale. Și, de asemenea, unghiurile de înclinare ale acestor diagonale față de baza trapezului sunt aceleași.
Numai în jurul unui trapez isoscel poate fi descris un cerc, deoarece suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este 180 0 - o condiție prealabilă pentru aceasta.
Proprietatea unui trapez isoscel rezultă din paragraful anterior - dacă un cerc poate fi descris lângă trapez, acesta este isoscel.
Din caracteristicile unui trapez isoscel rezultă proprietatea înălțimii unui trapez: dacă diagonalele sale se intersectează în unghi drept, atunci lungimea înălțimii este egală cu jumătate din suma bazelor: h = (a + b)/2.
Din nou, trageți segmentul TX prin punctele medii ale bazelor trapezului - într-un trapez isoscel este perpendicular pe baze. Și, în același timp, TX este axa de simetrie a unui trapez isoscel.
De data aceasta, coborâți înălțimea de la vârful opus al trapezului pe baza mai mare (să-i spunem a). Veți obține două segmente. Lungimea uneia poate fi găsită dacă lungimile bazelor sunt adăugate și împărțite la jumătate: (a + b)/2. O obținem pe a doua când scădem pe cea mai mică din baza mai mare și împărțim diferența rezultată la două: (a – b)/2.

Proprietățile unui trapez înscris într-un cerc

Deoarece vorbim deja despre un trapez înscris într-un cerc, să ne oprim asupra acestei probleme mai detaliat. În special, unde centrul cercului este în raport cu trapezul. Și aici este recomandat să vă faceți timp pentru a ridica un creion și a desena ceea ce se va discuta mai jos. Astfel vei înțelege mai repede și vei aminti mai bine.

Locația centrului cercului este determinată de unghiul de înclinare al diagonalei trapezului față de latura sa. De exemplu, o diagonală se poate extinde din partea superioară a unui trapez la un unghi drept în lateral. În acest caz, baza mai mare intersectează centrul cercului circumscris exact în mijloc (R = ½AE).
Diagonala și latura se pot întâlni și la un unghi ascuțit - atunci centrul cercului se află în interiorul trapezului.
Centrul cercului circumscris poate fi în afara trapezului, dincolo de baza sa mai mare, dacă există un unghi obtuz între diagonala trapezului și latură.
Unghiul format de diagonala și baza mare a trapezului ACME (unghiul înscris) este jumătate din unghiul central care îi corespunde: MAE = ½MOE.
Pe scurt, despre două moduri de a găsi raza unui cerc circumscris. Metoda unu: uită-te cu atenție la desenul tău - ce vezi? Puteți observa cu ușurință că diagonala împarte trapezul în două triunghiuri. Raza poate fi găsită prin raportul dintre latura triunghiului și sinusul unghiului opus, înmulțit cu doi. De exemplu, R = AE/2*sinAME. Formula poate fi scrisă într-un mod similar pentru oricare dintre laturile ambelor triunghiuri.
Metoda a doua: găsiți raza cercului circumscris prin aria triunghiului format din diagonala, latura și baza trapezului: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Proprietățile unui trapez circumscris unui cerc

Puteți potrivi un cerc într-un trapez dacă este îndeplinită o condiție. Citiți mai multe despre el mai jos. Și împreună această combinație de cifre are o serie de proprietăți interesante.

Dacă un cerc este înscris într-un trapez, lungimea liniei sale mediane poate fi găsită cu ușurință adunând lungimile laturilor și împărțind suma rezultată la jumătate: m = (c + d)/2.
Pentru trapezul ACME, descris despre un cerc, suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor: AK + ME = KM + AE.
Din această proprietate a bazelor unui trapez, rezultă afirmația inversă: un cerc poate fi înscris într-un trapez a cărui sumă a bazelor este egală cu suma laturilor sale.
Punctul tangent al unui cerc cu raza r înscris într-un trapez împarte latura în două segmente, să le numim a și b. Raza unui cerc poate fi calculată folosind formula: r = √ab.
Și încă o proprietate. Pentru a evita confuzia, desenează și tu acest exemplu. Avem vechiul trapez ACME, descris în jurul unui cerc. Conține diagonale care se intersectează în punctul O. Triunghiurile AOK și EOM formate din segmentele diagonalelor și laturile laterale sunt dreptunghiulare.
Înălțimile acestor triunghiuri, coborâte la ipotenuze (adică laturile laterale ale trapezului), coincid cu razele cercului înscris. Și înălțimea trapezului coincide cu diametrul cercului înscris.

Proprietățile unui trapez dreptunghiular

Un trapez se numește dreptunghiular dacă unul dintre unghiurile sale este drept. Și proprietățile sale provin din această circumstanță.

Un trapez dreptunghiular are una dintre laturile sale perpendiculară pe bază.
Înălțimea și latura unui trapez adiacent unui unghi drept sunt egale. Acest lucru vă permite să calculați aria unui trapez dreptunghiular (formula generală S = (a + b) * h/2) nu numai prin înălțime, ci și prin latura adiacentă unghiului drept.
Pentru un trapez dreptunghiular, proprietățile generale ale diagonalelor unui trapez deja descrise mai sus sunt relevante.

Dovada unor proprietăți ale trapezului

Egalitatea unghiurilor la baza unui trapez isoscel:

Probabil ați ghicit deja că aici vom avea nevoie din nou de trapezul AKME - desenați un trapez isoscel. Desenați o linie dreaptă MT de la vârful M, paralelă cu latura lui AK (MT || AK).

Patrulaterul rezultat AKMT este un paralelogram (AK || MT, KM || AT). Deoarece ME = KA = MT, ∆ MTE este isoscel și MET = MTE.

AK || MT, deci MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Unde este AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Acum, pe baza proprietății unui trapez isoscel (egalitatea diagonalelor), demonstrăm că ACME trapezoid este isoscel:

Pentru început, să desenăm o linie dreaptă MX – MX || KE. Obținem un paralelogram KMHE (bază – MX || KE și KM || EX).

∆AMX este isoscel, deoarece AM = KE = MX și MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MHE, deci MAE = MHE.

S-a dovedit că triunghiurile AKE și EMA sunt egale între ele, deoarece AM = KE și AE sunt latura comună a celor două triunghiuri. Și, de asemenea, MAE = MXE. Putem concluziona că AK = ME și de aici rezultă că trapezul AKME este isoscel.

Sarcina de revizuire

Bazele trapezului ACME sunt de 9 cm și 21 cm, latura laterală KA, egală cu 8 cm, formează un unghi de 150 0 cu baza mai mică. Trebuie să găsiți zona trapezului.

Rezolvare: De la vârful K coborâm înălțimea la baza mai mare a trapezului. Și să începem să ne uităm la unghiurile trapezului.

Unghiurile AEM și KAN sunt unilaterale. Aceasta înseamnă că în total dau 180 0. Prin urmare, KAN = 30 0 (pe baza proprietății unghiurilor trapezoidale).

Să luăm acum în considerare ∆ANC dreptunghiular (cred că acest punct este evident pentru cititori fără dovezi suplimentare). Din aceasta vom găsi înălțimea trapezului KH - într-un triunghi este catelul care se află opus unghiului de 30 0. Prin urmare, KN = ½AB = 4 cm.

Găsim aria trapezului folosind formula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Postfaţă

Dacă ați studiat cu atenție și atent acest articol, nu ați fost prea leneș să desenați trapeze pentru toate proprietățile date cu un creion în mâini și să le analizați în practică, ar fi trebuit să stăpâniți bine materialul.

Desigur, aici există o mulțime de informații, variate și uneori chiar confuze: nu este atât de greu să confundați proprietățile trapezului descris cu proprietățile celui înscris. Dar tu însuți ai văzut că diferența este uriașă.

Acum aveți o schiță detaliată a tuturor proprietăților generale ale unui trapez. Precum și proprietățile și caracteristicile specifice ale trapezelor isoscele și dreptunghiulare. Este foarte convenabil de utilizat pentru a se pregăti pentru teste și examene. Încearcă și tu însuți și distribuie linkul prietenilor tăi!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - să vă dezvăluiți informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În acest articol, o altă selecție de probleme cu trapezul a fost făcută pentru tine. Condițiile sunt oarecum legate de linia mediană. Tipurile de sarcini sunt preluate dintr-un banc deschis de sarcini tipice. Dacă doriți, vă puteți reîmprospăta cunoștințele teoretice. Blogul a discutat deja despre sarcini ale căror condiții sunt legate de, precum și. Pe scurt despre linia de mijloc:

Linia mediană a trapezului conectează punctele medii ale laturilor laterale. Este paralel cu bazele și egal cu jumătatea sumei lor.

Înainte de a rezolva probleme, să ne uităm la un exemplu teoretic.

Dat un trapez ABCD. Diagonala AC care se intersectează cu linia mijlocie formează punctul K, diagonala BD punctele L. Demonstrați că segmentul KL este egal cu jumătate din diferența bazelor.

Să remarcăm mai întâi faptul că linia mediană a unui trapez bisectează orice segment ale cărui capete se află pe bazele sale. Această concluzie se sugerează de la sine. Imaginați-vă un segment care conectează două puncte ale bazelor, acesta va împărți acest trapez în alte două. Se pare că un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin mijlocul laturii va trece prin mijlocul celeilalte părți.

Aceasta se bazează și pe teorema lui Thales:

Dacă mai multe segmente egale sunt așezate succesiv pe una dintre cele două linii și sunt trasate linii paralele prin capetele lor care intersectează a doua linie, atunci acestea vor tăia segmente egale de pe a doua linie.

Adică, în acest caz, K este mijlocul lui AC și L este mijlocul lui BD. Prin urmare EK este linia mediană a triunghiului ABC, LF este linia mediană a triunghiului DCB. Conform proprietății liniei mediane a unui triunghi:

Acum putem exprima segmentul KL în termeni de baze:

Dovedit!

Acest exemplu este dat cu un motiv. În sarcinile pentru soluții independente există doar o astfel de sarcină. Numai că nu spune că segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor se află pe linia mediană. Să luăm în considerare sarcinile:

27819. Aflați linia mediană a trapezului dacă bazele lui sunt 30 și 16.

Calculăm folosind formula:

27820. Linia mediană a trapezului este 28, iar baza mai mică este 18. Aflați baza mai mare a trapezului.

Să exprimăm baza mai mare:

Astfel:

27836. O perpendiculară căzută de la vârful unui unghi obtuz la baza mai mare a unui trapez isoscel o împarte în părți având lungimile 10 și 4. Aflați linia mediană a acestui trapez.

Pentru a găsi linia de mijloc trebuie să cunoașteți bazele. Baza AB este ușor de găsit: 10+4=14. Să găsim DC.

Să construim a doua perpendiculară DF:

Segmentele AF, FE și EB vor fi egale cu 4, 6 și respectiv 4.

Într-un trapez isoscel, perpendicularele coborâte la baza mai mare îl împart în trei segmente. Două dintre ele, care sunt picioarele triunghiurilor dreptunghiulare tăiate, sunt egale între ele. Al treilea segment este egal cu baza mai mică, deoarece la construirea înălțimilor indicate, se formează un dreptunghi, iar într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale. În această sarcină:

Astfel DC=6. Calculam:

27839. Bazele trapezului sunt în raportul 2:3, iar linia mediană este 5. Aflați baza mai mică.

Să introducem coeficientul de proporționalitate x. Atunci AB=3x, DC=2x. Putem scrie:

Prin urmare, baza mai mică este 2∙2=4.

27840. Perimetrul unui trapez isoscel este 80, linia sa mediană este egală cu latura laterală. Găsiți latura trapezului.

Pe baza condiției, putem scrie:

Dacă notăm linia din mijloc prin valoarea x, obținem:

A doua ecuație poate fi deja scrisă ca:

27841. Linia mediană a trapezului este 7, iar una dintre bazele sale este cu 4 mai mare decât cealaltă Aflați baza mai mare a trapezului.

Să notăm baza mai mică (DC) ca x, apoi cea mai mare (AB) va fi egală cu x+4. O putem nota

Am descoperit că baza mai mică este începutul cinci, ceea ce înseamnă că cea mai mare este egală cu 9.

27842. Linia mediană a trapezului este 12. Una dintre diagonale îl împarte în două segmente, a căror diferență este 2. Aflați baza mai mare a trapezului.

Putem găsi cu ușurință baza mai mare a trapezului dacă calculăm segmentul EO. Este linia mediană în triunghiul ADB și AB=2∙EO.

Ce avem? Se spune că linia din mijloc este egală cu 12 și diferența dintre segmentele EO și ОF este egală cu 2. Putem scrie două ecuații și rezolva sistemul:

Este clar că în acest caz puteți selecta o pereche de numere fără calcule, acestea sunt 5 și 7. Dar, totuși, să rezolvăm sistemul:

Deci EO=12–5=7. Astfel, baza mai mare este egală cu AB=2∙EO=14.

27844. Într-un trapez isoscel, diagonalele sunt perpendiculare. Înălțimea trapezului este de 12. Găsiți linia mediană a acestuia.

Să observăm imediat că înălțimea trasată prin punctul de intersecție al diagonalelor dintr-un trapez isoscel se află pe axa de simetrie și împarte trapezul în două trapeze dreptunghiulare egale, adică bazele acestei înălțimi sunt împărțite la jumătate.

S-ar părea că pentru a calcula linia de mijloc trebuie să găsim motive. Aici apare o mică fundătură... Cum, cunoscând înălțimea, în acest caz, calculăm bazele? În nici un caz! Există multe astfel de trapeze cu o înălțime fixă și diagonale care se intersectează la un unghi de 90 de grade. Ce ar trebuii să fac?

Uită-te la formula pentru linia mediană a unui trapez. La urma urmei, nu trebuie să cunoaștem motivele în sine, este suficient să le cunoaștem suma (sau jumătate). Putem face asta.

Deoarece diagonalele se intersectează în unghi drept, se formează triunghiuri dreptunghiulare isoscele cu înălțimea EF:

Din cele de mai sus rezultă că FO=DF=FC și OE=AE=EB. Acum să scriem cu ce este egală înălțimea, exprimată prin segmentele DF și AE:

Deci linia de mijloc este 12.

*În general, aceasta este o problemă, după cum înțelegeți, pentru calculul mental. Dar sunt sigur că explicația detaliată oferită este necesară. Și așa... Dacă te uiți la desen (cu condiția ca unghiul dintre diagonale să fie respectat în timpul construcției), egalitatea FO=DF=FC, și OE=AE=EB îți atrage imediat atenția.

Prototipurile includ și tipuri de sarcini cu trapeze. Este construit pe o foaie de hârtie într-o cușcă și trebuie să găsiți linia de mijloc, partea laterală a cuștii este de obicei egală cu 1, dar poate fi o valoare diferită.

27848. Aflați linia mediană a trapezului ABCD, dacă laturile celulelor pătrate sunt egale cu 1.