Za integraciju racionalnih funkcija oblika R(sin x, cos x) koristi se supstitucija koja se naziva univerzalna trigonometrijska supstitucija. Zatim . Univerzalna trigonometrijska zamjena često rezultira velikim izračunima. Stoga, kad god je moguće, koristite sljedeće zamjene. 
Integracija funkcija racionalno ovisnih o trigonometrijskim funkcijama
1. Integrali oblika ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0a) Ako je n neparan, onda jedan stepen sinx (ili cosx) treba staviti pod znak diferencijala, a od preostale parne potencije treba ići na suprotnu funkciju.
b) Ako je n paran, tada koristimo formule redukcije
2. Integrali oblika ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , gdje je n cijeli broj.
Formule se moraju koristiti
3. Integrali oblika ∫ sin n x cos m x dx
a) Neka su m i n različite parnosti. Primjenjujemo supstituciju t=sin x ako je n neparan ili t=cos x ako je m neparan.
b) Ako su m i n paran, tada koristimo formule redukcije
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Integrali oblika
Ako brojevi m i n imaju isti paritet, tada koristimo supstituciju t=tg x . Često je zgodno primijeniti tehniku trigonometrijske jedinice.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx
Poslužimo se formulama za pretvaranje umnožaka trigonometrijskih funkcija u njihov zbroj:
- sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
- cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
- sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))
Primjeri
1. Izračunajte integral ∫ cos 4 x sin 3 xdx .
Napravimo zamjenu cos(x)=t . Tada je ∫ cos 4 x sin 3 xdx = 
2. Izračunaj integral.
Napravivši zamjenu sin x=t , dobivamo
3. Pronađite integral.
Napravimo zamjenu tg(x)=t . Zamjena, dobivamo
Integracija izraza oblika R(sinx, cosx)
Primjer #1. Izračunaj integrale: 
Riješenje.
a) Integracija izraza oblika R(sinx, cosx) , gdje je R racionalna funkcija sin x i cos x , pretvaraju se u integrale racionalnih funkcija korištenjem univerzalne trigonometrijske supstitucije tg(x/2) = t .
Onda imamo
Univerzalna trigonometrijska zamjena omogućuje prijelaz s integrala oblika ∫ R(sinx, cosx) dx na integral racionalno-razlomačke funkcije, ali takva zamjena često dovodi do glomaznih izraza. Pod određenim uvjetima, jednostavnije zamjene pokazuju se učinkovitima:
- Ako je jednakost R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx istinita, tada se primjenjuje supstitucija cos x = t.
- Ako je R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx istina, tada je zamjena sin x = t .
- Ako je R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx istina, tada je zamjena tgx = t ili ctg x = t .
primjenjujemo univerzalnu trigonometrijsku supstituciju tg(x/2) = t .
Onda odgovori:
U praksi se često mora izračunati integrale transcendentnih funkcija koje sadrže trigonometrijske funkcije. U okviru ovog materijala opisat ćemo glavne vrste integranda i pokazati koje metode se mogu koristiti za njihovu integraciju.
Integracija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa
Počnimo s metodama integracije glavnih trigonometrijskih funkcija - sin, cos, t g, c t g. Koristeći tablicu antiderivata, odmah zapisujemo da je ∫ sin x d x \u003d - cos x + C, i ∫ cos x d x \u003d sin x + C.
Za izračunavanje neodređenih integrala funkcija t g i c t g, možete koristiti zbroj pod predznakom diferencijala:
∫ t g x d x = ∫ sin x cos x d x = d (cos x) = - sin x d x = = - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C ∫ c t g x d x = ∫ cos x sin x d x = d (sin x) = cos x d x = = ∫ d (sin x) sin x = ln sin x + C
Kako smo dobili formule ∫ d x sin x \u003d ln 1 - cos x sin x + C i ∫ d x cos x \u003d ln 1 + sin x cos x + C, preuzete iz tablice antiderivata? Objasnimo samo jedan slučaj, budući da će drugi biti jasan analogijom.
Metodom zamjene pišemo:
∫ d x sin x = sin x = t ⇒ x = a r c sin y ⇒ d x = d t 1 - t 2 = d t t 1 - t 2
Ovdje trebamo integrirati iracionalnu funkciju. Uzimamo istu metodu zamjene:
∫ d t t 1 - t 2 = 1 - t 2 = z 2 ⇒ t = 1 - z 2 ⇒ d t = - z d z 1 - z 2 = = ∫ - z d z z 1 - z 2 1 - z 2 = ∫ d z z 2 - 1 = ∫ d z (z - 1) (z +) = = 1 2 ∫ d z z - 1 - 1 2 ∫ d z z + 1 = 1 2 ln z - 1 - 1 2 z + 1 + C = = 1 2 ln z - 1 z + 1 + C = ln z - 1 z + 1 + C
Sada napravimo obrnutu zamjenu z = 1 - t 2 i t = sin x:
∫ d x sin x = ∫ d t t 1 - t 2 = ln z - 1 z + 1 + C = = ln 1 - t 2 - 1 1 - t 2 + 1 + C = ln 1 - sin 2 x - 1 1 - sin 2 x + 1 + C = = ln cos x - 1 cos x + 1 + C = ln (cos x - 1) 2 sin 2 x + C = = ln cos x - 1 sin x + C
Zasebno ćemo analizirati slučajeve s integralima koji sadrže potencije trigonometrijskih funkcija, kao što su ∫ sin n x d x , ∫ cos n x d x , ∫ d x sin n x , ∫ d x cos n x .
O tome kako ih ispravno izračunati možete pročitati u članku o integraciji pomoću rekurzivnih formula. Ako znate kako se te formule izvode, lako možete uzeti integrale poput ∫ sin n x cos m x d x s prirodnim m i n .
Ako imamo kombinaciju trigonometrijskih funkcija s polinomima ili eksponencijalnim funkcijama, tada će se morati integrirati po dijelovima. Savjetujemo vam da pročitate članak posvećen metodama pronalaženja integrala ∫ P n (x) sin (a x) d x , ∫ P n (x) cos (a x) d x , ∫ e a x sin (a x) d x , ∫ e a x cos (a x ) d x .
Najteži su zadaci u kojima integrand uključuje trigonometrijske funkcije s različitim argumentima. Da biste to učinili, morate koristiti osnovne formule trigonometrije, pa ih je poželjno zapamtiti napamet ili držati zapis pri ruci.
Primjer 1
Pronađite skup antiderivata funkcije y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 sin (3 x) .
Riješenje
Koristimo formule za smanjenje snage i zapišemo da je cos 2 x 2 = 1 + cos x 2 i cos 2 2 x = 1 + cos 4 x 2. Sredstva,
y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 sin (3 x) = sin (4 x) + 2 1 + cos 4 x 2 sin x cos (3 x) + 2 1 + cos x 2 - 1 sin (3 x) = = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x)
U nazivniku imamo formulu za sinus zbroja. Onda to možete napisati ovako:
y = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x) = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin (4 x ) = = 1 + cos (4 x) sin (4 x)
Imamo zbroj 3 integrala.
∫ sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x) d x = = ∫ d x + cos (4 x) d x sin (4 x) + ∫ d x sin (4 x) = = x + 1 4 ln ∫ d (sin (4 x)) sin (4 x) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) = = 1 4 ln sin ( 4 x ) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) + C = x + 1 4 ln cos 4 x - 1 + C
U nekim slučajevima, trigonometrijske funkcije koje su pod integralom mogu se svesti na frakcijske racionalne izraze korištenjem standardne metode zamjene. Prvo, uzmimo formule koje izražavaju sin, cos i t g kroz tangentu pola argumenta:
sin x = 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2 , sin x = 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2 , t g x = 2 t g x 2 1 - t g 2 x 2
Također ćemo morati izraziti diferencijal dx u terminima tangenta polukuta:
Budući da je d t g x 2 \u003d t g x 2 "d x \u003d d x 2 cos 2 x 2, tada
d x = 2 cos 2 x 2 d t g x 2 = 2 d t g x 2 1 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 cos 2 x 2 + sin 2 x 2 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 1 + t g 2 x 2
Dakle, sin x \u003d 2 z 1 + z 2, cos x 1 - z 2 1 + z 2, t g x 2 z 1 - z 2, d x \u003d 2 d z 1 + z 2 na z \u003d t g x 2.
Primjer 2
Pronađite neodređeni integral ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 .
Riješenje
Koristimo standardnu trigonometrijsku metodu supstitucije.
2 sin x + cos x + 2 = 2 2 z 1 + z 2 + 1 - z 2 1 + z 2 = z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 ⇒ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z 1 + z 2 z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3
Dobivamo da je ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3 .
Sada možemo proširiti integrand u jednostavne razlomke i dobiti zbroj dvaju integrala:
∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 ∫ 2 d z z 2 + 4 z + 3 = 2 ∫ 1 2 1 z + 1 - 1 z + 3 d z = = ∫ d z z + 1 - ∫ C z + 3 = ln z + 1 - log z + 3 + C = log z + 1 z + 3 + C
∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln z + 1 z + 3 + C = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C
Odgovor: ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C
Važno je napomenuti da one formule koje izražavaju funkcije u terminima tangenta pola argumenta nisu identiteti, stoga je rezultirajući izraz ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C skup antiderivata funkcije y = 1 2 sin x + cos x + 2 samo na domeni definicije.
Za rješavanje drugih vrsta problema možete koristiti osnovne metode integracije.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Tu će biti i zadaci za samostalno rješenje na koje možete vidjeti odgovore.
Integrand se može pretvoriti iz umnoška trigonometrijskih funkcija u zbroj
Razmotrimo integrale u kojima je integrand umnožak sinusa i kosinusa prvog stupnja od x pomnoženih različitim faktorima, odnosno integrale oblika
Koristeći poznate trigonometrijske formule
(2)
(3)
(4)
može se svaki od proizvoda u integralima oblika (31) transformirati u algebarski zbroj i integrirati formulama
(5)
(6)
Primjer 1 Pronaći
Riješenje. Prema formuli (2) at
Primjer 2 Pronaći integral trigonometrijske funkcije
Riješenje. Prema formuli (3) at 
Primjer 3 Pronaći integral trigonometrijske funkcije
Riješenje. Prema formuli (4) at 
dobivamo sljedeću transformaciju integranda:
Primjenom formule (6) dobivamo
Integral umnoška potencija sinusa i kosinusa istog argumenta
Razmotrimo sada integrale funkcija koji su proizvod potencija sinusa i kosinusa istog argumenta, t.j.
(7)
U posebnim slučajevima, jedan od pokazatelja ( m ili n) može biti nula.
Pri integraciji takvih funkcija koristi se da se parna snaga kosinusa može izraziti u terminima sinusa, a diferencijal sinusa jednak je cos x dx(ili se parna snaga sinusa može izraziti kroz kosinus, a kosinusni diferencijal je - sin x dx ) .
Treba razlikovati dva slučaja: 1) barem jedan od pokazatelja m i n neparan; 2) oba pokazatelja su parna.
Neka se dogodi prvi slučaj, odnosno eksponent n = 2k+ 1 - neparan. Zatim, s obzirom na to
Integrand je predstavljen na način da je jedan njegov dio funkcija samo sinusa, a drugi diferencijal sinusa. Sada s promjenom varijable t= grijeh x rješenje se svodi na integraciju polinoma s obzirom na t. Ako samo stupanj m je neparan, onda učinite isto, odvajajući faktor sin x, izražavajući ostatak integranda u terminima cos x a pod pretpostavkom t= cos x. Ovaj pristup se također može koristiti kada integracija parcijalnih potencija sinusa i kosinusa , kada barem jedan od pokazatelja je neparan . Cijela poanta je u tome kvocijent potencija sinusa i kosinusa poseban je slučaj njihova proizvoda : kada je trigonometrijska funkcija u nazivniku integranda, njezin je stupanj negativan. Ali postoje i slučajevi djelomičnih trigonometrijskih funkcija, kada su njihovi stupnjevi samo parni. O njima - sljedeći odlomak.
Ako oba pokazatelja m i n su parni, onda koristeći trigonometrijske formule
smanjiti eksponente sinusa i kosinusa, nakon čega će se dobiti integral istog tipa kao gore. Stoga integraciju treba nastaviti na isti način. Ako je jedan od parnih pokazatelja negativan, odnosno uzima se u obzir kvocijent parnih snaga sinusa i kosinusa, tada ova shema nije prikladna . Tada se koristi promjena varijable, ovisno o tome kako se integrand može transformirati. Takav slučaj će biti razmotren u sljedećem odjeljku.
Primjer 4 Pronaći integral trigonometrijske funkcije
Riješenje. Eksponent kosinusa je neparan. Stoga, zamislite
t= grijeh x(zatim dt= cos x dx ). Onda dobivamo
Vraćajući se na staru varijablu, konačno nalazimo
Primjer 5 Pronaći integral trigonometrijske funkcije
.
Riješenje. Eksponent kosinusa, kao u prethodnom primjeru, je neparan, ali više. Zamisliti
i izvrši promjenu varijable t= grijeh x(zatim dt= cos x dx ). Onda dobivamo
Otvorimo zagrade
i dobiti
Vraćajući se na staru varijablu, dobivamo rješenje
Primjer 6 Pronaći integral trigonometrijske funkcije
Riješenje. Eksponenti sinusa i kosinusa su parni. Stoga transformiramo integrand na sljedeći način:
Onda dobivamo
U drugom integralu vršimo promjenu varijable, postavke t= sin2 x. Zatim (1/2)dt= cos2 x dx . posljedično,
Napokon dobivamo
Korištenje metode zamjene varijable
Varijabilna metoda zamjene pri integraciji trigonometrijskih funkcija može se koristiti u slučajevima kada je u integrandu prisutan samo sinus ili samo kosinus, umnožak sinusa i kosinusa, u kojem je sinus ili kosinus u prvom stupnju, tangent ili kotangens, također kao kvocijent parnih potencija sinusa i kosinusa jednog te istog argumenta. U ovom slučaju moguće je izvršiti permutacije ne samo grijeh x = t i grijeh x = t, ali i tg x = t i ctg x = t .
Primjer 8 Pronaći integral trigonometrijske funkcije
.
Riješenje. Promijenimo varijablu: , zatim . Rezultirajući integrand lako se integrira preko tablice integrala:
.
Primjer 9 Pronaći integral trigonometrijske funkcije
Riješenje. Pretvorimo tangentu u omjer sinusa i kosinusa:
Promijenimo varijablu: , zatim . Rezultirajući integrand je tablični integral sa znakom minus:
.
Vraćajući se na izvornu varijablu, konačno dobivamo:
.
Primjer 10 Pronaći integral trigonometrijske funkcije
Riješenje. Promijenimo varijablu: , zatim .
Transformiramo integrand kako bismo primijenili trigonometrijski identitet 
:
Izvodimo promjenu varijable, ne zaboravljajući staviti znak minus ispred integrala (vidi gore, koliko je jednako dt). Zatim razlažemo integrand na faktore i integriramo prema tablici:
Vraćajući se na izvornu varijablu, konačno dobivamo:
.
Pronađite sami integral trigonometrijske funkcije, a zatim pogledajte rješenje
Univerzalna trigonometrijska zamjena
Univerzalna trigonometrijska zamjena može se koristiti u slučajevima kada integrand ne spada u slučajeve razmatrane u prethodnim paragrafima. U osnovi kada je sinus ili kosinus (ili oboje) u nazivniku razlomka. Dokazano je da se sinus i kosinus mogu zamijeniti drugim izrazom koji sadrži tangens polovice izvornog kuta na sljedeći način:
Ali imajte na umu da univerzalna trigonometrijska zamjena često uključuje prilično složene algebarske transformacije, pa je najbolje koristiti kada nijedna druga metoda ne radi. Pogledajmo primjere kada se uz univerzalnu trigonometrijsku supstituciju koristi zamjena pod znakom diferencijala i metoda neodređenih koeficijenata.
Primjer 12. Pronaći integral trigonometrijske funkcije
.
Riješenje. Riješenje. Koristimo se univerzalna trigonometrijska zamjena. Zatim 
.
Pomnožimo razlomke u brojniku i nazivniku s , te izvadimo dvojku i stavimo je ispred znaka integrala. Zatim
Detaljno se razmatraju primjeri rješenja integrala po dijelovima čiji je integrand umnožak polinoma i eksponencijala (e na stepen x) ili sinusa (sin x) ili kosinusa (cos x).
SadržajVidi također: Način integracije po dijelovima
Tablica neodređenih integrala
Metode izračunavanja neodređenih integrala
Osnovne elementarne funkcije i njihova svojstva
Formula integracije po dijelovima
Prilikom rješavanja primjera u ovom odjeljku koristi se formula za integraciju po dijelovima:
;
.
Primjeri integrala koji sadrže umnožak polinoma i sin x, cos x ili e x
Evo primjera takvih integrala:
, , .
Za integraciju takvih integrala, polinom se označava s u, a ostatak s v dx. Zatim se primjenjuje formula integracije po dijelovima.
U nastavku je detaljno rješenje ovih primjera.
Primjeri rješavanja integrala
Primjer s eksponentom, e na stepen x
Definiraj integral:
.
Uvodimo eksponent pod predznakom diferencijala:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).
Integriramo po dijelovima.
ovdje
.
Preostali integral je također integrabilan po dijelovima.
.
.
.
Konačno imamo:
.
Primjer definiranja integrala sa sinusom
Izračunaj integral:
.
Uvodimo sinus pod znakom diferencijala:
Integriramo po dijelovima.
ovdje je u = x 2 , v = cos(2x+3), du = (
x2 )′
dx
Preostali integral je također integrabilan po dijelovima. Da bismo to učinili, uvodimo kosinus pod znakom diferencijala.
ovdje je u = x, v = grijeh (2x+3), du = dx
Konačno imamo:
Primjer umnoška polinoma i kosinusa
Izračunaj integral:
.
Uvodimo kosinus pod znakom diferencijala:
Integriramo po dijelovima.
ovdje je u = x 2+3x+5, v = sin2x, du = (
x 2 + 3 x + 5 )′
dx
Prikazane su osnovne trigonometrijske formule i osnovne supstitucije. Prikazane su metode za integraciju trigonometrijskih funkcija - integracija racionalnih funkcija, umnožak funkcija stepena sin x i cos x, umnožak polinoma, eksponenta i sinusa ili kosinusa, integracija inverznih trigonometrijskih funkcija. Pogođene nestandardne metode.
SadržajStandardne metode za integraciju trigonometrijskih funkcija
Opći pristup
Prvo, ako je potrebno, integrand se mora transformirati tako da trigonometrijske funkcije ovise o jednom argumentu, koji bi se podudarao s integracijskom varijablom.
Na primjer, ako integrand ovisi o sin(x+a) i cos(x+b), tada biste trebali izvršiti transformaciju:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + sin(x+a) sin(b-a).
Zatim izvršite promjenu z = x+a . Kao rezultat toga, trigonometrijske funkcije ovisit će samo o integracijskoj varijabli z.
Kada trigonometrijske funkcije ovise o jednom argumentu, koji se podudara s integracijskom varijablom (recimo da je to z), to jest, integrand se sastoji samo od funkcija tipa grijeh z,
cos z,
tgz,
ctgz, tada morate izvršiti zamjenu
.
Takva zamjena dovodi do integracije racionalnih ili iracionalnih funkcija (ako postoje korijeni) i omogućuje izračunavanje integrala ako je integriran u elementarne funkcije.
Međutim, često možete pronaći druge metode koje vam omogućuju da izračunate integral na kraći način, na temelju specifičnosti integranda. U nastavku je sažetak glavnih takvih metoda.
Metode za integraciju racionalnih funkcija sin x i cos x
Racionalne funkcije iz grijeh x i cos x su funkcije izvedene iz grijeh x,
cos x i sve konstante koje koriste operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i podizanja na cijeli broj. Označavaju se na sljedeći način: R (sinx, cosx). To također može uključivati tangente i kotangense, budući da se formiraju dijeljenjem sinusa kosinusom i obrnuto.
Integrali racionalnih funkcija imaju oblik:
.
Metode za integraciju racionalnih trigonometrijskih funkcija su sljedeće.
1) Zamjena uvijek vodi do integrala racionalnog razlomka. Međutim, u nekim slučajevima postoje zamjene (vidi dolje) koje rezultiraju kraćim izračunima.
2) Ako je R (sinx, cosx) cos x → - cos x grijeh x.
3) Ako je R (sinx, cosx) pomnoženo s -1 prilikom zamjene sin x → - sin x, tada je zamjena t = cos x.
4) Ako je R (sinx, cosx) ne mijenja kao kod istodobne zamjene cos x → - cos x, i sin x → - sin x, tada je zamjena t = tg x ili t= ctg x.
primjeri:
,
,
.
Umnožak funkcija stepena cos x i sin x
Integrali oblika
su integrali racionalnih trigonometrijskih funkcija. Stoga se metode navedene u prethodnom odjeljku mogu primijeniti na njih. U nastavku razmatramo metode temeljene na specifičnostima takvih integrala.
Ako su m i n racionalni brojevi, tada je jedna od permutacija t = grijeh x ili t= cos x integral se svodi na integral diferencijalnog binoma.
Ako su m i n cijeli brojevi, tada se integracija izvodi pomoću redukcijskih formula:
;
;
;
.
Primjer:
.
Integrali iz umnoška polinoma i sinusa ili kosinusa
Integrali oblika:
,
,
gdje je P(x) polinom u x integrirani su po dijelovima. To rezultira sljedećim formulama:
;
.
primjeri:
,
.
Integrali iz umnoška polinoma, eksponenta i sinusa ili kosinusa
Integrali oblika:
,
,
gdje je P(x) polinom u x , integrirani su korištenjem Eulerove formule
e iax = cos sjekira + isin sjekira(gdje je i 2 = - 1
).
Za to, metoda opisana u prethodnom odlomku izračunava integral
.
Odvajanjem realnog i imaginarnog dijela od rezultata dobivaju se izvorni integrali.
Primjer:
.
Nestandardne metode za integraciju trigonometrijskih funkcija
Ispod je niz nestandardnih metoda koje vam omogućuju izvođenje ili pojednostavljenje integracije trigonometrijskih funkcija.
Ovisnost o (a sin x + b cos x)
Ako integrand ovisi samo o a sin x + b cos x, korisno je primijeniti formulu:
,
gdje .
Na primjer
Razlaganje razlomaka iz sinusa i kosinusa na jednostavnije razlomke
Razmotrimo integral
.
Najlakši način za integraciju je razlaganje razlomka na jednostavnije, primjenom transformacije:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)
Integracija razlomaka prvog stupnja
Prilikom izračunavanja integrala
,
zgodno je odabrati cjelobrojni dio razlomka i derivaciju nazivnika
a 1 sin x + b 1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .
Konstante A i B nalaze se usporedbom lijeve i desne strane.
Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, Lan, 2003.
