Probabilitatea unui eveniment. Determinarea probabilității unui eveniment. Tutorial pe teoria evenimentelor de probabilitate și a clasificării acestora

17.11.2020

Studiu

Evenimente aleatorii și ale lorclasificare

Definiția de probabilitate clasică

Calculul direct al probabilităților

§ 1. Evenimente aleatorii și clasificarea acestora

1. Probabilitățile probabilităților sunt numite un eveniment aleatoriu că, dacă există unele complexe de condiții pot apărea sau nu se întâmplă. De exemplu, atunci când aruncați o monedă, o emblemă sau o grămadă poate cădea, astfel încât evenimentele "Când aruncați o monedă, stratul de arme au căzut" și "Când aruncați o monedă, un râu a căzut" - evenimente aleatorii.

Când aruncați o monedă și zborul pe cel din urmă - mulți factori aleatorii (forța cu care este aruncată moneda, forma monedei etc.). Prin urmare, cu fiecare aruncare separată a monedei, apariția stema sau a graba este imposibilă, totuși, în teoria probabilităților unei astfel de sarcini și nu a fost pusă. Cu toate acestea, dacă aruncați o monedă un număr mare de ori, de exemplu 10.000 de ori sau mai mult, cu același complex de condiții S., acesta este raportul dintre număr t.aparițiile stema la numărul total p,experimentele executate cu o monedă vor fi aproape de.

Dăm un alt exemplu: în conformitate cu datele statistice privind fiecare 1000 de nou-născuți reprezintă 515, adică 51,5%, băieți și 485, adică 48,5%, fete cu o deviație minoră într-o direcție sau alta dintre numerele menționate. Acest model are loc pentru toate popoarele indiferent de condițiile economice, geografice și alte condiții, dar se observă numai atunci când evenimentele (fertilitatea) sunt masive.

Teoria probabilității Există o secțiune de matematică, care studiază modelele evenimentelor aleatorii omogene de masă.

Statistici matematice Există, de asemenea, o secțiune de matematică dedicată metodelor matematice de sistematizare, prelucrare și utilizare a datelor statistice pentru concluziile științifice și practice.

Statisticile matematice utilizează metodele diferitelor regiuni ale matematicii și, în primul rând, teoria probabilității.

Originea și dezvoltarea teoriei de probabilitate și a statisticilor matematice, precum și orice altă știință, este strâns legată de nevoia vitală a oamenilor, cu dezvoltarea forțelor productive ale societății. De exemplu, organizarea companiilor de asigurări, recensământul populației, soluția sarcinilor care rezultă în jocurile de noroc, metodele de prelucrare a diferitelor rezultate de observare, în special evaluarea erorilor aleatorii și a numeroaselor întrebări, a căror soluție a contribuit la apariție și dezvoltarea acestor două ramuri de matematică.

Teoria probabilității datorită lucrărilor lui Guygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), P. Farm (1601-1665) și în special Ya. Bernoulli (1654-1705) devine știință deja în secolul al XVII-lea.

Cei mai mari reprezentanți ai acestei științe din XVIII și în prima jumătate a secolului al XIX-lea au fost matematica P. Laplace (1749-1827), K. Gauss (1777-1855) și S. Poisson (1781-1840). Lucrările acestor oameni de știință au oferit posibilitatea de a aplica metode pe bază științifice în teoria probabilităților.

Mai ales că teoria probabilității dezvoltată în a doua jumătate a XIX și în secolul al XX-lea în legătură cu aplicarea metodelor de cercetare statistică de diverse aspecte și a devenit o bază teoretică a statisticilor matematice. Această perioadă a fost marcată de descoperirile fundamentale în domeniul teoriei probabilității de către matematicienii ruși ai Școlii Matematice Sankt Petersburg PL Chebyshev (1821-1894) (Creatorul acestei școli) și celebrele sale studenți am Lyapunov (1857-1918) și AA Markov (1856-1922).

O școală matematică modernă ocupă un loc de frunte în multe ramuri ale matematicii moderne, în special în domeniul teoriei probabilității și al statisticilor matematice.

Strângerea logică a teoriei de probabilitate a avut loc în secolul al XX-lea și este asociată cu numele matematicienilor sovietici, în primul rând cu numele lui A. N. Kolmogorov. Cei mai mari reprezentanți ai acestui domeniu de știință sunt matematicienii S. N. Bernstein, B. V. Godenko, V. I. Romanovsky, E. E. Slutsky, N. V. Smirnov, A. Ya. Hinchin, B. S. YASTREMSKY și alții.

2. În mod similar, în geometrie, primele concepte sunt punctul și direct, în teoria probabilităților, primele concepte sunt evenimentul și probabilitatea.

Evenimentse numește un fenomen care are sens să spunem că sa întâmplat sau nu sa întâmplat (apare sau nu se întâmplă, va avea loc sau nu se va întâmpla).

Evenimentele pot fi împărțite în trei tipuri: de încredereimposibilăaleatoriu.

Evenimentul este numit de încrederem, dacă se efectuează în implementarea acestui complex, trebuie să apară condițiile S. De exemplu, dacă numai bilele albe sunt în urnă, atunci extracția urului alb-ului este un eveniment fiabil. Dăm un alt exemplu. În următoarea ediție a unui eveniment de împrumut de stat de 3%, că unele obligațiuni ale acestui împrumut beneficiază, în mod fiabil. În viitor, în loc să vorbească "în implementarea acestui complex de condiții S", vom spune mai scurte: "Când testați" sau "În experiență"

În primul exemplu, cele de mai sus, extracția mingelor mingea este un test și apariția unei bile albe - un eveniment.

În al doilea exemplu, următoarea circulație a unui împrumut de stat de 3% este un test (experiență), un câștig de legătură de acest împrumut este un eveniment.

Evenimentul este numit imposibilDacă nu se poate întâmpla când este testat. De exemplu, numai bilele albe sunt conținute în urnă. Extragerea de la Blow Ball născut - Evenimentul este imposibil.

Evenimentul este numit aleatoriuDacă poate apărea sau nu apare la testarea. De exemplu, precipitarea în Minsk pe 1 mai 1980, un eveniment aleatoriu.

Evenimentele aleatoare sunt obișnuite pentru a denota cu majuscule ale alfabetului latin: DAR,LA,C, ..., scrisoare de încredere U. Și scrisoarea imposibilă V.. Să dăm mai multe definiții.

Evenimente
numit comun (Compatibil în cazul în care apariția uneia dintre ele nu exclude posibilitatea apariției altora. De exemplu, să fie efectuată ținta fiecărui pistol, numărul căruia este trei. Este clar că nu exclude posibilitatea Introducerea țintei de la toate cele trei arme. În consecință, aceste trei evenimente sunt comune.

Evenimente
numit nES.overnfă (incompatibilă) Dacă ofensiva una dintre ele elimină posibilitatea apariției oricărui altul. De exemplu, atunci când aruncați o monedă, depunerea stemului elimină posibilitatea apariției râului.

Evenimente
numit singurul posibil Și dacă cel puțin unul dintre ele este sigur când este testat.

Exemplul 1.Lăsați-o în urnă să conțină bile albe, negre și roșii. Scoateți mingea din urnă, poate fi alb (eveniment DAR),negru (eveniment LA)sau roșu (eveniment cu). Prin definiție, aceste trei evenimente DAR,LA,CU- Singura posibilă.

Evenimente
singura posibilă și inconsecvențele sunt numite un sistem complet de evenimente.

Exemplul 2.Un cub, pe marginea care a marcat numărul de puncte de la 1 la 6, se numește osul de joc. Se presupune că cubul este fabricat din material omogen.

Când aruncați un zaruri de joc, una, două, trei, patru, cinci sau șase puncte pot cădea. Denotă evenimentele menționate, respectiv,
. Aceste evenimente sunt singurele posibile și inconsecvențe, prin urmare, ele formează un sistem complet de evenimente.

Două evenimente numai posibile și incomplete sunt numite evenimente opuse.

În cazul în care o DAR -un eveniment, atunci evenimentul opus este indicat .

Exemplu3. Când aruncați o monedă, moneda poate cădea sau o grămadă. Aceste evenimente sunt opuse.

Evenimentele opuse vor fi: "Pass" și "nu trece" examenul, "câștiga" și "nu câștigă" pe biletul de loterie, "obține" și "nu" în țintă atunci când o lovitură de arme.

Dacă cu fiecare implementare a setului de condiții, în care apare evenimentul DAR,evenimentul se întâmplă LA,ei spun asta DARimplică LA,Și acest fapt este notat de un simbol. A. B. sau B.
DAR.

Dacă există un loc în același timp A. B. sau B.
DAR, apoi evenimente DARși LAnumit echivalent. În acest caz, ei scriu A \u003d c.

Astfel, evenimente echivalente DARși LAcu fiecare test, ambele apar, fie ambele nu apar.

Exemplul 4.Redarea osului a aruncat o singură dată. Lăsați șase puncte sălumească (eveniment DAR).Denotă de LAchiar și numărul prin CU- numărul de puncte împărțite la 3. Evident, A. B. A. CU .

Exemplu5. În urnă o minge albă și trei negru. Toate bilele sunt renumerotate. Lăsați mingea albă să aibă un număr 1. Când scoateți o minge de la vot de aspectul minge albă, denotăm scrisoarea DAR,Și evenimentul de apariție a unei bile 1 este indicat de scrisoare LA.Este evident că A. B. și LADAR, i.E. Evenimente A și B.echivalent și, prin urmare, puteți scrie A \u003d c.

Teoria probabilității - Știința matematică, care studiază tiparele fenomenelor aleatorii. În fenomene aleatorii, fenomene cu rezultate nedeterminate care apar în timpul unei reproduceri repetate a unui anumit set de condiții.

De exemplu, atunci când aruncați monede, nu puteți prezice ce parte va cădea. Rezultatul aruncării monedelor este cazul. Dar, cu un număr mare dinamic de degete ale monedei, există un anumit model (stema și zăbrele vor cădea în același număr de ori).

Conceptele de bază ale teoriei probabilității

Testarea (experiență, experiment) - Punerea în aplicare a unui anumit set de condiții în care se observă unul sau altul, un anumit rezultat este înregistrat.

De exemplu: resetarea osului de joc cu căderea punctelor; diferența de temperatură a aerului; Metoda de tratare a bolii; Perioada de viață a unei persoane.

Eveniment aleatoriu (sau doar un eveniment) - testul Exodus.

Exemple de evenimente aleatorii:

pierderea unui punct atunci când aruncați un os de joc;

agravarea bolii cardiace ischemice cu o creștere accentuată a temperaturii aerului în timpul verii;

dezvoltarea complicațiilor bolii cu selecție incorectă a metodei de tratament;

admiterea la universitate cu studii școlare de succes.

Evenimentele indică majuscule ale Latin Alpha Vita: A. , B. , C. , …

Evenimentul este numit de încredere Dacă, ca urmare a testului, trebuie să apară.

Evenimentul este numit imposibil Dacă, ca urmare a testului, nu se poate întâmpla deloc.

De exemplu, dacă în lot, toate produsele sunt standard, apoi extracția unui produs standard din IT - un eveniment fiabil și extracția în aceleași condiții a produsului defect este un eveniment imposibil.

Definiția de probabilitate clasică

Probabilitatea este una dintre conceptele de bază ale teoriei probabilității.

Probabilitate clasică de eveniment numit raportul dintre numărul de cazuri favorizate de eveniment , la numărul total de cazuri, adică.

, (5.1)

unde
- probabilitatea unui eveniment ,

- numărul de cazuri care favorizează evenimentele ,

- Numărul total de cazuri.

Proprietățile evenimentului unui eveniment

Probabilitatea oricărui eveniment este încheiată între zero și unitate, adică

Probabilitatea unui eveniment fiabil este egală cu una, adică.

Probabilitatea evenimentului imposibil este zero, adică.

(Sugerați pentru a rezolva câteva sarcini simple oral).

Definirea statistică a probabilității

În practică, adesea atunci când evaluează probabilitatea evenimentelor se bazează pe cât de des acest eveniment va apărea în teste. În acest caz, se utilizează definiția statistică a probabilității.

Probabilitatea statistică a evenimentului numită limita de frecvență relativă (raportul dintre numărul de cazuri m. conducând la apariția unui eveniment la numărul total Testele produse), atunci când numărul de teste tinde la infinit, adică.

unde
- Șanse statistice a unui eveniment ,
- numărul de teste în care a apărut un eveniment , - Testul total.

Spre deosebire de probabilitatea clasică, probabilitatea statistică este caracteristica experienței. Probabilitatea clasică este utilizată pentru calcularea teoretică a probabilității evenimentului asupra condițiilor specificate și nu necesită efectuarea încercărilor în realitate. Formula de probabilitate statistică este utilizată pentru a determina experimental probabilitatea unui eveniment, adică. Se presupune că testele au fost efectuate de fapt.

Probabilitatea statistică este aproximativ egală cu frecvența relativă a evenimentului aleator, astfel încât, în practică, frecvența relativă este luată pentru probabilitatea statistică, deoarece Probabilitatea statistică nu poate fi găsită.

Definiția statistică a probabilității este aplicabilă evenimentelor aleatorii care posedă următoarele proprietăți:

Teoreme de adăugare și multiplicare a probabilităților

Noțiuni de bază

a) singurele evenimente posibile

Evenimente
Ele sunt numite singura posibilă dacă, ca urmare a fiecărui test, cel puțin unul dintre ei va veni cu siguranță.

Aceste evenimente formează un grup complet de evenimente.

De exemplu, atunci când aruncați un cub de joc, sunt posibile singure evenimente care se confruntă cu una, două, trei, patru, cinci și șase pahare. Ele formează un grup complet de evenimente.

b) Evenimentele sunt numite incompleteDacă apariția unuia dintre ele elimină apariția altor evenimente în același test. În caz contrar, ele sunt numite în comun.

c) opus Ei numesc cele două evenimente posibile care formează un grup complet. Denota și .

g.) Evenimentele sunt numite independenteDacă probabilitatea apariției uneia dintre ele nu depinde de Comisie sau de imperfectele altora.

Acțiuni asupra evenimentelor

Suma mai multor evenimente este evenimentul constând în apariția cel puțin a unuia dintre aceste evenimente.

În cazul în care o și - evenimente comune, apoi suma lor
sau
Indică o ofensivă sau eveniment A sau evenimente B sau ambele evenimente împreună.

În cazul în care o și - evenimente incomplete, apoi suma lor
înseamnă o ofensivă sau un eveniment sau evenimente .

Cantitate Evenimentele indică:

Produsul (intersecția) mai multor evenimente este evenimentul constând în ofensiva comună a tuturor acestor evenimente.

Lucrarea a două evenimente denotă
sau
.

Compoziţie Evenimentele sunt notate

Teorema adăugării de probabilitate de evenimente incomplete

Probabilitatea sumei a două sau mai multor inconsecvențe este egală cu suma probabilității acestor evenimente:

Pentru două evenimente;

- pentru evenimente.

Corolar:

a) suma probabilității de evenimente opuse și egală cu una:

Probabilitatea evenimentului opus este indicat :
.

b) probabilitatea Evenimentele care formează un grup complet de evenimente sunt egale cu una: sau
.

Teorema adăugării probabilității de evenimente comune

Probabilitatea sumei a două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitățile intersecției lor, adică.

Teorema de multiplicare a probabilității

a) Pentru două evenimente independente:

b) pentru două evenimente dependente

unde
- Șanse condiționată de un eveniment . Probabilitatea unui eveniment calculate cu condiția ca evenimentul s-a întâmplat.

c) pentru Evenimente independente:

d) probabilitatea unui cel puțin unul dintre evenimente Formarea unui grup complet de evenimente independente:

Probabilitate condițională

Probabilitatea unui eveniment calculate cu condiția ca evenimentul să apară , se numește o probabilitate condiționată de eveniment Și denotă.
sau
.

La calcularea probabilității condiționate prin formula probabilității de clasă-sytică, numărul de rezultate și
calculată cu faptul că înainte de eveniment Evenimentul sa întâmplat .

Inițial, fiind doar o întâlnire a informațiilor și a observațiilor empirice ale jocului în os, teoria probabilității a devenit o știință solidă. Primul care și-a dat cadrul matematic a fost ferma și Pascalul.

De la gândirea despre teoria veșnică la probabilitate

Două personalități care sunt obligate de numeroase formule fundamentale, Blaise Pascal și Thomas Bayes, sunt cunoscute ca credincioși profund, acesta din urmă era preotul presbiterian. Aparent, dorința acestor doi oameni de știință pentru a dovedi eroarea de vedere asupra unui fel de avere, dând noroc animalelor lor de companie, a dat un impuls la cercetarea în acest domeniu. La urma urmei, de fapt, orice joc de noroc cu câștigurile și pierderile sale este doar o simfonie a principiilor matematice.

Datorită Cavallerului Azart, care era în mod egal un jucător și o persoană care nu este indiferentă față de știință, Pascal a fost forțat să găsească o modalitate de a calcula probabilitatea. Deversarea a fost interesată de o astfel de întrebare: "De câte ori ar trebui să aruncați două oase în perechi, astfel încât probabilitatea de a obține 12 puncte a depășit 50%?". A doua întrebare este extrem de interesată de Cavallar: "Cum să împărtășiți un pariu între participanții la un joc neterminat?" Desigur, Pascal a răspuns cu succes la ambele întrebări, care a devenit impulsul involuntar pentru dezvoltarea teoriei de probabilitate. Interesant, persoana persoanei a rămas cunoscută în domeniu și nu în literatură.

Anterior, nici un matematician nu a făcut încă încercări de a calcula probabilitățile evenimentelor, deoarece sa crezut că aceasta este doar o decizie a lui Gady. Blaise Pascal a dat prima definiție a probabilității unui eveniment și a arătat că aceasta este o figură specifică care poate fi justificată cu mijloace matematice. Teoria probabilității a devenit baza pentru statistici și este utilizat pe scară largă în știința modernă.

Ce este accidentele

Dacă luăm în considerare testarea că puteți repeta numărul infinit de ori, puteți defini un eveniment aleatoriu. Acesta este unul dintre rezultatele probabile ale experienței.

Experiența este punerea în aplicare a acțiunilor concrete în condiții constante.

Pentru a lucra cu rezultatele experienței, evenimentele sunt, de obicei, denumite prin literele A, B, C, D, E ...

Probabilitatea unui eveniment aleatoriu

Astfel încât să puteți începe partea matematică a probabilității, trebuie să definiți toate componentele sale.

Probabilitatea unui eveniment este pronunțată în forma numerică a măsurii apariției unui anumit eveniment (a sau b) ca urmare a experienței. Este indicată probabilitatea ca P (a) sau P (b).

În teoria probabilității, distingeți:

de încredere Evenimentul este garantat ca rezultat al experimentului P (Ω) \u003d 1;
imposibil Evenimentul nu poate apărea niciodată P (Ø) \u003d 0;
aleatoriu Evenimentul se află între fiabile și imposibile, adică, probabilitatea apariției sale este posibilă, dar nu garantată (probabilitatea unui eveniment aleator este întotdeauna în cadrul 0≤p (a) ≤ 1).

Relații între evenimente

Luați în considerare atât aceleași și suma evenimentelor de A + B, când evenimentul este numărat în implementarea a cel puțin uneia dintre componente, A sau B sau atât - a și V.

În raport cu celălalt, evenimentele pot fi:

Echilibru.
Compatibil.
Incompatibil.
Opus (exclusiv).
Dependent.

Dacă două evenimente pot apărea cu o probabilitate egală, atunci ei echilibru.

Dacă apariția unui eveniment și nu reduce probabilitatea apariției unui eveniment B, atunci ei compatibil.

Dacă evenimentele A și B nu se întâmplă niciodată simultan în aceeași experiență, sunt chemați incompatibil. Aruncarea monedelor este un exemplu bun: apariția graimenului este automat defectarea vulturului.

Probabilitatea pentru cantitatea de astfel de evenimente incompatibile constă în probabilitatea fiecărui eveniment:

P (A + C) \u003d P (a) + P (c)

Dacă debutul unui eveniment face imposibilă apariția altor, ele sunt numite opuse. Apoi unul dintre ei este desemnat ca A, iar celălalt - (citiți ca "nu este"). Apariția unui eveniment înseamnă că nu sa întâmplat. Aceste două evenimente formează un grup complet cu suma probabilității egală cu 1.

Evenimentele dependente au o influență reciprocă, reducerea sau creșterea probabilității reciproce.

Relații între evenimente. Exemple

Exemplele sunt mult mai ușor de înțeles principiile teoriei de probabilitate și a combinațiilor de evenimente.

Experiența care va fi efectuată este să scoată bilele din cutie, iar rezultatul fiecărei experiențe este un rezultat elementar.

Evenimentul este unul dintre rezultatele posibile ale experienței - o minge roșie, o minge albastră, o minge cu un număr de șase, etc.

Numărul de testare 1. Sunt implicate 6 bile, dintre care trei sunt pictate în albastru, numerele impare sunt aplicate pe ele, iar alte trei sunt roșii cu numere chiar și cu numere.

Numărul de testare 2. 6 bile de albastru cu numere de la unu la șase sunt implicate.

Pe baza acestui exemplu, puteți apela combinații:

Eveniment fiabil. În №2 Evenimentul "Obțineți o minge albastră" este fiabil, deoarece probabilitatea apariției sale este egală cu 1, deoarece toate bilele albastre și dor nu pot fi. În timp ce evenimentul "obține o minge cu un număr 1" este aleator.
Eveniment imposibil. În №1 cu bile albastre și roșii, evenimentul "obține o minge purpurită" este imposibil, deoarece probabilitatea apariției sale este 0.
Evaluări egale. În №1 Evenimente "Obțineți o minge cu un număr de 2" și "obțineți o minge cu un echilibru de numărul 3" și evenimentele "obține o minge cu un număr par" și "obține o minge cu un număr 2" au o probabilitate diferită .
Evenimente compatibile. De două ori la rând pentru a obține șase în proces de aruncare a unui os de joc - acestea sunt evenimente compatibile.
Evenimente incompatibile. În același ISP. №1 Evenimente "Obțineți o minge roșie" și "obțineți o minge cu un număr impar" nu poate fi combinată în aceeași experiență.
Evenimente opuse. Cel mai frapant exemplu al acestui lucru este de a arunca monede atunci când vulturul de tragere este echivalent cu non-captivitatea râului, iar suma probabilităților lor este întotdeauna 1 (grup complet).
Evenimente dependente. Deci, în ISP. №1 Puteți seta obiectivul de a scoate balonul roșu de două ori la rând. Extracția sau necunoscutul pentru prima dată afectează probabilitatea de a extrage a doua oară.

Se poate observa că primul eveniment afectează în mod semnificativ probabilitatea a doua (40% și 60%).

Formula probabilității evenimentului

Tranziția de la reflecțiile de gadezie la datele exacte se datorează temei de traducere în planul matematic. Adică, judecățile despre un eveniment aleator, cum ar fi "probabilitatea ridicată" sau "probabilitatea minimă", pot fi transferate la date numerice specifice. Un astfel de material este permis să evalueze, să compară și să se introducă în calcule mai complexe.

Din punctul de vedere al calculului, definiția probabilității unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate pozitive elementare la valoarea tuturor rezultatelor posibile ale experienței unui eveniment relativ specific. Este indicat de probabilitatea P (a), unde R înseamnă cuvântul "probabilitate", care este tradus din franceză ca "probabilitate".

Deci, evenimentul de formula probabilitate:

În cazul în care M este numărul de rezultate favorabile pentru evenimentul A, N - suma tuturor rezultatelor posibile pentru această experiență. În acest caz, probabilitatea evenimentelor se află întotdeauna între 0 și 1:

0 ≤ P (a) ≤ 1.

Calcularea probabilității unui eveniment. Exemplu

Luați vraja. №1 cu bile, descrise anterior: 3 bile albastre cu numere 1/3/5 și 3 roșu cu numere de 2/4/6.

Pe baza acestui test, pot fi vizualizate mai multe sarcini diferite:

A - pierderea castronului roșu. Bilele roșii 3 și opțiunile totale 6. Acesta este cel mai simplu exemplu în care probabilitatea evenimentului este p (a) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
B - pierderea unui număr par. În total, numerele 3 (2,4,6), iar numărul total de variante numerice posibile este 6. Probabilitatea acestui eveniment este p (b) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
C este o pierdere a unui număr mai mare de 2. Opțiunile totale 4 (3,4,5,6) din cantitatea totală de rezultate posibile 6. Probabilitatea unui eveniment cu o (c) \u003d 4/6 \u003d 0,67 .

După cum se poate observa din calcule, evenimentul C are o probabilitate mai mare, deoarece numărul rezultatelor pozitive probabile este mai mare decât în \u200b\u200bA și V.

Evenimente nevalide

Astfel de evenimente nu pot apărea simultan în aceeași experiență. Ca in №1 Este imposibil să ajungeți simultan la mingea albastră și roșie. Adică, puteți obține minge albastră sau roșie. În același mod în osul de joc, un număr egal și impar poate fi în același timp.

Probabilitatea a două evenimente este considerată probabilitatea sumei sau a muncii lor. Cantitatea de astfel de evenimente A + B este considerată a fi un astfel de eveniment care constă în apariția unui eveniment A sau B, iar munca lor este în apariția ambelor. De exemplu, apariția a două șase ori pe marginea a două cuburi într-o singură aruncare.

Suma mai multor evenimente este un eveniment care implică apariția cel puțin a acestuia. Lucrarea mai multor evenimente este apariția comună a tuturor.

În teoria probabilității, de regulă, utilizarea Uniunii "și" denotă suma, uniunea "sau" - multiplicarea. Formulele cu exemple vor ajuta la înțelegerea logicii adăugării și multiplicării în teoria probabilității.

Probabilitatea evenimentelor incomplete

Dacă se ia în considerare probabilitatea unor evenimente incoerente, probabilitatea cantității de evenimente este egală cu adăugarea probabilității lor:

P (A + C) \u003d P (a) + P (c)

De exemplu: Calculați probabilitatea ca în PC. Nr. 1 cu bile albastre și roșii, numărul de 1 și 4. Calculați nu într-o singură acțiune, ci suma probabilităților componentelor elementare. Deci, în această experiență doar 6 bile sau 6 din toate rezultatele posibile. Numerele care satisfac condiția - 2 și 3. Probabilitatea din Figura 2 este 1/6, probabilitatea din Figura 3 este de asemenea 1/6. Probabilitatea ca cifra să cadă între 1 și 4:

Probabilitatea evenimentelor incompatibile ale grupului complet este egală cu 1.

Deci, dacă în experimentul cu un cub, puneți probabilitatea caderii tuturor numerelor, atunci ca rezultat obținem o unitate.

Este, de asemenea, adevărat pentru evenimentele opuse, de exemplu, experiența cu o monedă, în cazul în care o parte este un eveniment A, iar cealaltă este evenimentul opus ā, așa cum este cunoscut,

P (a) + P (ā) \u003d 1

Probabilitatea activității evenimentelor non-proeminente

Multiplicarea probabilităților se aplică atunci când consideră apariția a două sau mai multe evenimente incomplete într-o singură observație. Probabilitatea ca evenimentele A și B să apară simultan, egale cu produsul probabilităților lor sau:

P (A * B) \u003d P (A) * P (B)

De exemplu, probabilitatea ca în ISP. №1 Ca urmare a două încercări, o minge albastră va apărea de două ori, egală cu

Aceasta este, probabilitatea unei apariții unui eveniment, când, ca rezultat al a două încercări de îndepărtare a bilelor, numai bilele albastre vor fi extrase, egale cu 25%. Este foarte ușor să faceți experimente practice ale acestei sarcini și să vedeți dacă este cu adevărat.

Evenimente comune

Evenimentele sunt considerate în comun atunci când apariția uneia dintre ele poate coincide cu apariția altui. În ciuda faptului că acestea sunt comune, este luată în considerare probabilitatea unor evenimente independente. De exemplu, aruncarea a două oase de joc poate da un rezultat atunci când numărul 6 cade pe ambele. Deși evenimentele au coincis și au apărut simultan, ele sunt independente unul de celălalt - doar un șase, al doilea oase nu are o influență asupra lui .

Probabilitatea evenimentelor comune este considerată probabilitatea sumei lor.

Probabilitatea sumei evenimentelor comune. Exemplu

Probabilitatea cantității de evenimente A și B, care, în raport cu reciproc articulațiile, este egală cu suma probabilității evenimentului cu o deducere a probabilității activității lor (adică implementarea comună):

P Comună. (A + C) \u003d P (a) + P (B) - P (AV)

Să presupunem că probabilitatea de a intra în țintă cu o singură lovitură este de 0,4. Apoi, evenimentul a - lovind ținta în prima încercare, în al doilea. Aceste evenimente sunt comune, deoarece este posibil ca obiectivul să poată fi lovit și de la prima și de la a doua lovitură. Dar evenimentele nu sunt dependente. Care este probabilitatea unei apariții unei înfrângeri țintă din două fotografii (cel puțin una)? Conform formulei:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Răspunsul la întrebare este după cum urmează: "Probabilitatea de a intra într-un scop de la două fotografii este de 64%".

Această formulă de probabilitate a evenimentului poate fi, de asemenea, aplicabilă evenimentelor incomplete, în cazul în care probabilitatea apariției evenimentului P (AV) \u003d 0. Aceasta înseamnă că probabilitatea evenimentelor incomplete poate fi considerată un caz special al formulei propuse.

Geometria de probabilitate pentru claritate

Interesant este faptul că probabilitatea cantității de evenimente comune poate fi reprezentată ca două regiuni A și B, care se intersectează împreună. După cum se poate vedea din imagine, zona asociației lor este egală cu suprafața totală pe minut din zonele lor de intersecție. Această explicație geometrică face mai ușor de înțeles ilogic la prima vedere. Rețineți că soluțiile geometrice nu sunt neobișnuite în teoria probabilității.

Determinarea probabilității sumei setului (mai mult de două) evenimente comune este destul de greoaie. Pentru ao calcula, trebuie să utilizați formulele furnizate pentru aceste cazuri.

Evenimente dependente

Evenimentele dependente sunt numite dacă ofensiva unuia (a) dintre ele afectează probabilitatea altor (b). În plus, este luată în considerare influența ambelor evenimente a și a defecțiunilor acesteia. Deși evenimentele sunt numite dependente de definiție, dar numai una dintre ele (b) este dependentă. Probabilitatea obișnuită a fost desemnată ca P (b) sau probabilitatea unor evenimente independente. În cazul dependenților, este introdus un nou concept - probabilitatea condiționată p A (B), care este probabilitatea evenimentului dependent în condiția ca evenimentul A (ipoteza) să apară de la care depinde.

Dar, la urma urmei, un eveniment este, de asemenea, din întâmplare, deci are și o șansă de a avea nevoie și poate fi luată în considerare în calculele calculate. Apoi, exemplul va fi afișat cum să lucrați cu evenimente și ipoteze dependente.

Un exemplu de calcul al probabilității evenimentelor dependente

Un bun exemplu pentru calcularea evenimentelor dependente poate fi o punte standard de carduri.

Pe exemplul unei punți în 36 de cărți, luați în considerare evenimentele dependente. Este necesar să se determine probabilitatea ca a doua carte extrasă de pe punte să fie o tamburină, dacă prima extrasă:

Bubnovy.
Un alt costum.

Este evident că probabilitatea celui de-al doilea eveniment este depinde de primul A. Deci, dacă prima opțiune este adevărată că puntea a devenit 1 carte (35) și 1 tamburină (8) mai puțin, probabilitatea unui eveniment în:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Dacă a doua opțiune este corectă, puntea a devenit 35 de cărți, iar numărul total de tamburine (9) este încă păstrat, apoi probabilitatea următorului eveniment în:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Se poate observa că, dacă evenimentul este convenit în faptul că prima carte este o tamburină, atunci probabilitatea unui eveniment în scăderi și viceversa.

Înmulțirea evenimentelor dependente

Ghidat de capitolul precedent, acceptăm primul eveniment (a) ca fapt, dar dacă spunem în esență, are un caracter aleatoriu. Probabilitatea acestui eveniment, și anume extracția tamburinei de pe punte de carduri, este egală cu:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Deoarece teoria nu există în sine, dar este concepută pentru a servi în scopuri practice, este corect să menționăm că probabilitatea unui produs de evenimente dependente este cel mai adesea necesar.

Potrivit teoremei despre produsul probabilităților de evenimente dependente, probabilitatea apariției evenimentelor A și B dependente sunt egale cu probabilitatea unui eveniment A, înmulțită cu probabilitatea condiționată a unui eveniment în (dependent A):

P (ab) \u003d P (A) * P A (B)

Apoi, în exemplul cu un punte, probabilitatea de a extrage două cărți cu un mahi al tamburinei este:

9/36 * 8/35 \u003d 0,0571 sau 5,7%

Iar probabilitatea de extragere nu este mai întâi o tamburină și apoi tamburinele sunt egale cu:

27/36 * 9/35 \u003d 0,19 sau 19%

Se poate observa că probabilitatea apariției unui eveniment mai mult, cu condiția ca prima carte de extracție să fie extrasă din tamburină. Acest rezultat este destul de logic și de înțeles.

Probabilitate completă de eveniment

Atunci când problema cu probabilități condiționate devine multilaterală, este imposibil să se calculeze metodele obișnuite. Când ipotezele sunt mai mult de două, și anume A1, A2, ... și N, .. răcirea unui grup complet de evenimente furnizate:

P (A i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
A I ∩ A J \u003d Ø, I ≠ J.
Σ k A K \u003d Ω.

Deci, formula pentru o probabilitate completă pentru evenimentul în grupul complet de evenimente aleatorii A1, A2, ... și N este:

O privire în viitor

Probabilitatea unui eveniment aleator este extrem de necesară în multe domenii ale științei: econometrică, statistică, fizică etc., deoarece unele procese nu pot fi determinate, deoarece ele însele au caracter probabilist, sunt necesare metode speciale de lucru. Teoria probabilității unui eveniment poate fi utilizată în orice sferă tehnologică ca o modalitate de a determina posibilitatea unei erori sau a unei defecțiuni.

Se poate spune că, învățând probabilitatea, facem un pas teoretic în viitor într-un fel, privindu-l prin prisma formulei.

Clasificarea evenimentelor pentru posibile, probabile și aleatorie. Conceptele unui eveniment elementar simplu și complex. Operațiuni privind evenimentele. Definirea clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu și a proprietăților sale. Elemente de combinatoare în teoria probabilității. Probabilitate geometrică. Asomii de teorie a probabilității.

Unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilității este conceptul de eveniment. Sub eveniment Înțelegeți orice fapt care poate apărea ca rezultat al experienței sau testelor. Sub experienţă , sau test Aceasta înseamnă punerea în aplicare a unui anumit set de condiții.

Exemple de evenimente:

- lovind ținta atunci când este împușcat de la pistol (experiență - lucrarea împușcării; eveniment - introducerea obiectivului);
- căderea a două straturi cu o aruncare de trei ori a monedei (experiență - aruncare de trei ori a monedei; un eveniment este căderea a două straturi);
- apariția erorii de măsurare la limitele specificate atunci când se măsoară intervalul la țintă (măsurarea la distanță, eroarea de măsurare a evenimentului).

Puteți cite nenumărate exemple similare. Evenimentele sunt indicate de majuscule ale alfabetului latin A, B, C etc.

Distinge partajarea evenimentelor și non-stop . Evenimentele sunt numite comune, în cazul în care ofensiva una dintre ele nu exclude debutul celuilalt. În caz contrar, evenimentul este numit incomplet. De exemplu, două oase de joc sunt legate. Eveniment AA - Punerea a trei puncte pe primul joc de joc, Evenimentul B - Punerea a trei puncte pe al doilea os. A și b - evenimente comune.

Lăsați magazinul să intre în magazin de pantofi de un stil și o dimensiune, ci de culori diferite. Evenimentul A - Rudach a luat caseta va fi cu un pantof negru, un eveniment B - caseta va fi cu un pantof brun, A și B - evenimente incomplete.

Evenimentul este numit de încredere Dacă se va întâmpla cu siguranță în condițiile acestei experiențe.

Evenimentul este numit imposibil dacă nu se poate întâmpla în condițiile acestei experiențe. De exemplu, un eveniment, care constă în faptul că o parte standard va fi luată de la partidul pieselor standard, este fiabilă, iar nestandardul este imposibil.

Evenimentul este numit posibil , sau aleatoriu Dacă, ca urmare a experienței, poate apărea, dar poate să nu apară. Un exemplu de eveniment aleatoriu poate fi identificarea defectelor produsului la controlul unui lot de produse finite, o nerespectare a mărimii produsului care este procesată, defectarea uneia dintre unitățile sistemului de control automat.

Evenimentele sunt numite egal posibil Dacă, în condițiile de testare, niciunul dintre aceste evenimente nu este în mod obiectiv mai mult decât altele. De exemplu, lăsați magazinul să furnizeze becuri electrice (și în cantități egale) mai mulți producători. Evenimentele din achiziționarea de becuri de lumină din oricare dintre aceste plante sunt egale.

Un concept important este grupul complet de evenimente . Mai multe evenimente din această experiență formează un grup complet dacă, ca urmare a experienței, cel puțin unul dintre aceștia va apărea cu siguranță. De exemplu, există zece bile în urnă, dintre care șase bile roșii, patru alb, și cinci bile au numere.

A - aspectul unei minge roșii la o singură extracție,

B - aspectul unui castron alb,

C - apariția unei minge cu numărul. Evenimentele A, B, C formează un grup complet de evenimente comune.

Introducem conceptul de evenimente opuse sau suplimentare. Sub opus Eveniment

AI este înțeleasă ca un eveniment care trebuie să apară dacă nu a existat un eveniment

A. Evenimentele opuse sunt incomplete și singurele posibile. Ele formează un grup complet de evenimente.

Clasificarea evenimentelor

Unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilității este conceptul de eveniment. Sub eveniment Înțelegeți orice fapt care poate apărea ca rezultat al experienței sau testelor. Sub experienţă, sau testAceasta înseamnă punerea în aplicare a unui anumit set de condiții.

Exemple de evenimente:

Puteți cite nenumărate exemple similare. Evenimentele sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin etc.

Distinge partajarea evenimentelor și non-stop. Evenimentele sunt numite comune, în cazul în care ofensiva una dintre ele nu exclude debutul celuilalt. În caz contrar, evenimentul este numit incomplet. De exemplu, două oase de joc sunt legate. Evenimentul este abandonul din trei puncte pe primul os de joc, evenimentul este căderea din trei puncte pe cel de-al doilea os. Și - evenimente comune. Lăsați magazinul să intre în magazin de pantofi de un stil și o dimensiune, ci de diferite culori. Eveniment - Frontiera luată cutia va fi cu un pantof negru, un eveniment - cutia va fi cu un pantof brun și - evenimente incomplete.

Evenimentul este numit de încredereDacă se va întâmpla cu siguranță în condițiile acestei experiențe.

Evenimentul este numit posibil, sau aleatoriuDacă, ca urmare a experienței, poate apărea, dar poate să nu apară. Un exemplu de eveniment aleatoriu poate fi identificarea defectelor produsului la controlul unui lot de produse finite, o nerespectare a mărimii produsului care este procesată, defectarea uneia dintre unitățile sistemului de control automat.

Evenimentele sunt numite egal posibilDacă, în condițiile de testare, niciunul dintre aceste evenimente nu este în mod obiectiv mai mult decât altele. De exemplu, lăsați magazinul să furnizeze becuri electrice (și în cantități egale) mai mulți producători. Evenimentele din achiziționarea de becuri de lumină din oricare dintre aceste plante sunt egale.

Un concept important este grupul complet de evenimente. Mai multe evenimente din această experiență formează un grup complet dacă, ca urmare a experienței, cel puțin unul dintre aceștia va apărea cu siguranță. De exemplu, există zece bile în urnă, dintre care șase bile roșii, patru alb, și cinci bile au numere. - Aspectul unei minge roșii la o singură extracție este apariția unui castron alb - aspectul unei minge cu numărul. Evenimentele formează un grup complet de evenimente comune.

Introducem conceptul de evenimente opuse sau suplimentare. Sub opus Evenimentul este înțeles ca un eveniment care trebuie să apară dacă nu a existat un eveniment. Evenimentele opuse sunt incomplete și singurele posibile. Ele formează un grup complet de evenimente. De exemplu, dacă lotul de produse fabricate constă în adecvate și defecte, atunci la scoaterea unui produs, acesta poate fi fie afluent - un eveniment sau un eveniment defect.

Operațiuni privind evenimentele

La elaborarea aparatului și a metodelor de studiere a evenimentelor aleatorii în teoria probabilității, conceptul de suma și munca de evenimente este foarte importantă.

Suma sau asociația, mai multe evenimente se numește un eveniment constând în apariția cel puțin unul dintre aceste evenimente.

Cantitatea de evenimente este indicată după cum urmează:

De exemplu, dacă un eveniment lovește ținta la prima lovitură, un eveniment - la al doilea, evenimentul este de a intra la toate țintă, indiferent, cu ceea ce o fotografie este prima, a doua sau când ambele împreună.

Lucrarea sau intersecția, mai multe evenimente se numește un eveniment constând în apariția comună a tuturor acestor evenimente.

Este indicată activitatea evenimentelor

De exemplu, dacă evenimentul a lovit țintă la prima fotografie, un eveniment - la al doilea, evenimentul este că scopul a fost lovit la ambele fotografii.

Conceptele valorii și activitatea evenimentelor au o interpretare geometrică vizuală. Lăsați evenimentul să constituie să introducă punctul în zonă, evenimentul - în contact în zonă, atunci evenimentul constă în obținerea punctului în zonă, umbrite în fig. 1, și un eveniment - în punctul de punct la zonă, umbrite în fig. 2.

Definirea clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu

Pentru o comparație cantitativă a evenimentelor în gradul de posibilitate de apariție, este introdusă o măsură numerică, care se numește probabilitatea unui eveniment.

Probabilitatea evenimentului este numită numărul care este o expresie a posibilității obiective a unui eveniment.

Probabilitatea evenimentelor va fi notată de simbol.

Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de cazuri care conduc la acesta, din numărul total al singurei, egale și neconcordanțe ale numărului, adică

Aceasta este o definiție clasică de probabilitate. Astfel, pentru a găsi probabilitatea unui eveniment, este necesar, luând în considerare diverse rezultate ale testului, pentru a găsi un set de cazuri posibile, de echilibru și incoerente, calculează numărul total, numărul de cazuri care favorizează acest eveniment și Apoi calculați formula (1.1).

Din formula (1.1) rezultă că probabilitatea unui eveniment este un număr non-negativ și poate varia în intervalul de la zero la unul, în funcție de faptul că o fracțiune este un număr favorabil de cazuri în numărul total de cazuri:

Proprietăți probabil

Proprietate 1. Dacă toate cazurile sunt favorabile acestui eveniment, acest eveniment se va întâmpla cu siguranță. În consecință, evenimentul în cauză este fiabil și probabilitatea apariției sale, ca în acest caz

Proprietate 2. Dacă nu există un singur caz care să conducă la acest eveniment, acest eveniment nu se poate întâmpla ca urmare a experienței. În consecință, evenimentul examinat este imposibil și probabilitatea apariției sale, ca în acest caz:

Proprietate 3. Probabilitatea apariției evenimentelor care formează un grup complet este egală cu cea.

Proprietate 4. Probabilitatea debutului evenimentului opus este definită în același mod ca și probabilitatea apariției, evenimentelor:

unde - numărul de cazuri care conduc aspectul evenimentului opus. Prin urmare, probabilitatea evenimentului opus este egală cu diferența dintre unitate și probabilitatea evenimentului:

Un avantaj important al definiției clasice a probabilității unui eveniment este că, cu ajutorul său, probabilitatea unui eveniment poate fi determinată fără a recurge la experiment și, pe baza raționamentului logic.

Exemplul 1. Când apelați numărul de telefon, abonatul a uitat o singură cifră și a marcat-o. Găsiți probabilitatea ca figura dorită să fie tastată.

Decizie. Denotă evenimentul constând în ceea ce figura dorită este tastată. Abonatul ar putea lega orice din 10 cifre, prin urmare numărul total de rezultate posibile este 10. Aceste rezultate sunt posibile numai (este necesar unul dintre numere) și echilibrul (figura este marcată). Evenimentul favorizează un singur rezultat (cifra dorită este doar una). Probabilitatea dorită este egală cu raportul dintre numărul de rezultate, conductiv la evenimente, la numărul tuturor rezultatelor:

Elemente de combinatoare

În teoria probabilităților folosesc adesea cazare, permutări și combinații. Dacă setul este dat, atunci cazare (combinație) Din elementele software-ului se numește orice subset comandat (dezordonat) al elementelor setului. Când se numește plasarea permutare De la elemente.

Fie, de exemplu, dat o mulțime. Locurile din cele trei elemente ale acestui set de două sunt ,,,,,,, combinații - ,,

Două combinații diferă cel puțin un element, iar plasarea variază fie cu elementele în sine, fie ordinea urmărilor lor. Numărul de combinații din elementele software-ului se calculează cu formula

există o serie de cazare din elemente de software; - numărul de permutări din elemente.

Exemplul 2. Există 7 standard din partea din partea. Găsiți probabilitatea ca printre cei luați, făcând 6 părți exact 4 standard.

Decizie. Numărul total de rezultate posibile de testare este egal cu numărul de metode care pot fi eliminate 6 părți din 10, adică egale cu numărul de combinații de 10 elemente ale 6. Numărul de rezultate favorizate (printre 6 părți luate exact 4 standard), definim după cum urmează: 4 părți standard pot fi luate din 7 metode de piese standard; În același timp, părțile rămase trebuie să fie nestandardizate; Luați 2 detalii non-standard de la piesele non-standard pot fi în moduri. În consecință, numărul rezultatelor favorizate este egal. Probabilitatea inițială este egală cu raportul dintre numărul de rezultate, favorabil evenimentelor, la numărul tuturor rezultatelor:

Definirea statistică a probabilității

Formula (1.1) este utilizată pentru a calcula direct probabilitatea evenimentelor numai atunci când experiența este redusă la schema de cazuri. În practică, definiția clasică a probabilității nu este adesea aplicabilă din două motive: În primul rând, definiția clasică a probabilității sugerează că numărul total de cazuri ar trebui să fie desigur. De fapt, este adesea nelimitat. În al doilea rând, este adesea imposibil să se prezinte rezultate de experiență sub formă de echilibru și evenimente incomplete.

Frecvența apariției evenimentelor în experimentele repetate are o tendință de stabilizare a unui fel de valoare permanentă. Astfel, având în vedere evenimentul, unele cantități permanente sunt grupate de frecvențe și care este caracteristica comunicării obiective dintre complexul de condiții în care se desfășoară experiențe și un eveniment.

Probabilitatea unui eveniment aleator este numită numărul, în apropierea căreia frecvențele acestui eveniment sunt grupate pe măsură ce crește numărul de teste.

Această definiție este numită statistic.

Avantajul modului statistic de a determina probabilitatea este că se bazează pe experimentul real. Cu toate acestea, dezavantajul său semnificativ este acela de a determina probabilitatea ca este necesar să se îndeplinească un număr mare de experimente care sunt adesea asociate cu costurile materiale. Definiția statistică a probabilității unui eveniment, deși dezvăluie destul de mult conținutul acestui concept, dar nu permite posibilitatea calculării reale a probabilității.

În definiția clasică a probabilității, se ia în considerare un grup complet de un număr finit de evenimente de echilibru. În practică, foarte des numărul de rezultate posibile de teste este infinit. În astfel de cazuri, definiția de probabilitate clasică nu este aplicabilă. Cu toate acestea, uneori în astfel de cazuri pot fi utilizate de o altă metodă de calculare a probabilității. Pentru claritate, limita la un caz bidimensional.

Să presupunem în avion, este setată o anumită zonă, care conține o altă zonă de zonă (figura 3). În zonă, Rudich se grăbește un punct. Care este probabilitatea ca punctul să cadă în zonă? În acest caz, se presupune că punctul abandonat poate cădea în orice punct al regiunii, iar probabilitatea de a cădea în orice parte a regiunii este proporțională cu zona părții și nu depinde de locația și forma sa . În acest caz, probabilitatea de a atinge zona atunci când aruncați un punct în zonă

Astfel, în general, în cazul în care posibilitatea unei aspecte aleatorie a unui punct în interiorul unei anumite regiuni pe o linie dreaptă, avionul sau în spațiu nu este determinată de poziția acestei regiuni și limitele sale, ci doar dimensiunea sa, adică lungime, lungime, zona sau volumul, atunci probabilitatea de intrare a unui punct aleatoriu în interior este definită ca raport de dimensiune a acestei zone la dimensiunea întregii zone în care poate apărea acest punct. Aceasta este o definiție geometrică a probabilității.

Exemplul 3. Ținta rotundă se rotește cu o viteză unghiulară constantă. Cincea din țintă este pictată în verde, iar restul este în alb (figura 4). Ținta este împușcată, astfel încât lovirea țintei este un eveniment fiabil. Este necesar să se determine probabilitatea de a atinge sectorul țintă, pictat în verde.

Decizie. Denotă - "Shot a căzut în sectorul pictat într-o culoare verde." Apoi. Probabilitatea este obținută ca atitudinea zonei părții țintei pictate în culoarea verde, în întreaga zonă țintă, deoarece lovirea în orice parte a țintei este echilibrul.

Axiomii de teorie a probabilității

Din determinarea statistică a probabilității unui eveniment aleatoriu, rezultă că probabilitatea unui eveniment este numărul, în apropierea căruia frecvențele acestui eveniment sunt grupate, observate pe experiență. Prin urmare, axiomele de teorie a probabilității sunt introduse astfel încât probabilitatea unui eveniment să aibă proprietățile principale de frecvență.

Axioma 1. Fiecare eveniment corespunde unui anumit număr care satisface condiția și numită probabil.