Semne de paralelism de două linii drepte
Teorema 1. Dacă cu intersecția a două secunde directe:
unghiurile de locuit sunt egale sau
unghiurile corespunzătoare sunt egale sau
suma colțurilor unilaterale este de 180 °,
drept paralel (Fig.1).
Dovezi. Ne limităm dovada cazului 1.
La intersecția directă a și b a secțiunii AV, unghiurile subiacente sunt egale. De exemplu, ∠ 4 \u003d ∠ 6. Doveim că a || b.
Să presupunem că direct A și B nu sunt paralele. Apoi se intersectează la un moment dat și, prin urmare, unul dintre unghiurile 4 sau 6 va fi un unghi exterior al triunghiului AVM. Lăsați-o pentru o certitudine ∠ 4 - unghiul exterior al triunghiului AVM și ∠ 6 - intern. Din teorema pe unghiul exterior al triunghiului, rezultă că ∠ 4 este mai mult ∠ 6, iar acest lucru este contrar stării, înseamnă că direct A și 6 nu se poate intersecta, astfel încât acestea sunt paralele.
Corolar 1. Două cele diferite drepte pe plan perpendicular la același drept, paralel (Fig.2).
Cometariu. Metoda pe care tocmai am demonstrat-o cauza 1 a teoremei 1 se numește metoda de probă din partea fie din partea sau aducerea la absurditate. Primul nume Această metodă a fost primită deoarece la începutul raționamentului se presupune, opusul (opus) ceea ce este necesar pentru a dovedi. Prin aducerea la absurditate, se numește datorită faptului că, susținând pe baza ipotezei făcute, ajungem la o concluzie ridicolară (la absurd). Obținerea unei astfel de rezultate ne face să respingem presupunerea făcută mai întâi și să acceptați cel care trebuia să se dovedească.
Sarcina 1. Construiți o linie dreaptă care trece prin acest punct m și paralel cu acest director A, fără a trece prin punctul M.
Decizie. Realizăm prin punctul M direct Perpendicular pentru a direcționa a (figura 3).
Apoi petreceți prin litera M direct B perpendicular pe linia dreaptă. Dreptul B este paralel cu direcția A, conform unei consecințe a teoremei 1.
Din sarcina considerată, urmează o concluzie importantă:
printr-un punct care nu se află pe această linie, puteți petrece întotdeauna o paralelă dreaptă.
Proprietatea principală a liniilor drepte paralele este după cum urmează.
Axiom linii drepte paralele. Prin acest punct, nu minți pe această linie directă, doar o linie dreaptă, paralelă cu aceasta.
Luați în considerare unele proprietăți ale liniilor drepte paralele care urmează din această axiom.
1) Dacă direcționarea traversează una din cele două linii drepte paralele, ea traversează cealaltă (Fig.4).
2) Dacă două directe diferite paralele cu cea de-a treia linie dreaptă, atunci sunt paralele (figura 5).
Următoarea teoremă este de asemenea valabilă.
Teorema 2. Dacă se intersectează două cruci paralele drepte, atunci:
unghiurile de locuit sunt egale;
unghiurile corespunzătoare sunt egale;
suma colțurilor unilaterale este de 180 °.
Corolarul 2. Dacă direct este perpendicular pe unul dintre cele două linii drepte paralele, atunci este perpendicular pe altul (Consultați Fig.2).
Cometariu. Teorema 2 se numește Teorema Reverse 1. Concluzia Teoremei 1 este starea teoremei 2. O condiție a teoremei 1 este încheierea teoremei 2. Nu fiecare teoremă are o inversă, adică dacă această teoremă este corectă, teorema inversă pot fi incorecte.
Să explicăm acest lucru pe exemplul teoremei colțurilor verticale. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două colțuri sunt verticale, atunci sunt egale. Teorema inversă la acesta ar fi așa: dacă două unghiuri sunt egale, atunci sunt verticale. Și acest lucru, desigur, este incorect. Două colțuri egale nu sunt obligate să fie verticale.
Exemplul 1. Două linii drepte paralele a trecut în al treilea rând. Se știe că diferența dintre cele două colțuri interioare interne este egală cu 30 °. Găsiți aceste colțuri.
Decizie. Lăsați starea să corespundă figurii 6.
Lăsați drept cu cruci paralele drepte A și B. În același timp, se formează opt unghiuri. Colțurile cu linii drepte și secunde paralele sunt atât de des utilizate în sarcinile pe care le sunt prezentate nume speciale în geometrie.
Corners 1 și 3 - vertical. Evident unghiurile verticale sunt egale,adică
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.
Desigur, unghiurile 5 și 7, 6 și 8 sunt, de asemenea, verticale.
Corners 1 și 2 - adiacent, Știm deja. Suma unghiurilor adiacente este de 180 °.
Unghiurile 3 și 5 (precum și 2 și 8, 1 și 7, 4 și 6) - mincinosul. Ingustul unghiurilor mintale sunt egale.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.
Corners 1 și 6 - unilateral. Se află pe o parte a întregului "design". Corners 4 și 7 - de asemenea, unilateral. Suma colțurilor unilaterale este egală cu 180 °, adică
∠1 + ∠6 \u003d 180 °,
∠4 + ∠7 \u003d 180 °.
Colțurile 2 și 6 (precum și 3 și 7, 1 și 5, 4 și 8) sunt numite respectiv.
Unghiurile corespunzătoare sunt egale, adică
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.
Colțurile 3 și 5 (precum și 2 și 8, 1 și 7, 4 și 6) sunt numite trăind minciună.
Unghiurile mici sunt egale, adică
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.
Pentru a aplica toate aceste fapte în rezolvarea sarcinilor de utilizare, trebuie să învățați să le vedeți în desen. De exemplu, uitandu-se la un paralelogram sau un trapez, poti vedea o pereche de linii paralele drepte si asigurare, precum si colturi cu sens in mod unic. După diagonala paralelogramei, vedem colțurile ambientale. Acesta este unul dintre pașii de la care este soluția.
1. Bissecttrixul unui unghi plictisitor Paralelograma împarte direcția opusă în ceea ce privește 3: 4, numărând de la vârful unghiului stupid. Găsiți o parte mare a paralelogramei dacă perimetrul său este de 88.
Amintiți-vă că bisectorul unghiului este un fascicul care părăsește vârful unghiului și unghiul de separare la jumătate.
Lăsați VM - bisectorul unui unghi stupid de V. În condiții, segmentele de MD și AV sunt egale cu 3x și respectiv 4x.
Luați în considerare unghiurile HM și VMA. Deoarece anunțul și soarele sunt paralele, VM este secvențial, unghiurile TSM și VMA sunt inhibitori mincinoși. Știm că colțurile Linga vor fi egale. Aceasta înseamnă că triunghiul AVM este un echilibru, prin urmare, av \u003d am \u003d 4x.
Perimetrul paralelogram este suma tuturor părților sale, adică
7x + 7x + 4x + 4x \u003d 88.
Deci x \u003d 4, 7x \u003d 28.
2. Diagonala formei paralelogramei cu două laturi ale unghiurilor de 26º și 34 °. Găsiți un unghi mai mare al paralelogramei. Răspundeți în grade.
Desenați o paralelogramă și diagonală. Observarea în desen, colțurile subiacente și colțurile unilaterale vor primi și un răspuns: 120 °.
3. Ce este egal cu un unghi mai mare al unui trapezit de echilibru, dacă se știe că diferența dintre unghiurile opuse este de 50 °? Răspundeți în grade.
Noi stim aia echipate (sau echilibrul) se numește un trapez, în care părțile sunt egale. Prin urmare, egale cu unghiurile de la baza superioară, precum și unghiurile de la baza inferioară.
Să ne uităm la desen. Cu condiție, α - β \u003d 50 °, care este, α \u003d β + 50 °.
Unghiurile α și β sunt unilaterale cu paralele drepte și secvențiale, prin urmare,
α + β \u003d 180 °.
Deci, 2p + 50 ° \u003d 180 °
β \u003d 65 °, apoi α \u003d 115 °.
Răspuns: 115.
Studiu EGE »Materiale metodice» Geometria: de la zero la C4 »Înălțimile, mediile, triunghiul Bisericii
