Am vorbit anterior despre care este gradul de dată. Are anumite proprietăți utile în rezolvarea sarcinilor: ele și toți indicatorii potențiali ai gradului pe care îl vom analiza în acest articol. De asemenea, vom arăta în mod clar pe exemplele cum vă puteți dovedi și aplicați corect în practică.
Yandex.rtb r-a-339285-1
Vom aminti conceptul de diplomă cu un indicator natural care este deja formulat de noi: acesta este un produs al unui număr N-număr de multiplicatori, fiecare dintre acestea fiind egal cu a. De asemenea, trebuie să ne amintim cum să multiplicăm numerele reale corect. Toate acestea ne vor ajuta să formulăm următoarele proprietăți în măsura în care un indicator natural:
Definiție 1.
1. Principala proprietate a gradului: a m · a n \u003d a m + n
Acesta poate fi generalizat la: A N 1 · A N 2 · ... · A n K \u003d A n 1 + N 2 + ... + N K.
2. Proprietate privată pentru grade având aceleași baze: A M: A N \u003d A M - N
3. Proprietatea gradului de lucru: (a · b) n \u003d a n · b n
Egalitatea poate fi extinsă la: (A 1 · A 2 · ... · A K) n \u003d A 1 N · A 2 N · · · A K N
4. Proprietate privată într-o măsură naturală: (a: b) n \u003d a n: b n
5. Suntem în grad: (a m) n \u003d a m · n,
Poate fi generalizată la: (((a n 1) n 2) ...) n k \u003d a n 1 · n 2 · ... · n k
6. Comparați o diplomă cu zero:
- dacă un\u003e 0, apoi cu orice n, un N va fi mai mare decât zero;
- la o, egală cu 0, un n va fi, de asemenea, zero;
- cu.< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- cu.< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Egalitatea unui n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Inegalitatea A M\u003e A N va fi corectă, cu condiția ca M și N să fie numere naturale, M este mai mare decât N și mai puțin zero și mai puțin de unul.
Ca rezultat, am primit mai multe egalități; Dacă observați toate condițiile menționate mai sus, acestea vor fi identice. Pentru fiecare dintre cele egale, de exemplu, pentru proprietatea principală, puteți schimba partea dreaptă și cea stângă: A M · A N \u003d A M + N este același ca un M + N \u003d A M · A n. În acest formular, este adesea folosit în simplificarea expresiilor.
1. Să începem cu proprietatea de bază a gradului: egalitatea A M · A N \u003d A M + N va fi corectă cu orice M și N Natural și Valid A. Cum să dovedești această afirmație?
Principala definiție a gradelor cu indicatorii naturali ne va permite să transformăm egalitatea în activitatea multiplicatorilor. Vom primi o înregistrare de acest tip:
Poate fi redus la 
(Amintiți proprietățile de bază ale multiplicării). Ca rezultat, am primit gradul de număr A cu un indicator natural M + N. Astfel, un M + N, ceea ce înseamnă că proprietatea principală a gradului este dovedită.
Vom analiza un exemplu specific care confirmă acest lucru.
Exemplul 1.
Deci, avem două grade cu baza 2. Indicatorii lor naturali sunt 2 și 3, respectiv. Am avut egalitate: 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5 Calculați valorile pentru a verifica loialitatea acestei egalități.
Efectuați acțiunile matematice necesare: 2 2 · 2 3 \u003d (2 · 2) · (2 \u200b\u200b· 2 · 2) \u003d 4,8 \u003d 32 și 2 5 \u003d 2,2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32
Ca rezultat, am ieșit: 2 2 · 2 3 \u003d 2 5. Proprietatea este dovedită.
În virtutea proprietăților de multiplicare, putem compune o generalizare a proprietății, formulând-o sub formă de trei și mai multe grade, în care indicatorii sunt numere naturale, iar bazele sunt aceleași. Dacă desemnați cantitatea de numere naturale N 1, N2, etc. Letter K, vom obține egalitatea fidelă:
a n 1 · A n 2 · ... · A n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.
Exemplul 2.
2. Apoi, trebuie să demonstrăm următoarea proprietate, care se numește proprietatea privată și inerentă în grade cu aceleași baze: acesta este egalitatea AM: AM - N, care este valabil pentru orice M și N (cu m Greater N)) și orice altceva de zero valabil.
Pentru a începe, explicați care este semnificația condițiilor menționate în formulare. Dacă luăm un, egal cu zero, atunci, ca rezultat, vom găsi o diviziune la zero, care nu se poate face (deoarece 0 n \u003d 0). Condiția pe care numărul M a avut în mod necesar mai multe n, este necesar ca să putem rezista în cadrul indicatorilor naturali de gradul: deducerea n de la m, obținem un număr natural. Dacă starea nu este respectată, vom avea un număr negativ sau zero și din nou vom depăși studiul gradelor cu indicatori naturali.
Acum putem proceda la dovezi. Din anii studiați, ne amintim proprietățile de bază ale fracțiilor și formulează egalitatea ca aceasta:
a M - N · A N \u003d A (M - N) + N \u003d A M
De la ea poate fi derivată: un m - n · a n \u003d a m
Amintiți relația dintre diviziune și multiplicare. Din aceasta rezultă că un m - n este grade private M și un n. Aceasta este dovada celei de-a doua proprietăți a gradului.
Exemplul 3.
Vom înlocui numerele specifice pentru claritate în indicatori, iar fundamentul gradului este notat de π: π 5: π 2 \u003d π 5 - 3 \u003d π 3
3. Următoarele vom analiza gradul de lucru: (a · b) n \u003d a n · b n cu orice valid A și B și Natural N.
Conform determinării de bază a gradului cu un indicator natural, putem reformula egalitatea ca aceasta:
Amintiți-vă proprietățile de multiplicare, scrieți: 
. Aceasta înseamnă același ca N · b n.
Exemplul 4.
2 3 · 4 2 5 4 \u003d 2 3 4 · 4 2 5 4
Dacă există trei și mai mulți multiplicatori, această proprietate se extinde și la acest caz. Introducem desemnarea K pentru numărul de multiplicatori și scrieți:
(A 1 · A 2 · ... · A K) N \u003d A 1 N · A 2 N · · · A K N
Exemplul 5.
Cu numere specifice, obținem următoarea egalitate fidelă: (2 · (- 2, 3) · a) 7 \u003d 2 7 · (- 2, 3) 7 · a
4. După aceea, vom încerca să dovedim proprietatea privată: (a: b) n \u003d a n: b n cu orice real A și B, dacă B nu este 0, și n este un număr natural.
Pentru a dovedi, puteți utiliza proprietatea anterioară. Dacă (A: B) N · Bn \u003d ((a: b) · b) n \u003d A, A (A: B) N · Bn \u003d A, apoi se pare că (A: B) n este privat de împărțire o pe bn.
Exemplul 6.
Calculați exemplul: 3 1 2: - 0. 5 3 \u003d 3 1 2 3: (- 0, 5) 3
Exemplul 7.
Să începem imediat de exemplu: (5 2) 3 \u003d 5 2 · 3 \u003d 5 6
Și acum formulăm lanțul de egalități, care va dovedi loialitatea egalității: 
Dacă avem în exemplu, există grade de grad, atunci această proprietate este corectă pentru ei. Dacă avem numere naturale P, Q, R, S, atunci va fi adevărat:
un p q y s \u003d a p · q · y · s
Exemplul 8.
Se adaugă specificul: ((5, 2) 3) 2) 5 \u003d (5, 2) 3 + 2 + 5 \u003d (5, 2) 10
6. O altă proprietate de grade cu o figură naturală pe care trebuie să o demonstrezim este proprietatea de comparație.
Pentru a începe cu gradul comparabil cu zero. De ce un n\u003e 0, cu condiția ca și mai mult de 0?
Dacă multiplicați un număr pozitiv la altul, atunci avem și un număr pozitiv. Cunoscând acest fapt, putem spune că nu depinde de numărul de multiplicatori - rezultatul multiplicării oricărui număr de numere pozitive este numărul pozitiv. Și care este gradul ca fiind rezultatul numerelor de multiplicare? Apoi, pentru orice grad A N cu o bază pozitivă și indicatorul natural va fi adevărat.
Exemplul 9.
3 5\u003e 0, (0, 00201) 2\u003e 0 și 34 9 13 51\u003e 0
De asemenea, este evident că gradul cu baza egală cu zero, este zero. În ce măsură nu am construit zero, el va rămâne.
Exemplul 10.
0 3 \u003d 0 și 0 762 \u003d 0
Dacă fundamentul gradului este un număr negativ, dovezile de aici sunt puțin mai complicate, deoarece conceptul de paritate / ciudățenii indicatorului devine important. Luați pentru a începe cu cazul în care cifra este chiar și o denotăm 2, M, unde M este un număr natural.
Amintiți-vă cât de înmulțește corect numerele negative: lucrarea A · A este egală cu produsul modulelor și, prin urmare, va fi un număr pozitiv. Atunci 
Și gradul de 2 · m este, de asemenea, pozitiv.
Exemplul 11.
De exemplu, (- 6) 4\u003e 0, (- 2, 2) 12\u003e 0 și - 2 9 6\u003e 0
Și dacă indicatorul gradului cu o bază negativă este un număr impar? Dentiți-l 2 · M - 1.
Atunci 
Toate lucrările A · A, în funcție de proprietățile multiplicării, sunt pozitive, și munca lor. Dar dacă îl înmulțim la singurul număr rămas A, rezultatul final va fi negativ.
Apoi primim: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Cum să-l dovediți?
un n.< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Exemplul 12.
De exemplu, inegalitățile fidești: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Am lăsat să dovedim ultima proprietate: dacă avem două grade, din care fundamentele sunt aceleași și pozitive, iar indicatorii sunt numere naturale, atunci cele ale acestora sunt mai multe, indicatorul este mai mic decât; Și de două grade cu indicatori naturali și aceleași baze, unități mari, mai mult decât gradul, a căror indicator este mai mare.
Doveim aceste acuzații.
Pentru a începe, trebuie să ne asigurăm că un m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Eu trimit un n pentru paranteze, după care diferența noastră va lua forma A N · (A M - N-1). Rezultatul său va fi negativ (ca rezultat al multiplicării unui număr pozitiv este negativ). Într-adevăr, conform condițiilor inițiale, m - n\u003e 0, atunci un M - N-1 este negativ, iar primul factor este pozitiv, precum și orice diplomă naturală cu o bază pozitivă.
Am ieșit că un m - a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Rămâne să conduci dovada celei de-a doua părți a aprobării formulate mai sus: A M\u003e A este valabilă pentru M\u003e N și A\u003e 1. Indicăm diferența și rezumăm n pentru paranteze: (un M - N-1). Nava A N cu unități mai mari, va da un rezultat pozitiv; Iar diferența însăși va fi, de asemenea, pozitivă din cauza condițiilor inițiale și la un grad\u003e 1 grade M - N mai multe unități. Se pare, un M - A n\u003e 0 și un M\u003e A N, pe care trebuia să-l dovedim.
Exemplul 13.
Exemplu cu numere specifice: 3 7\u003e 3 2
Proprietățile principale ale gradelor cu indicatoare întregi
Pentru grade cu indicatori pozitivi cu întregi, proprietățile vor fi similare, deoarece toate numerele pozitive sunt naturale și, prin urmare, toate egalitățile dovedite mai sus sunt valabile pentru acestea. Acestea sunt, de asemenea, potrivite pentru cazurile în care indicatorii sunt negativi sau egali cu zero (cu condiția ca baza să fie gradul de nonzero).
Astfel, proprietățile gradelor sunt aceleași pentru orice baze A și B (cu condiția ca aceste numere să fie valide și nu egale cu 0) și orice indicatori M și N (cu condiția ca acestea să fie numere întregi). Le scriem pe scurt ca formule:
Definiția 2.
1. A M · A N \u003d A M + N
2. A M: A n \u003d A M - N
3. (a · b) n \u003d a n · b n
4. (a: b) n \u003d a n: b n
5. (a m) n \u003d a m · n
6. A N.< b n и a − n > b - n sub condiția unui întreg pozitiv N, pozitiv A și B, a< b
7 DIMINEATA.< a n , при условии целых m и n , m > N și 0.< a < 1 , при a > 1 A M\u003e A N.
Dacă baza gradului este zero, atunci înregistrările unui m și un n au sens numai în cazul M și N. Ca rezultat, obținem că formularea este mai mare și pentru cazurile cu o diplomă cu bază zero, dacă sunt observate toate celelalte condiții.
Dovezile acestor proprietăți în acest caz sunt necomplicate. Va trebui să ne amintim ce diplomă cu un nivel natural și întreg, precum și proprietățile acțiunilor cu numere valide.
Vom analiza proprietatea gradului în grad și vom dovedi că este adevărat pentru întregul numere pozitive și pentru un număr intemperabil. Să începem cu dovada egalității (AP) Q \u003d AP q, (A - P) q \u003d a (- p) · Q, (AP) - Q \u003d AP · (- Q) și (A - P) - Q \u003d a (- p) · (- q)
Condiții: p \u003d 0 sau număr natural; Q - În mod similar.
Dacă valorile P și Q sunt mai mari de 0, atunci vom reuși (a p) q \u003d a p q. Am demonstrat deja o egalitate similară înainte. Dacă p \u003d 0, atunci:
(A 0) Q \u003d 1 Q \u003d 1 A 0 · Q \u003d A 0 \u003d 1
Prin urmare, (a 0) q \u003d a 0 · q
Pentru Q \u003d 0, totul este același:
(A P) 0 \u003d 1 A P · 0 \u003d A 0 \u003d 1
Rezultat: (A P) 0 \u003d A P · 0.
Dacă ambii indicatori sunt zero, atunci (A 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 și un 0 · 0 \u003d A 0 \u003d 1, înseamnă (A 0) 0 \u003d A 0,0.
Amintiți-vă proprietatea dovedită a țării private și scrieți:
1 A P Q \u003d 1 Q A P Q
Dacă 1 p \u003d 1 · 1 · ... · 1 \u003d 1 și un P Q \u003d A P q, apoi 1 Q A P Q \u003d 1 A P q q
Putem converti această intrare în virtutea regulilor de multiplicare de bază într-o (- p) · Q.
Doar: un P - Q \u003d 1 (A P) Q \u003d 1 A P q \u003d A - (P q) \u003d A P · (q).
Și (A-P) - Q \u003d 1 A P - Q \u003d (a P) Q \u003d A p q \u003d a (- p) · (- q)
Proprietățile rămase ale gradului pot fi dovedite într-un mod similar, convertirea inegalităților existente. Nu vom locui în detaliu, vom indica doar momente complexe.
Dovada proprietății penultimă: rechemarea, A - N\u003e B - N este valabilă pentru orice valori negative ale oricărui pozitiv A și B, cu condiția ca un b.
Apoi, inegalitatea poate fi convertită după cum urmează:
1 A n\u003e 1 b n
Noi scriem părțile drepte și stângi sub forma unei diferențe și efectuăm transformările necesare:
1 A n - 1 b n \u003d b n - a n · b n
Amintiți-vă că în condiția mai mică de B, atunci, în funcție de determinarea gradului cu o figură naturală: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
un N · B N oferă în cele din urmă un număr pozitiv, deoarece multiplicatorii ei sunt pozitivi. Ca rezultat, avem o fracțiune B N - A N · b N, care în cele din urmă dă și un rezultat pozitiv. Prin urmare, 1 A N\u003e 1 B N de la A - N\u003e B - N, pe care trebuia să-l demonstrăm.
Ultima proprietate a gradelor cu indicatori întregi se dovedește similar cu proprietatea gradelor cu indicatori naturali.
Proprietățile principale ale gradelor cu indicatori raționali
În articolele anterioare, am dezasamblat ceea ce este o diplomă cu un indicator rațional (fracționat). Proprietățile lor sunt aceleași ca și grade cu indicatoare întregi. Noi scriem:
Definiția 3.
1. Am 1 N 1 · AM2N2 \u003d AM 1 N 1 + M2N2 la A\u003e 0 și dacă M 1 N 1\u003e 0 și M 2N2\u003e 0, apoi la o ≥ 0 (proprietatea produsului grade cu aceleași baze).
2. A M 1 N 1: B M2N2 \u003d A M 1 N 1 - M 2N2, dacă A\u003e 0 (proprietate privată).
3. A · BMN \u003d AMN · BMN la A\u003e 0 și B\u003e 0 și dacă M 1 N 1\u003e 0 și M2N2\u003e 0, apoi la un ≥ 0 și (sau (sau) B ≥ 0 (proprietatea lui lucrarea în grad fracționat).
4. A: B M N \u003d A M N: B M N cu\u003e 0 și b\u003e 0 și dacă m N\u003e 0, apoi la un ≥ 0 și b\u003e 0 (proprietatea privată în gradul fracționat).
5. AM 1 N 1 M2N2 \u003d AM 1 N 1 · M2N22 la A\u003e 0 și dacă M 1 N 1\u003e 0 și M2N2\u003e 0, apoi la un ≥ 0 (grad în grad în grad).
6. A P.< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p > 0; Dacă P.< 0 - a p > B p (o comparație a gradelor cu indicatori raționali egali).
7. A P.< a q при условии рациональных чисел p и q , p > Q la 0.< a < 1 ; если a > 0 - A P\u003e A Q
Pentru a dovedi aceste prevederi, va trebui să reamintim că o astfel de rată fracțională este ceea ce proprietățile rădăcinii aritmetice de n-grad și care sunt proprietățile gradului cu indicatorul integer. Vom analiza fiecare proprietate.
În funcție de faptul că este o diplomă cu un indicator fracționat, obținem:
un M 1 N 1 \u003d A M 1 N1 și un M 2N2, prin urmare, un M 1 N 1 · A M 2N2 \u003d A M 1 N 1 · A M 2 N 2
Proprietățile rădăcinii ne vor permite să retragem egalitatea:
un m 1 · m2N1 · N2 · A m 2 · m 1 n2 · n 1 \u003d A m 1 · n2 · A m 2 · n 1 n 1 · n 2
Din aceasta ajungem: un m 1 · n2 · A m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Transformăm:
a M 1 · N2 · A M 2 · N 1 N 1 · N2 \u003d A M 1 · N 2 + M 2 · N 1 N 1 · N2
Indicatorul poate fi scris în formă:
m 1 · n2 + m2 · n 1 n 1 · n2 \u003d m 1 · n2 n 1 · n2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d m 1 n 1 + m 2 n 2
Aceasta este dovada. A doua proprietate este dovedită absolut la fel. Scriem lanțul de egalități:
am 1 N 1: AM 2 N 2 \u003d AM 1 N 1: AM2N2 \u003d AM 1 · N 2: AM 2 · n 1 N 1 · N 2 \u003d AM 1 · N2 - m 2 · n 1 N 1 · N 2 \u003d AM 1 · N2 - M2 · n 1 N 1 · N2 \u003d AM 1 · N2N 1 · N 2 - M 2 · n 1 N 1 · N 2 \u003d AM 1 N 1 - M 2 N 2.
Dovada altor egalități:
a · b m n \u003d (a · b) m n \u003d a m · b m n \u003d a m n · b m n \u003d a m n · b m n; (A: B) M N \u003d (A: B) M n \u003d A M: B n \u003d \u003d A M N: B M n \u003d A M N: B M N; Am 1 N 1 m 2N2 \u003d AM 1 N 1 M 2N2 \u003d AM 1 N 1 M 2N2 \u003d AM 1 M 2N1N2 \u003d AM 1 · m 2 n 1 N 2 \u003d AM 1 · M 2 N 2 · n 1 \u003d AM 1 · M 2N2 · N 1 \u003d AM 1 N 1 · M 2 N 2
Următoarea proprietate: Să dovedim că pentru orice valori A și B mai mare de 0, dacă și mai puțin B, vor fi efectuate un p< b p , а для p больше 0 - a p > B P.
Imaginați-vă un număr rațional P ca M n. În acest caz, M este un număr, n -net. Apoi condiții P.< 0 и p > 0 se va răspândi la m< 0 и m > 0. La m\u003e 0 și a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Folosim proprietățile rădăcinilor și aducem: A M N< b m n
Având în vedere pozitivitatea valorilor A și B, rescrie inegalitatea ca M N< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
În același mod la m< 0 имеем a a m > B M, obținem un M N\u003e B N înseamnă un M N\u003e B M N și A P\u003e B P.
Am lăsat să aducem dovada ultimei proprietăți. Dom dovedi că pentru numerele raționale p și Q, P\u003e Q la 0< a < 1 a p < a q , а при a > 0 va fi adevărat un p\u003e un q.
Numerele raționale p și q pot duce la un numitor comun și pot obține fracțiuni M 1 N și M 2 N
Aici m 1 și m 2 sunt numere întregi și n - naturale. Dacă p\u003e Q, apoi m 1\u003e m 2 (având în vedere regula de comparare a fracției). Apoi la 0.< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a > 1 - Inegalitatea A 1 M\u003e A 2 m.
Ele pot fi rescrise în formularul de mai jos:
un m 1 n< a m 2 n a m 1 n > Un m 2 n
Apoi puteți face conversie și în cele din urmă:
un m 1 n< a m 2 n a m 1 n > Un m 2 n
Rezumarea: la p\u003e Q și 0< a < 1 верно a p < a q , а при a > 0 - A p\u003e un q.
Principalele proprietăți ale gradelor cu indicatori iraționali
Toate proprietățile descrise mai sus pot fi extinse la o astfel de măsură, care au o diplomă cu indicatori raționali. Aceasta rezultă din definiția sa, pe care am dat-o într-unul din articolele anterioare. Formulăm aceste proprietăți (condiții: a\u003e 0, b\u003e 0, indicatoare P și Q - Numere iraționale):
Definiție 4.
1. A p q \u003d a p + Q
2. A P: A Q \u003d A P - Q
3. (a · b) p \u003d a p · b p
4. (A: B) p \u003d A P: B P
5. (a p) q \u003d a p · q
6. A P.< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p > B P.
7. A P.< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a > 0, apoi un p\u003e un q.
Astfel, toate gradele ale căror indicatori P și Q sunt numere valide, cu condiția ca o\u003e 0, au aceleași proprietăți.
Dacă observați o greșeală în text, selectați-o și apăsați CTRL + ENTER
VIDEO TUTORIAL 2: Gradul cu indicatorul natural și proprietățile sale
Lectura:
Raport
Sub gradul Un număr "dar" Cu un indicator "N" Înțelegeți lucrarea numărului "dar" de la sine "N" timp.
Când vorbesc despre diplomă cu o figură naturală, aceasta înseamnă că numărul "N" Ar trebui să fie un întreg și nu negativ.
dar - fundamentul gradului care arată ce număr ar trebui să se înmulțească de la sine
n. - Indicator - El spune de câte ori fundația trebuie multiplicată cu ea însăși.
De exemplu:
8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
În acest caz, fundamentul gradului înțelege numărul "8", numărul de "4" este considerat a fi semnificația amplorii, numărul "4096" este luat în considerare.
Cea mai mare și mai răspândită eroare Când numărați gradul este multiplicarea indicatorului de pe bază nu este adevărat!
Când vine vorba de gradul cu o figură naturală, se înțelege că numai indicatorul (N) Trebuie să fie un număr natural.
Ca bază, puteți lua numere cu o linie numerică.
De exemplu,
(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).
Acțiunea matematică, care este efectuată peste bază și indicator a gradului, se numește exercițiul.
Adăugare \\ Scară - acțiunile matematice ale primei etape, multiplicarea \\ divizia - acțiunea a doua etapă, construcția unui grad este efectul matematic al celei de-a treia etape, adică unul dintre cele mai înalte.
Această ierarhie a acțiunii matematice determină comanda la calcularea. Dacă această acțiune se găsește în sarcini între cele două anterioare, atunci se face mai întâi.
De exemplu:
15 + 6 *2 2 = 39
În acest exemplu, trebuie să construiți mai întâi 2 în grad, adică
apoi rezultatul este înmulțit cu 6, adică
Gradul cu indicatorul natural este utilizat nu numai pentru calcule specifice, ci și pentru confortul înregistrării numerelor mari. În acest caz, conceptul este încă utilizat. "Vizualizare standard". Această intrare implică multiplicarea unui număr de la 1 la 9 la baza gradului egal cu 10 cu un anumit indicator.
de exempluPentru a înregistra raza Pământului, următoarea intrare utilizează următoarea intrare:
6400000 m \u003d 6,4 * 10 6 m,
iar masa pământului, de exemplu, este scrisă după cum urmează:
Proprietățile gradului
Pentru confortul de soluții pentru exemple cu grade, este necesar să se cunoască proprietățile lor principale:
1. Dacă aveți nevoie să multiplicați două grade care au aceleași baze, atunci, în acest caz, baza trebuie lăsată neschimbată și adăugați indicatori.
un n * a m \u003d a n + M.
De exemplu:
5 2 * 5 4 = 5 6 .
2. Dacă aveți nevoie să împărțiți două grade care au aceleași baze, atunci, în acest caz, baza trebuie lăsată neschimbată, dar deducerea indicatorilor. Acordați atenție, pentru acțiuni cu grade cu un indicator natural, gradul de divizibil ar trebui să fie mai mare decât indicatorul gradului de divizor. În caz contrar, o anumită acțiune va fi numărul cu un indicator negativ.
un n / a m \u003d un n-m
De exemplu,
5 4 * 5 2 = 5 2 .
3. Dacă este necesar să se construiască o diplomă în altul, baza rezultatului va rămâne același număr, iar ratele de gradul sunt variabile.
(a n) m \u003d a n * M.
De exemplu,
4. Dacă este nevoie de un anumit grad pentru a construi un produs de numere arbitrare, atunci puteți utiliza o anumită lege distribuție în care obținem produsul din diferite motive în aceeași măsură.
(A * b) m \u003d a m * b m
De exemplu,
(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .
5. O proprietate similară poate fi utilizată pentru a împărți gradele, cu alte cuvinte, pentru a ridica bobile obișnuite în grad.
(A / b) m \u003d a m / b m.
6. Orice număr care este ridicat într-un indicator egal cu unul egal cu numărul inițial.
a 1 \u003d a
De exemplu,
7. Atunci când ridicați orice număr într-o diplomă cu un indicator de zero, rezultatul acestui calcul va fi întotdeauna o unitate.
a 0 \u003d 1
de exemplu,
| | |
I.Compoziţie n. în fabrică, fiecare dintre acestea fiind egală dar numit n.Printre gradul de număr dar Și denotă. dar N..
Exemple. Scrieți un produs sub formă de grad.
1) mmmm; 2) AAABB; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · CCC; 4) PPKK + PPPK-PPKKK.
Decizie.
1) mmmm \u003d m 4Deoarece, prin definiție, lucrarea a patru factori, fiecare dintre acestea fiind egală m., va fi Al patrulea grad de numere M.
2) AAABB \u003d A 3 B 2; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · CCC \u003d 5 4 C3; 4) PPKK + PPPK-PPKKK \u003d P 2 K 2 + P 3 K-P 2 K3.
II. Acțiunea prin care există un produs de mai multe greșeli egale se numește exercițiul. Numărul care este construit într-o diplomă se numește fundamentul gradului. Numărul care arată care grad este Fundația este numit indicator al gradului. Asa de, dar N. - Gradul dar - fundamentul gradului n.- Indicator. De exemplu:
2 3 — aceasta este o diplomă. Număr 2 - fundamentul gradului, indicatorul gradului este egal 3 . Valoarea gradului 2 3 in aceeasi masura 8, la fel de 2 3 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 8.
Exemple. Scrieți următoarele expresii fără un indicator.
5) 4 3; 6) A 3 B 2 C 3; 7) A 3 -B3; 8) 2a 4 + 3b 2.
Decizie.
5) 4 3 = 4 · 4 · 4 ; 6) A 3 B 2 C 3 \u003d aAABBCCC; 7) Un 3 -b 3 \u003d aAA-BBB; 8) 2a 4 + 3B 2 \u003d 2Aaaa + 3bb.
III. A 0 \u003d 1 Orice număr (cu excepția zero) într-un grad zero egal cu unul. De exemplu, 25 0 \u003d 1.
IV. A 1 \u003d a Orice număr din primul grad este egal cu el însuși.
V. Un M.∙ un n.= un M. + N. Când multiplicarea gradelor cu aceleași baze, baza este lăsată pentru aceleași și indicatoarele ori.
Exemple. Simplifica:
9) A · A 3 · A 7; 10) B 0 + B 2 · B 3; 11) C2 · C 0 · C 4.
Decizie.
9) A · A 3 · A 7\u003d A 1 + 3 + 7 \u003d A 11; 10) B 0 + B 2 · B 3 \u003d1 + B 2 + 3 \u003d 1 + B 5;
11) C 2 · C 0 · C 4 \u003d1 · C 2 · C · C 4 \u003d C2 + 1 + 4 \u003d C 7 .
VI. Un M.: un n.= un M. - N. Atunci când împărțiți grade cu aceleași baze, baza este lăsată pentru același lucru și din gradul de divizor, gradul de separator este dedus.
Exemple. Simplifica:
12) A 8: A 3; 13) M 11: M4; 14) 5 6: 5 4.
12) A 8: A 3\u003d A 8-3 \u003d A 5; 13) M 11: M 4\u003d M 11-4 \u003d m 7; paisprezece ) 5 6:5 4 \u003d 5 2 \u003d 5 · 5 \u003d 25.
VII. (un M.) N.= un mn. Dacă gradul este ridicat în grad, baza este lăsată pentru același lucru, iar indicatorii sunt prelungiți.
Exemple. Simplifica:
15) (a 3) 4; 16) (C 5) 2.
15) (a 3) 4\u003d A 3,4 \u003d A 12; 16) (C 5) 2\u003d C 5 · 2 \u003d C 10.
Notăcă, deoarece lucrarea multiplicatorilor nu schimbă lucrarea, acea:
15) (a 3) 4 \u003d (A 4) 3; 16) (C5) 2 \u003d (C 2) 5.
V.I. II.. (A ∙ b) n \u003d a n ∙ b n Atunci când ridicați lucrarea, fiecare dintre multiplicatori este crescut în acest grad.
Exemple. Simplifica:
17) (2a 2) 5; 18) 0,2 6 · 5 6; 19) 0,25 2 · 40 2.
Decizie.
17) (2a 2) 5\u003d 2 5 · A 2,5 \u003d 32A 10; 18) 0,2 6 · 5 6\u003d (0,2 · 5) 6 \u003d 1 6 \u003d 1;
19) 0,25 2 · 40 2\u003d (0,25 · 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.
IX. Atunci când se elaborează în gradul de fracțiuni, se ridică în acest grad și numărator și numitor al fracțiunii.
Exemple. Simplifica:
Decizie.
Pagina 1 din 1 1
După determinarea numărului de număr, este logic să vorbim proprietățile gradului. În acest articol vom da proprietățile de bază ale gradului numărului, în timp ce tamplând toate ratele posibile de grad. Aici oferim, de asemenea, dovada tuturor proprietăților gradului, precum și a modului în care aceste proprietăți se aplică la rezolvarea exemplelor.
Navigarea paginii.
Proprietățile gradelor cu indicatori naturali
Prin determinarea gradului cu un indicator natural, gradul de n este un produs al multiplicatilor n, dintre care fiecare este a. Împingând această definiție, precum și utilizarea proprietăți înmulțind numerele valide, puteți obține și justifica următoarele proprietățile gradului cu un indicator natural:
- proprietatea principală a gradului A M · A N \u003d A M + N, Generalizarea sa;
- proprietate de grade private cu aceleași baze A M: A N \u003d A M-N;
- proprietatea de lucru (a · b) n \u003d a n · b n, extinderea sa;
- proprietate privată în grad natural (A: B) n \u003d A N: B N;
- erend o diplomă într-un grad (a m) n \u003d a m · n, generalizarea sa (((a n 1) n 2) ...) n k \u003d a n 1 · n 2 · ... · n k;
- compararea gradului cu zero:
- dacă un\u003e 0, apoi un n\u003e 0 pentru orice NOR natural;
- dacă a \u003d 0, apoi un n \u003d 0;
- În cazul în care un.<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 dacă a.<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- dacă numerele pozitive A și B și a
- dacă m și n numere naturale care m\u003e n, apoi la 0
- dacă m și n numere naturale care m\u003e n, apoi la 0
Rețineți imediat că toate egalitățile înregistrate sunt identic Când se respectă aceste condiții, iar părțile drepte și stângi pot fi schimbate în locuri. De exemplu, principala proprietate a fracțiilor a m · a n \u003d a m + n simplificați expresii Acesta este adesea folosit ca un M + N \u003d A M · A n.
Acum, luați în considerare fiecare dintre ele în detaliu.
Să începem cu proprietățile lucrării a două grade cu aceleași baze numite proprietatea principală a gradului: Pentru orice număr real A și orice numere naturale m și n, egalitatea A M · A N \u003d A M + N este valabilă.
Doveim proprietatea de bază a gradului. Prin determinarea gradului cu un indicator natural, produsul de grade cu aceleași baze ale formei A M · A n poate fi scris ca o bucată. În virtutea proprietăților de multiplicare, expresia obținută poate fi scrisă ca 
, Iar acest produs este gradul de număr A cu un indicator natural M + N, adică un M + N. Aceasta este dovada finalizată.
Să dăm un exemplu care să confirme proprietatea de bază a gradului. Luați grade cu aceleași baze 2 și grade naturale 2 și 3, în conformitate cu proprietatea principală a gradului, puteți înregistra egalitatea 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5. Verificați justiția, pentru care calculează valorile expresiilor 2 2 · 2 3 și 2 5. Efectuarea exercițiului în măsura în care avem 2 2 · 2 3 \u003d (2 · 2) · (2 \u200b\u200b· 2 · 2) \u003d 4,8 \u003d 32 și 2 5 \u003d 2,2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32, ca valori egale sunt obținute, egalitatea 2 2 · 2 3 \u003d 2 5 este adevărată și confirmă proprietatea de bază a gradului.
Proprietatea principală a gradului bazată pe proprietățile multiplicării poate fi generalizată pe activitatea a trei și mai multe grade cu aceleași baze și indicatori naturali. Deci, pentru orice număr K Numbers N1, N 2, ..., n k este egalitate corectă a n 1 · A n 2 · ... · A n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.
De exemplu, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 \u003d (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Puteți trece la următoarea proprietate de grade cu un indicator natural - proprietate de grade private cu aceleași motive: Pentru orice număr diferit de număr valid A și numere naturale arbitrare M și N, satisfacerea stării M\u003e N, egalitatea A M: A n \u003d un M-N este adevărat.
Înainte de a aduce dovada acestei proprietăți, vom discuta despre semnificația condițiilor suplimentare în formulare. Condiția A ≠ 0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, ca 0 n \u003d 0, iar când întâlniți divizia, am fost de acord că este imposibil să se împartă la zero. Condiția M\u003e N este introdusă astfel încât să nu depășim scopul indicatorilor naturali. Într-adevăr, la m\u003e n, indicatorul gradului un M-N este un număr natural, altfel va fi zero (ceea ce se întâmplă la M-N), fie un număr negativ (care se întâmplă atunci când m Dovezi. Proprietatea principală a fracțiunii vă permite să înregistrați egalitatea un M-N · A N \u003d A (M - N) + N \u003d A M. Din egalitatea rezultată un M-N · A n \u003d A M și din care rezultă că un M-N este grade private M și un n. Aceasta a demonstrat proprietatea gradurilor private cu aceleași baze. Să dăm un exemplu. Luați două grade cu aceleași baze π și indicatorii naturali 5 și 2, gradul considerat de grad corespunde egalității π 5: π 2 \u003d π 5-3 \u003d π 3. Acum ia în considerare proprietatea unei lucrări: Gradul natural N din lucrările a două numere reale A și B este egal cu produsul gradelor A N și B N, adică (a · b) n \u003d a n · b n. Într-adevăr, prin determinarea gradului cu un indicator natural pe care îl avem Să dăm un exemplu: Această proprietate se extinde la gradul de produs de trei și mai mulți multiplicatori. Adică proprietatea gradului natural N din lucrările multiplicatorilor este scrisă ca (A 1 · A 2 · ... · A K) N \u003d A 1 N · A 2 N · · · A K N. Pentru claritate, vom arăta această proprietate pe exemplu. Pentru munca a trei factori la gradul 7 avem. Următoarea proprietate este proprietate privată în natură: Numerele private valide A și B, B ≠ 0 la Gradul Natural N este egal cu gradele private A N și B N, adică (A: B) N \u003d A N: B N. Dovada poate fi efectuată utilizând proprietatea anterioară. Asa de (A: B) N · B N \u003d ((a: b) · b) n \u003d a nși din egalitate (A: B) N · B N \u003d A n Rezultă că (A: B) n este privat din diviziunea A n pe b n. Scriem această proprietate pe exemplul unor numere specifice: Acum exprimă acum diplomă în grad de grad: Pentru orice numere reale A și orice numere naturale M și N, gradul de m la gradul N este egal cu gradul de număr A cu un indicator M · N, adică (a m) n \u003d a m · n. De exemplu, (5 2) 3 \u003d 5 2 · 3 \u003d 5 6. Dovada gradului de proprietate a gradului este următorul lanț de egalități: Proprietatea considerată poate fi extinsă la o diplomă în grad, etc. De exemplu, pentru orice numere naturale P, Q, R și S. Egalitatea este corectă Rămâne să se ocupe de proprietățile comparației de grade cu un indicator natural. Să începem cu dovada proprietăților comparației zero și a gradului cu indicatorul natural. Pentru început, justificăm că un n\u003e 0 pentru orice\u003e 0 0. Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv care rezultă din definiția multiplicării. Acest fapt și proprietățile de multiplicare sugerează că rezultatul multiplicării oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Și gradul de număr A cu un indicator natural n prin definiție este un produs al multiplicatorii n, fiecare dintre care este a. Aceste argumente sugerează că, pentru orice bază pozitivă, un grad A n există un număr pozitiv. În virtutea proprietății dovedite 3 5\u003e 0, (0.00201) 2\u003e 0 și Este destul de evident că pentru orice n natural la A \u003d 0 grade A n este zero. Într-adevăr, 0 n \u003d 0 · 0 · ... · 0 \u003d 0. De exemplu, 0 3 \u003d 0 și 0 762 \u003d 0. Du-te la fundațiile negative ale gradului. Să începem cu cazul în care indicatorul de diplomă este un număr par, îl denotăm ca 2 · m, unde M este natural. Atunci În cele din urmă, când baza gradului A este un număr negativ, iar indicatorul gradului este un număr impar 2 · M-1, atunci Mergeți la proprietatea de comparație a gradelor cu aceiași indicatori naturali, care are următoarea formulare: de două grade cu aceiași indicatori naturali mai puțin, baza este mai mică, iar cea mai mare, baza este mai mare. Îi dovedim. Inegalitatea unui N. proprietățile inegalităților Inegalitatea corectă și dovedită a formei A n . Rămâne să dovedească ultima proprietate enumerată a gradelor cu indicatori naturali. Cuvânt. De două grade cu indicatori naturali și aceleași motive pozitive care sunt mai mici decât unitățile, cel mai mare este mai mic decât; Și de două grade cu indicatori naturali și aceleași baze, unități mari, mai mult decât gradul, a căror indicator este mai mare. Du-te la dovada acestei proprietăți. Noi dovedim că la m\u003e n și 0 Rămâne să dovedească a doua parte a proprietății. Dom dovedi că la m\u003e n și a\u003e 1, un m\u003e un n este adevărat. Diferența A M -A N după fabricarea unui N pentru paranteze ia forma A N · (un M-N-1). Acest produs este pozitiv, deoarece la un grad de 1 gradul este un număr pozitiv, iar diferența AM-N -1 este un număr pozitiv, deoarece Mn\u003e 0 Datorită condiției inițiale și la un grad de AM\u003e -N Mai multe unități. În consecință, un M -A N\u003e 0 și un M\u003e A N, care trebuia să demonstreze. Ilustrația acestei proprietăți servește inegalității 3 7\u003e 3 2.
. Ultima lucrare pe baza proprietăților de multiplicare poate fi rescrisă ca 
Ca fiind egală cu un N · b n.
.
.
.
. Pentru o mai mare claritate, oferim un exemplu cu numere specifice: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Pentru fiecare dintre lucrările formei A · A este egală cu produsul numerelor A și a modurilor, înseamnă că este un număr pozitiv. În consecință, lucrarea va fi pozitivă 
și gradul A 2 · m. Dăm exemple: (-6) 4\u003e 0, (-2.2) 12\u003e 0 și.
. Toate lucrările A · A sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este, de asemenea, pozitiv și multiplicarea acestuia la numărul negativ rămas A ca rezultat al unui număr negativ. În virtutea acestei proprietăți (-5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
Proprietățile gradelor cu indicatoare întregi
Deoarece întregul numere pozitive sunt numerele naturale, atunci toate proprietățile de grade cu indicatori pozitivi integrați coincid exact cu proprietățile gradelor cu indicatori naturali enumerați și dovediți în paragraful anterior.
Gradul cu un întreg indicator negativ, precum și gradul cu indicatorul zero, am determinat astfel încât toate proprietățile gradelor cu indicatori naturali să fie valide, exprimate prin egalități. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile pentru gradul zero și pentru indicatori negativi, în timp ce, desigur, bazele de grade sunt diferite de zero.
Deci, pentru orice număr valabil și diferit de numere A și B, precum și orice numere întregi M și N sunt următoarele proprietățile gradelor cu indicatoare întregi:
- a M · A n \u003d A M + N;
- a M: A n \u003d un M-N;
- (a · b) n \u003d a n · b n;
- (A: B) n \u003d A N: B N;
- (a m) n \u003d a m · n;
- dacă n este un număr pozitiv al întregului, a și b - numere pozitive și a b -N;
- dacă m și n sunt numere întregi și m\u003e n, apoi la 0
La A \u003d 0 grade A M și A N, are sens numai când M, și n numerele pozitive, adică numerele naturale. Astfel, proprietățile nou înregistrate sunt, de asemenea, valabile pentru cazurile în care A \u003d 0, iar numerele M și N sunt numere întregi pozitive.
Nu este dificil să se dovedească fiecare dintre aceste proprietăți, este suficient să se utilizeze definițiile gradului cu un număr natural și întreg, precum și proprietățile acțiunilor cu numere valide. De exemplu, demonstrăm că proprietatea gradului este efectuată atât pentru numerele pozitive întregi, cât și pentru numerele integrale. Pentru a face acest lucru, este necesar să se arate că dacă P este zero sau un număr natural și Q este zero sau un număr natural, apoi egalitate (AP) Q \u003d AP q, (A -P) Q \u003d A (-P) · Q, (AP) -Q \u003d AP · (-q) și (A -P) -Q \u003d A (-P) · (-Q). S-o facem.
Pentru pozitiv P și Q, egalitatea (A P) Q \u003d A P q este dovedită în paragraful anterior. Dacă p \u003d 0, atunci avem (a 0) q \u003d 1 q \u003d 1 și un q \u003d a 0 \u003d 1, de unde (a 0) q \u003d A 0 · q. În mod similar, dacă Q \u003d 0, apoi (A P) 0 \u003d 1 și un P · 0 \u003d A 0 \u003d 1, de unde (a P) 0 \u003d A P · 0. Dacă, și p \u003d 0 și q \u003d 0, apoi (A 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 și un 0 · 0 \u003d A 0 \u003d 1, de unde (A 0) 0 \u003d A 0 · 0.
Acum demonstrăm că (a -p) q \u003d a (-p) · q. Pentru a determina gradul cu un întreg indicator negativ, atunci 
. De către proprietatea privată în măsura în care avem 
. Deoarece 1 p \u003d 1 · 1 · ... · 1 \u003d 1 și, atunci. Ultima expresie prin definiție este gradul de tip A - (p q), care, în virtutea regulilor de multiplicare, poate fi scris ca (-p) · q.
În mod similar 
.
ȘI 
.
Prin același principiu, puteți dovedi toate celelalte proprietăți ale gradului cu un număr întreg înregistrat sub formă de egalități.
În penultima proprietăților înregistrate, merită să stați la dovada unei inegalități -N\u003e B -n, care este valabilă pentru orice întreg negativ -N și orice pozitiv A și B, pentru care condiția A este îndeplinită . Ca în condiția 0. Produsul A N · B N este, de asemenea, pozitiv ca un produs al numerelor pozitive A N și B N. Apoi, fracțiunea rezultată este pozitivă ca numerele pozitive private B N-N și A N · B N. Prin urmare, de unde a -N\u003e B -N, care trebuia să demonstreze.
Ultima proprietate a gradelor cu indicatori întregi este dovedită în același mod ca o proprietate similară a gradelor cu indicatori autentici.
Proprietățile gradelor cu indicatori raționali
Am determinat gradul cu un indicator fracționat prin răspândirea proprietăților gradului cu un număr întreg. Cu alte cuvinte, gradele cu indicatori fracționari au aceleași proprietăți ca și grade cu indicatoare întregi. Și anume:
Dovada proprietăților gradelor cu indicatoare fracționate se bazează pe determinarea gradului cu un indicator fracționat, pe și pe proprietățile gradului cu un număr întreg. Dăm dovezi.
Pentru a determina gradul cu un indicator fracționat și, atunci 
. Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. Apoi, folosind proprietatea gradului cu întregul, ajungem de unde să determinăm gradul cu un indicator fracționat pe care îl avem 
Iar indicatorul gradului obținut poate fi transformat după cum urmează :. Aceasta este dovada finalizată.
Absolut similar dovedește a doua proprietate a gradelor cu indicatori fracționari: 
Pentru principii similare, restul egalității sunt dovedite: 
Du-te la dovada următoarei proprietăți. Noi dovedim că pentru orice pozitiv A și B, a b p Scriu numărul rațional P ca m / n, unde M este un număr întreg, iar N este natural. Condiții P.<0 и p>0 În acest caz, condițiile M vor fi echivalente.<0 и m>0, respectiv. La m\u003e 0 și a
În mod similar, la m<0 имеем a m >b M, de unde, adică și un p p.
Rămâne să dovedi ultimele proprietăți enumerate. Dom dovedi că pentru numerele raționale p și Q, P\u003e Q la 0 
și 
. Și determinarea gradului cu un indicator rațional vă permite să vă deplasați la inegalități și, în consecință. De aici facem finala concluzie: pentru p\u003e Q și 0
Proprietățile gradelor cu indicatori iraționali
Din modul în care se determină gradul cu un indicator irațional, se poate concluziona că are toate proprietățile de grade cu indicatori raționali. Deci, pentru orice\u003e 0, b\u003e 0 și numerele iraționale P și Q sunt următoarele proprietățile gradelor cu indicatori iraționali:
- un p q \u003d un p + q;
- a P: A Q \u003d A P-Q;
- (a · b) p \u003d a p · b p;
- (A: B) p \u003d A P: B P;
- (A P) Q \u003d A P · Q;
- pentru orice numere pozitive A și B, a 0 Inegalitate echitabilă a P b p;
- pentru numerele iraționale P și Q, P\u003e Q la 0
De aici, putem concluziona că gradele cu orice parametri valabili P și Q la A\u003e 0 au aceleași proprietăți.
Bibliografie.
- Vilekin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Schwarzburg S.I. Matematică pentru 5 cl. Instituții educaționale generale.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Nebkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Tutorial pentru 7 CI. Instituții educaționale generale.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Nebkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Tutorial pentru 8 cl. Instituții educaționale generale.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Nebkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Tutorial pentru 9 CI. Instituții educaționale generale.
- Kolmogorov A.N., Abramov a.m., Dudnitsyn Yu.P. și colaboratori algebra și analiza inițială: un manual pentru 10 - 11 clase de instituții de învățământ general.
- Gusev V.A., Mordkovich A.g. Matematică (indemnizație pentru solicitanții la școlile tehnice).
Conceptul de grad în matematică este introdus în clasa a VII-a din sala de clasă algebră. Și în viitor, pe parcursul studiului matematicii, acest concept este utilizat în mod activ în diferite tipuri. Gradul este un subiect destul de dificil, care necesită stocarea de valori și abilități în mod corect și rapid. Pentru lucrări mai rapide și de înaltă calitate cu grade de matematică, proprietățile gradului au fost inventate. Acestea ajută la reducerea calculelor mari, convertesc un exemplu imens într-un număr în orice măsură. Proprietățile nu sunt atât de multe și toate sunt ușor de amintit și aplicate în practică. Prin urmare, articolul discută proprietățile de bază ale gradului, precum și locul în care sunt aplicate.
Proprietățile gradului
Vom examina cele 12 proprietăți ale gradului, inclusiv proprietățile gradelor cu aceleași baze, iar pentru fiecare proprietate oferim un exemplu. Fiecare dintre aceste proprietăți vă va ajuta să rezolvați sarcinile cu grade, precum și să vă salvați de la numeroase erori de calcul.
Prima proprietate.
Mulți uită adesea de această proprietate, fac greșeli, reprezentând un număr în zero grade ca zero.
Proprietatea a 2-a.
A 3-a proprietate.
Trebuie să se reamintească că această proprietate poate fi aplicată numai atunci când numerele sunt efectuate, nu funcționează cu suma! Și nu trebuie să uităm că acesta este următoarele, proprietățile se aplică numai la grade cu aceleași baze.
A 4-a proprietate.
Dacă un număr este ridicat în numitor într-o măsură negativă, atunci când scăderea gradului de numitor este luată în paranteze pentru a înlocui în mod corespunzător semnul la calcularea ulterioară.
Proprietatea funcționează numai în timpul divizării, nu se aplică la scăderea!
A 5-a proprietate.
A șasea proprietate.
Această proprietate poate fi aplicată în direcția opusă. Unitatea împărțită într-o oarecare măsură este numărul într-un grad minus.
Proprietatea a 7-a.
Această proprietate nu poate fi aplicată la sumă și diferență! Atunci când cantitatea sau diferența este ridicată, sunt utilizate formulele multiplicării abreviate și nu proprietățile de gradul.
Proprietatea a 8-a.
Proprietatea a 9-a.
Această proprietate funcționează pentru orice grad fracționat cu un numitor egal cu unul, formula va fi aceeași, doar gradul de rădăcină va varia în funcție de denominator.
De asemenea, această proprietate este adesea folosită în ordine inversă. Rădăcina oricărui grad din rândul numărului poate fi reprezentată ca număr la unitatea de grad împărțită la gradul de rădăcină. Această proprietate este foarte utilă în cazul în care rădăcina nu este extrasă.
Proprietatea a 10-a.
Această proprietate funcționează nu numai cu o rădăcină pătrată și un grad al doilea. În cazul în care gradul de rădăcină și gradul în care durează această rădăcină, ei coincid, răspunsul va fi expresia de hrănire.
A 11-a proprietate.
Această proprietate trebuie să poată vedea la timp atunci când decide să scape de ei înșiși de la computere uriașe.
A 12-a proprietate.
Fiecare dintre aceste proprietăți vă va repeta în sarcini, poate fi administrată în forma sa pură și poate necesita unele transformări și utilizarea altor formule. Prin urmare, pentru soluția corectă, numai proprietățile știu doar, trebuie să practicați și să conectați alte cunoștințe matematice.
Utilizarea gradelor și a proprietăților acestora
Ele sunt utilizate în mod activ în algebră și geometrie. Gradul de matematică au un loc separat și important. Cu ajutorul lor, ecuațiile indicative și inegalitățile sunt rezolvate, precum și gradele complică adesea ecuații și exemple legate de alte secțiuni ale matematicii. Gradul ajută la evitarea calculelor mari și lungi, gradul este mai ușor de redus și calculat. Dar pentru a lucra cu grade mari sau cu grade de numere mari, trebuie să cunoașteți nu numai proprietățile de gradul, ci să lucrați corect și cu motivele, să le descompun pentru a facilita sarcina. Pentru comoditate, valoarea numerelor ridicate într-o măsură ar trebui să fie cunoscută. Acest lucru vă va reduce timpul când rezolvați, eliminând necesitatea unei computere lungi.
Conceptul de gradul joacă un rol special în logaritms. Deoarece logaritmul, în esență, este gradul de număr.
Formulele de multiplicare abreviate este un alt exemplu de utilizare a gradelor. Acestea nu pot fi folosite de proprietățile gradelor, ele sunt dezvăluite în conformitate cu regulile speciale, dar în fiecare formulă de multiplicare abreviată este prezentă invariabil.
Aceleași grade sunt utilizate în mod activ în fizică și informatică. Toate transferurile la sistemul SI sunt fabricate folosind grade și, în viitor, proprietățile gradului sunt utilizate în rezolvarea problemelor. Informaticii sunt utilizați în mod activ grade decendente, pentru comoditatea contului și simplificarea percepției numerelor. Calculări suplimentare pentru transferurile de unități de măsură sau calcule ale sarcinilor, precum și în fizică, apar utilizând proprietățile de gradul.
Chiar și gradele sunt foarte utile în astronomie, este rareori posibilă aplicarea utilizării proprietăților gradului, dar gradul sunt utilizate în mod activ pentru a reduce înregistrarea diferitelor cantități și distanțe.
Gradele sunt folosite în viața obișnuită, în calcularea zonelor, volumelor, distanțelor.
Cu ajutorul gradelor, este scris valori foarte mari și foarte mici în orice sfere ale științei.
Ecuații indicative și inegalități
Un loc special al proprietății gradului ocupă în ecuațiile indicative și inegalitățile. Aceste sarcini sunt foarte des găsite, atât în \u200b\u200bcursul școlii, cât și în examene. Toate acestea sunt rezolvate prin utilizarea proprietăților de gradul. Necunoscutul este întotdeauna în grad, astfel încât să cunoască toate proprietățile, nu este dificil să rezolve o astfel de ecuație sau o inegalitate.
