7 Găsiți ultima cifră a numărului. Ultimul număr de numere

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila "Fișiere de lucru" din format PDF

Introducere

« Matematica ar trebui să învețe apoi

că ea este în ordine "

M. V. Lomonosov.

Aceste cuvinte dezvăluie esența matematicii subiectului, deoarece este ea, în primul rând, ne învață să gândim, argumentând, analizăm, trage concluzii, concluzii și rezumate. Matematica este una dintre elementele principale ale școlii, deoarece toate calitățile enumerate sunt necesare nu numai pentru matematică, ci și reprezentantului oricărei alte științe. Dezvoltarea acestor calități este efectuată, mai presus de toate, matematică. Există sarcini speciale care vizează formarea abilităților numite. Pregătirea pentru diferite concursuri matematice, am întâlnit o astfel de sarcină "Care va fi ultimul număr de cifre?" La prima vedere, această sarcină poate părea destul de complicată și am început să calculez ...

În timpul soluției acestei sarcini, a apărut o idee și care va fi ultima figură a oricărui număr natural în orice măsură, există o regularitate în modul în care ultima cifră a numărului natural este schimbată?

Obiective

Creați un tabel de suport "Difigs recente", pentru a găsi regularități în ele, va învăța cum să calculeze ultimele cifre de grade.

Relevanța subiectului de cercetare se datorează nevoii urgente de a căuta algoritmi rapizi pentru rezolvarea practic a sarcinilor importante, testarea abilităților contului oral.

2. Diplomă de ultimă generație

Se va afla dacă există regularitate în modul în care se schimbă ultima cifră a numărului, unde N, N este numere naturale, cu o schimbare a indicatorului N. Pentru a face acest lucru, faceți o tabelă:

Pentru claritate, vom face un tabel în care vor fi înregistrate numerele dotate cu intrările de numere naturale:

Umplerea coloanelor Avem un astfel de rezultat: al cincilea și al nouălea etc. Gradul de număr se încheie cu același număr ca primul grad al numărului; A șasea, zecime, gradul al XIV-lea, etc, termină aceeași cifră ca al doilea grad al numărului; Al șaptelea grad al numărului va încheia aceeași cifră ca al treilea grad de număr.

3. Modele de reluare

Rezultatele din tabel sunt repetate la fiecare patru coloane.

Nu vom scrie despre numerele 1 și 10, pentru că Rezultatul va fi întotdeauna 1 sau 0, respectiv.

Orice grad de numere 5 și 6 se termină în conformitate cu 5 și, respectiv, 6.

Ultimele cifre ale gradelor de numere 4 și 9 se repetă la fiecare două etape, în timpul erecției în grad, ultima cifră nu se schimbă, aceasta va fi de 4 sau 9, respectiv, când este ridicată într-un grad ciudat se va schimba 6 sau 1, respectiv.

Pătratul oricărui număr natural se poate termina 0, 1,4, 5, 6 și 9,

Numărul natural cubul poate încheia orice cifră

Folosind rezultatele obținute, să încercăm să găsim cele mai recente numere de grade la reziduul de la împărțirea indicatorului său la 4

	24: 4 \u003d 5 (reziduu 0)
	48: 4 \u003d 12 (reziduu 0)
	2016: 4 \u003d 504 (reziduu0)
	28: 4 \u003d 7 (reziduu0)

Dacă reziduul este 0 și baza este ciudată, atunci numărul se va termina cu 1 (cu excepția numerelor care se termină în figura 5), \u200b\u200bdacă baza este uniformă (cu excepția numerelor rotunde), numerele se vor termina în figura 6.

Acum vom selecta astfel de numere că atunci când se împart indicatorul pe 4 va da reziduuri 1, 2, 3

	45: 4 \u003d 11 (reziduul 1)
	37: 4 \u003d 9 (reziduul 1)
	18: 4 \u003d 4 (reziduul 2)
	102: 4 \u003d 25 (reziduul 2)
	31: 4 \u003d 7 (reziduu3)
	1199: 4 \u003d 299 (reziduu3)

Dacă reziduul este 1, atunci ultima cifră a gradului va fi egală cu ultima cifră din fundamentul gradului;

Dacă reziduul este 2, ultima cifră a gradului va fi egală cu ultima cifră în înregistrarea pătratului de bază;

Dacă reziduul este 3, atunci ultima cifră a gradului va fi egală cu ultima cifră din înregistrarea cubului de bază.

Aceasta înseamnă că găsirea ultimei cifre a gradului de număr natural cu un indicator natural, trebuie să găsiți soldul de a împărți indicatorul la 4.

Ultimul număr de grade de numere 2, 12, 22 etc. (3, 13, 23 etc.) etc. vor coincide.

4. Ultimele două cifre de grade

Vedem că cea de-a doua figură se va repeta mai devreme sau mai târziu și cum va fi cazul cu 2 și 3 ultimele cifre? Probabil, ei se vor repeta. Pentru claritate, vom face un tabel în care vor fi înregistrate două numere, ceea ce va încheia intrările de numere naturale:

Privind la masă, observăm că ultimele două cifre se repetă, doar perioada de repetare crește, în plus, în unele numere, prima nu este inclusă în perioada, deci de exemplu:

Dar pornind de la 21 de grade la 40 de ultimele două cifre vor fi repetate.

Ultimele numere de numere 3.13 și 8 vor fi, de asemenea, repetate cu o perioadă de 20, dar ultimele două cifre ale numerelor 3 și 13 nu vor coincide, nu vor coincide ultimele două cifre pentru gradele de numere 4 și 14 etc.

Ultimele numere de numere 4 și 9 vor fi repetate cu o perioadă de 10, ultimele cifre ale numărului 6 vor fi repetate cu o perioadă de 5, dar numărul 6 nu este inclus în perioada, ultimele numere ale numărului 7 vor fi repetate cu perioada - 4. Orice grad de numărul 5 (începând cu 2 - OH) și 25 va ajunge la 25, iar numărul 15 va fi finalizat într-un grad uniform la 25 și într-un moment ciudat la 75. Perioada de numere 11 va fi, de asemenea, egală cu 10, dar există o altă regularitate:

Pentru numărul 11 \u200b\u200bla gradul - numărul de zeci va fi egal cu gradul

Pentru numărul 21 - perioada este de 4, iar numărul de zeci va fi egal cu numărul obținut dacă numărul 2 înmulțit gradul

5. Concluzie

Nu este dificil să se determine ultima cifră a numărului, am reprezentat cu ușurință un algoritm, pentru ultimele două cifre ale dimensiunii numărului de un astfel de algoritm, există regulații, dar există mai puțin. Cred că masa cu trei ultimele cifre nu are sens - nu rațională.

Am petrecut o mulțime de muncă: făcute mese pentru ultimele și ultimele două cifre de grade și am concluzii interesante din punctul nostru de vedere. Rezultatele lucrărilor pot fi utilizate în clasele de cerc matematic și elective în 5-7 clase pentru dezvoltarea interesului pentru matematică în studenți, precum și pentru munca individuală cu acei studenți interesați de matematică. În plus, aceste concluzii pot fi utilizate în pregătirea pentru diverse olimpiade și concursuri. În plus, procesul în sine ne-a permis să ne asigurăm din nou capabilitățile lor.

6. Sarcini

Determinați cea mai recentă cifră în numărul de numere (răspunsul 8)

Găsiți ultima figură a numărului 2017 la gradul 4207. (Răspunsul 3)

Găsiți ultima cifră a numărului 12 ^ 39 + 13 ^ 41.

(8 + 3 \u003d 11, ultima cifră 1)

Găsiți ultima cifră a sumei din 12, 69, 469, 1995, 19951995, 1995, 19951995.

(6 + 2 + 2 + 8 + 8 \u003d 26 Ultima cifră 6)

În cartea de înregistrări Guinness, este scris că cel mai bun număr simplu este (- 1). Nu tasta asta?

(TYPO. Numărul 23021 337 se termină cu o unitate, prin urmare, ultima figură a numărului (23021 337 - 1) este egală cu 0 și, prin urmare, acest număr este împărțit la 10 și, prin urmare, compozit.)

Este numărul + pentru 10 divizibil?

(Numărul 4730 se încheie cu un număr 9 și numărul 3950 - numărul 1 înseamnă, suma lor se termină la 0 și, prin urmare, împărțită la 10.)

Găsiți ultimul număr de cifre. Grade sunt considerate de sus în jos: \u003d

Ultimele două cifre ale numerelor 7 7 formează numărul 43 (acest lucru poate fi calculat direct prin eliminarea tuturor cifrelor rezultatului, cu excepția ultimelor două). Aceasta înseamnă că numărul 7 7 este împărțit în 4 cu reziduul 3. gradele celor șapte se pot termina cu 7, 9, 3 sau 1 (în funcție de care reziduul este împărțit în 4 indicator al gradului). În cazul nostru, 43 este împărțit la 4 cu reziduul 3, înseamnă că 7 7 este împărțit în 4 cu reziduul 3 (în funcție de semnul divizibilității cu 4). Și în toate gradele de șapte, ale căror indicatori sunt împărțiți cu 4 cu reziduul 3, ultima cifră este de 3).

Găsiți 2 ultimele numere ale numărului 8 1989.

În tabelul 2 din ultimele cifre, în numerele 8, 20, (1989: 20 \u003d 99 reziduu 9, numărul 8 până la 9 grade se termină cu numerele 28, ultimele 2 numere ale numărului 8 1989-28).

La lucrările de control la repară, tânărul Chameleon se repetă în rândul lui Red -\u003e în galben -\u003e verde -\u003e albastru -\u003e purpuriu -\u003e roșu -\u003e galben -\u003e verde etc. El a repetat 2010 de ori și a început cu roșu el a devenit albastru la sfârșit, dar sa știut că a făcut o greșeală, a pus în mișcare în acel moment când trebuia să dobândească o altă culoare. Care a fost culoarea înainte de această roșeață?

(Rețineți că aici perioada de repetare a culorilor este 5. Culoarea roșie va apărea în numere care se termină 0 și 5. Deci, ar trebui să fie terminat din nou pe roșu. Prin urmare, ar trebui să fie terminat din nou pe culori roșii până în 2010. Ne uităm imediat la Ceea ce a făcut o greșeală să spunem după galben, apoi se dovedește 2005-roșu, 2006 - Galben 2007 - din nou roșu (aceasta este greșeala lui), 2008 - Galben, 2009 -Zenny, 2010 - Albastru, înainte ca roșeața eronată Chameleon a fost galben ).

Acum pe ceasul 10:00. La ce oră vor arăta după 102938475 de ore?

(La momentul perioadei de repetare este 24, atunci numărul 102938475 este împărțit în 24 \u003d 4289103,12 ... 102938475 - (4289103 * 24) \u003d 3. Deci, momentul în care ceasurile vor arăta 102938475 ore egale cu 10 + 3 \u003d 13 ore, după 102938475 Afișare 13:00).

11. Dovediți că numărul este multiplu 2.

12. Dovediți că -1 multiple 5 (la Natural N).

13. Este adevărat că 1,6 * (- 1) este un număr întreg la orice (natural) n. 14. Care este ecranul tuturor numerelor din două cifre, fiecare dintre ele se termină cu 7?

7. Literatura utilizată

1. "Toate sarcinile" Kangaroo "1994-2008- St. Petersburg, 2008.

2. "Sarcini pentru pregătirea pentru olimpiadă. Matematică 5-8 clase »Costul. N.v. Zabolotneva. - Volgograd: profesor, 2007.- 99С.

3. L. L. LICHTARNIKOV Distracție sarcini logice. (Pentru elevii elementari) Înregistrarea S. Grigorieiev - SPB: LAN, Mick, 1996.- 125С.

4. L.M.Lovokovok 1000 Probleme probleme în matematică. Carte pentru studenți Moscova: Iluminism, 1995

5. Pichurin l.f. ALGEBRA TUTORIAL Pagini: o carte pentru studenți 7-9 celule. Liceu - M.: Iluminare, 1990.-224 c.: Il.

6. Chulkov P.V. Matematică. Școala Olympiade: Manual metodologic. 5- cl. / P.V. Chulkov.- M.: Editura NC ENAS, 2007.- 88С. (Portofoliul profesorului).

7. Shuba M.Yu. Sarcini de divertisment în învățarea matematicii: o carte pentru un profesor. - A doua ed.-m.: Iluminare, 1995.-22c.

Este util să vă amintiți următoarea regulă: ultima cifră a lucrării a două numere este egală cu ultima cifră a lucrării ultimelor cifre ale factorilor. În special, ultima cifră a lucrării depinde numai de ultimele cifre ale factorilor.

a) Începem să scriem ultimele cifre ale detectelor. La fiecare pas, veți multiplica rezultatul pasului anterior cu 2 și, dacă se dovedește un număr de două cifre, ia-o ultima cifră. Obținem: 2 1 \u003d 2, 2 4 \u003d 4, 2 3 \u003d 8, 2 4 \u003d 16 → 6, 2 5 → 6 · 2 \u003d 12 → 2, 2 6 → 2 · 2 \u003d 4, 2 7 → 4 · 2 \u003d 8, 2 8 → 8 · 2 \u003d 16 → 6, etc. Rețineți că ultimele figuri alternează într-o astfel de secvență: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 ... în timp ce acesta din urmă Gradul de grad depinde de modul în care reziduul este împărțit la 4. în special, este întotdeauna atunci când cifra este împărțită la 4 fără un reziduu (ca 4, 8, 100), ultima cifră a gradului este de 6.

b) Ultima figură a numerelor 549 49 coincide cu ultimul număr de cifră 9 49. Ultimele figuri ale gradelor Nouă alternative după cum urmează: 9, 1, 9, 1, 9, 1 ... adică dacă figura este ciudată, gradul se termină la 9. Deci, numărul 9 49 și Numărul inițial 549 49 se termină la 9.

c) ultima figură din 2013 2013 coincide cu ultima cifră a numărului 3 2013. Ultimele figuri ale troicii sunt alternative: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 ... adică ultima cifră a gradului depinde de modul în care reziduul este împărțit în 4. în special, întotdeauna Atunci când indicatorul diploma este împărțită cu 4 cu reziduul 1 (ca 1, 5, 2013), ultima cifră a gradului este egală cu 3. și, prin urmare, ultima figură a numărului 2013 2013 este egală cu 3.

Cartea de înregistrări Guinness este scrisă că cel mai mare număr simplu este egal cu (23021 337 - 1). Nu tasta asta?

Decizie. Cu fiecare operație de la 10 x + y, numărul 3 x + y (aici Y este ultima cifră a numărului inițial). Diferența dintre aceste numere este de 10 x + y - (3 x + y) \u003d 7 x și înseamnă că este împărțită în 7. Deci, la fiecare pas, diviziunea numărului la 7 este păstrată (numărul inițial este evident împărtășită de 7), iar numărul în sine scade. Deoarece operația se poate face cu orice număr natural în care există mai multe cifre, mai devreme sau mai târziu obținem un număr unic, mai multe 7.

MOU "Școala secundară Sherbacul №1"

Comunitatea științifică a studenților "Căutare"

Subiect: "Ultima cifră a gradului".

Efectuat: clasa Student 7 "B"

Terentteva valentina.

Leader: Flufly T.L.

r.P. Sherbacul.

2010 - 2011 UCH. an

· Introducere

· Obiectivele muncii.

· Ultima cifră a gradului.

· Modele de reluare

· Ultimele două cifre ale gradului.

· Sarcini.

· Concluzie.

· Referințe.

Introducere

O dată, paginile cărții "Mii de probleme probleme în matematică", am văzut la prima vedere o sarcină foarte dificilă, mai precis să spun un exemplu a fost de a găsi ultima figură a sumei

11989 + 21989 + 31989 + 41989 + 51989 +…+ 19891989 .

Apoi m-am gândit, dar ar trebui să fiu un fel de modalitate rațională de calcul și apoi am început să citesc ...

Ipoteză: Este posibil să spunem ce va fi ultima cifră din orice măsură?

Obiective:

· Aflați dacă puteți construi tabelul ultimelor cifre de diferite grade.

· Găsiți modelul în ele.

· Folosind o masă pentru a practica sarcini mai ușoare și pentru a rezolva exemplul menționat mai sus și dacă se oprește mai complex.

Ultima cifră a gradului.

Dăm un studiu mic: vom afla dacă există o singură regularitate în modul în care ultima figură a numărului 2N se schimbă, unde n. - număr natural, cu o modificare a indicatorului n.. Pentru a face acest lucru, luați în considerare tabelul:

Vedem că fiecare patru pași este repetată ultima cifră. Observând acest lucru, nu este dificil să se determine ultima cifră a gradului de 2N pentru orice indicator n. .

De fapt, luați numărul 2100. Dacă am continuat tabelul, acesta ar cădea în coloană, unde sunt 24, 28, 212, ale căror indicatori sunt multipli. Deci, numărul 2100, precum și aceste grade, se termină cu un număr 6.

Luați de exemplu, 222, dacă verificați, luați în considerare pur și simplu, apoi se dovedește 4194304 - ultima cifră 4.

Acum, să încercăm să folosim tabelul, dar în tabelul 4 al numărului și indicatorul gradului 22, cu toate acestea, după ultimul număr, acest "cerc" începe din nou. Prin urmare, gradul de 22 este împărțit la 4, obținem numărul 5 și reziduul 2 care este, vom face 5 "cercuri" și vom număra mai mult 2 în față, iar al doilea număr este 4, înseamnă că tabelul lucrări.

Acum, să vedem dacă este posibil să faceți mese pentru alte numere. Nu voi descrie totul, spun doar că am reușit să fac o masă pentru toate numerele de la 1 la 10, iar apoi se va repeta, să spunem că 12 ultimele numere vor fi la fel ca în 2, și în 25 - la fel ca Și în 5.

Modele de reluare:

• Numărul numărului care este un pătrat complet se poate termina numai cu numerele 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.
• Dacă înregistrarea numărului se încheie cu un număr 0, 1, 5 sau 6, atunci construcția nu va schimba ultimele cifre în orice grad.
• Atunci când ridicați orice număr în a cincea grad, ultima sa cifră nu se va schimba.
• Dacă numărul se încheie cu un număr de 4 (sau 9), atunci când este ridicat într-un grad ciudat, ultima cifră nu se schimbă și când este ridicată într-o grad uniformă, se va schimba la 6 (sau 1, respectiv ).
• Dacă numărul se încheie cu un număr 2, 3, 7 sau 8, atunci sunt posibile patru numere diferite atunci când este ridicată.

Ultimele două cifre ale gradului.

Acum știm că ultima figură va repeta mai devreme sau mai târziu. Dar cum este cazul cu 2 ultimele cifre? Îndrăznesc să presupun că nu numai 2, ci și 3 și cifrele mai mari vor fi repetate. Ei bine, verificați-o, am observat, de asemenea, că perioadele din ultima masă au crescut pur și simplu de 5 ori, cu excepția numerelor 5 și 10 și nu am scris despre numărul 1, deoarece rezultatul va fi întotdeauna 1.

Putere
Repeta

(Cercul roșu este evidențiat)

Rețineți că, în unele numere, de exemplu, prima nu este inclusă în perioada, deoarece, de exemplu, în numărul 2, după ultimul număr 52, va fi 04 și nu 02, deci nu este inclusă în această perioadă , prin urmare, înainte de a calcula ultimele 2 cifre va trebui să scadă din gradul 1.

Din păcate, cu cea de-a doua cifre de ultimă oră nu va funcționa începând cu 1, iar ultimele 2 cifre 3 nu vor fi aceleași cu cele două figuri 13, iar tabelul pentru restul trebuie efectuat separat.

Putere
Repeta

Conform acestor tabele, se poate observa că numerele diferă și numai ultima cifră coincide.

Putere
Repeta

Putere
Repeta

Putere
Repeta

Putere
Repeta

Putere
Repeta

Putere
Repeta

Putere
Repeta

Putere
Repeta

Cred că nu există niciun punct în tabel cu cele trei cifre, pentru că vreau să găsesc căi raționale, unde nu este necesar să se calculeze foarte mult, iar în acest tabel, în numerele care anterior a existat o perioadă de 20 de numere Fii 100, așa că voi fi sunt doar după cum este necesar pentru astfel de numere ca 4, 5, 6, 7 și 9.

Sarcini.

Sarcina 1.

Găsiți 2 ultimele numere ale numărului 81989.

În tabelul 2 din ultimele cifre, în numărul 8 Perioada 20, din figura din 19800, tocmai de câte ori, perioada va trece complet și se va opri la 1989 - 1980 \u003d 9 și pe al nouălea număr și Numărul 9 este 28.

Răspuns: Ultimele 2 numere Număr 81989 - 28.

Sarcina 2.

La lucrările de control la repară, tânărul Chameleon se repetă în rândul lui Red -\u003e în galben -\u003e verde -\u003e albastru -\u003e purpuriu -\u003e roșu -\u003e galben -\u003e verde etc. El a repetat 2010 de ori și a început cu roșu el a devenit albastru la sfârșit, dar sa știut că a făcut o greșeală, a pus în mișcare în acel moment când trebuia să dobândească o altă culoare. Care a fost culoarea înainte de această roșeață?

Rețineți că aici perioada de repetare a culorilor este 5. Culoarea roșie va fi găsită în cifre care se termină la 0 și 5. Deci ar trebui să fie terminat din nou pe roșu. Prin urmare, pentru a găsi o greșeală trecând imediat la repară. Acum o vom lua pur și simplu la rândul său, schimbând culorile până în 2010. Ne uităm imediat la ceea ce a făcut o greșeală să spunem după galben, apoi se dovedește 2005-roșu, 2006 - galben 2007 - din nou roșu (aceasta este greșeala lui), 2008 - galben, 2009 - delicios, 2010 - Albastru.

Răspuns: Înainte ca roșeața eronată a chameleonului să fie galbenă.

Sarcina 3.

Acum pe ceasul 10:00. La ce oră vor arăta după 102938475 de ore?

La ceas, perioada de repetiție este de 24, atunci numărul 102938475 este împărțit în 24 \u003d 4289103,12 ... 102938475 - (4289103 * 24) \u003d 3. Deci, timpul în care ceasul va afișa 102938475 ore egal cu 10 + 3 \u003d 13 ore.

Răspuns: După 102938475, ceasul va arăta ora 13:00.

Concluzie.

Am înțeles cum să folosesc această funcție, deoarece puteți utiliza tabelele cu care este posibil să se determine nu numai 1-bine, ci 2 cifre și învățate pentru a rezolva astfel de probleme. Cred că am obținut ceea ce am vrut.

Parte principală

I. Găsirea ultimei cifre în gradul de număr natural.

După studierea subiectului "Gradul cu un indicator natural" a fost propus o astfel de sarcină: pentru a găsi ultima cifră de grade:

Am observat că, în primul caz, indicatorii de grade numere compozite, iar în al doilea caz, indicatorii de grade simplu numere. În ambele cazuri există motive par si impar. Am încercat mai întâi să depunem o diplomă sub formă de grade cu aceeași bază și aceiași indicatori, apoi am folosit proprietățile gradelor cu indicatori naturali.

De exemplu, \u003d *** sau

În primul caz, au învățat ultima cifră a gradului. Acesta este 3. și apoi a determinat cifra dorită ca ultima cifră a numărului. A primit 1. În al doilea caz, a găsit mai întâi ultima diplomă de cifre. Acesta este 1. 1 la fiecare grad -1. Ne-a plăcut mai mult. În mod similar, a găsit ultima cifră a gradelor rămase.

În cursul rezolvării unor astfel de sarcini, am înțeles că se termină (cu natural) n cu 6.

Dar a doua sarcină este destul de complicată, deoarece indicatorii de grade numere simple Și nu putem depune aceste grade sub forma lucrării de grade cu aceiași indicatori, așa cum au făcut-o înainte. Dar am găsit modalități de rezolvare.

= * * * *					sau
9	9	9	9	3	1		3
				3
		1		3		3
			3

Deci, ultima cifră a gradului este de 3.

Am decis să găsim o modalitate mai convenabilă și universală de a găsi ultima diplomă de cifre.

A decis să completeze tabelul unde primul rând scrie numere care sfârșesc înregistrările numerelor naturale. A doua linie este numerele care sfârșesc pătratele corespunzătoare, în a treia - Cuba etc.

n.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0
	1	8	7	4	5	6	3	2	9	0
	1	6	1	6	5	6	1	6	1	0
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Am completat al cincilea șir, apoi al șaselea și surprins. Se pare că al cincilea grad al numărului se încheie cu aceeași cifră ca primul grad al numărului; Și al șaselea grad al numărului se încheie cu aceeași cifră ca al doilea grad al acestui număr; A șaptea grad este că al treilea grad al acestui număr.

La surpriza noastră, rezultatele din tabel sunt repetate la fiecare patru linii.

După rezolvarea acestor exemple și umplerea mesei, am ajuns la concluzia că:

• În primul rând, pătratul numărului natural se poate încheia cu orice cifră;
• În al doilea rând, cubul numărului natural se poate termina cu orice cifră;
• În al treilea rând, al patrulea grad de număr natural poate termina unul dintre numerele: 0, 1, 5, 6;
• În al patrulea rând, a cincea oară a numerelor naturale se încheie cu același număr ca și numărul însuși;
• În al cincilea rând, dacă numele numărului natural se încheie la 1, cu 5, cu 6, atunci orice grad de acest număr se încheie în conformitate cu 1, cu 5, cu 6;
• A șasea, gradele ciudate ale numărului 4 se încheie cu un număr de 4 și chiar - digital 6.

Ne-am stabilit o astfel de sarcină Și dacă este imposibil să găsiți o modalitate de a determina ultima cifră a gradului la reziduul de a împărți indicatorul său la 4.

II. Elaborarea unui algoritm pentru găsirea ultimei cifre la reziduul de a împărți indicatorul său la 4.

Revenit la exemplul nostru.

Găsiți ultima cifră de grade :,,,;

	20: 4 \u003d 5 (reziduu 0)	1
	8: 4 \u003d 2 (reziduu 0)	6
	36: 4 \u003d 9 (reziduu 0)	6
	24: 4 \u003d 6 (reziduu 0)	1
	12: 4 \u003d 3 (reziduu 0) 5

Deci, am observat că, dacă reziduul este 0, atunci pentru toți teren ciudatCu excepția numerelor care se termină pe 5, cifra dorită egal cu 1., si pentru chiar, DIGIT dorită egal cu 6.