Обратной по отношению к производственной функции является. Производственная функция и выбор оптимального размера производства

30.09.2019

Производство не может создавать продукцию из ничего. Процесс производства связан с потреблением различных ресурсов. В число ресурсов входит все то, что необходимо для производственной деятельности, - и сырье, и энергия, и труд, и оборудование, и пространство. Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах. Мы будет исходить из допущения, что фирма производит однородный продукт, количество которого измеряется в натуральных единицах - тоннах, штуках, метрах и т. д. Зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов получила название производственной функции.

Рассмотрение понятия «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда производство обусловлено только одним фактором. В этом случае производственная функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции y=f(x).

В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция (ПФ) называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения - множество неотрицательных действительных чисел. Символ f является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск.

Пример 1. Возьмем производственную функцию f в виде f(x)=ax b , где х - величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(x) - объем выпускаемой продукции (например, число готовых к отправке холодильников). Величины а и b - параметры производственной функции f. Здесь a и b - положительные числа и число b1, вектор параметров есть двумерный вектор (a,b). Производственная функция у=ax b является типичным представителем широкого класса однофакторных ПФ.

Рис. 1.

На графике видно, что с ростом величины затрачиваемого ресурса y растет. Однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема y выпускаемой продукции. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории (хорошо подтверждаемое практикой), называемое законом убывающей эффективности (убывающей производительности или убывающей отдачи).

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип "затраты-выпуск" может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у=ax b , рассмотренная выше, может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течение года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) - имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или страна в целом - имеем макроэкономический уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

Перейдем теперь к рассмотрению производственных функций нескольких переменных.

Производственная функция нескольких переменных - это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

y=f(x)=f(x 1 ,…,х n).

В формуле у (у0) - скалярная, а х - векторная величина, x 1 ,…,х n -координаты вектора х, то есть f(x 1 ,…,х n) есть числовая функция нескольких переменных x 1 ,…,х n . В связи с этим ПФ f(x 1 ,…,х n) называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика f(x 1 ,…,х n ,а), где а - вектор параметров ПФ.

По экономическому смыслу все переменные этой функции неотрицательны, следовательно, областью определения многофакторной ПФ является множество n-мерных векторов х, все координаты x 1 ,…,х n которых неотрицательные числа.

График функции двух переменных невозможно изобразить на плоскости. Производственную функцию нескольких переменных можно представить в трехмерном декартовом пространстве, две координаты которого (x1 и x2) откладываются на горизонтальных осях и соответствуют затратам ресурсов, а третья (q) откладывается на вертикальной оси и соответствует выпуску продукта (рис. 2). Графиком производственной функции служит поверхность "холма", повышающаяся с ростом каждой из координат x1 и x2.

Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ f(x 1 ,…,х n) может связывать объем выпуска с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала. ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).

При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х 1 (=К) - объем используемого в течение года основного капитала) и живой труд (х 2 (=L) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом, строят двухфакторную ПФ Y=f(K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

ПФ y=f(x 1 ,x 2) называется статической , если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, то есть могут иметь представление в виде временных рядов: x 1 (0), x 1 (1),…, x 1 (Т); x 2 (0), x 2 (1),…, x 2 (Т); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Здесь t - номер года, t=0,1,…,Т; t= 0 - базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,…,Т.

Пример2. Для моделирования отдельного региона или страны в целом (то есть для решения задач на макроэкономическом, а также на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида y= , где а 0 , а 1 , а 2 - параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а 1 и а 2 таковы, что а 1 +а 2 =1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г.

ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу, так называемых, мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х 1 =К равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов - в отечественной терминологии), - затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

Пример3. Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: (двухфакторная) и (многофакторная). ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

этот переход имеет вид: . Вводя соответствующую замену, получим аддитивную ПФ.

Для производства конкретного продукта требуется сочетание разнообразных факторов. Несмотря на это, различные производственные функции обладают рядом общих свойств.

Для определенности ограничимся производственными функциями двух переменных. Прежде всего необходимо отметить, что такая производственная функция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, то есть при. ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

1) без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0,0,a)=0;
2) при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е. ;
3) с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;

4) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то;

5) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то;

6) при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то;
7) ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р

Производственные функции позволяют количественно проанализировать важнейшие экономические зависимости в сфере производства. Они дают возможность оценить среднюю и предельную эффективность различных ресурсов производства, эластичность выпуска по различным ресурсам, предельные нормы замещения ресурсов, эффект от масштаба производства и многое другое.

Задача 1. Пусть дана производственная функция, связывающая объем выпуска продукции предприятия с численностью рабочих, производственными фондами и объемом используемых станко-часов

Необходимо определить максимальный выпуск продукции при ограничениях

Решение. Для решения задачи составляем функцию Лагранжа

дифференцируем ее по переменным, и полученные выражения приравниваем к нулю:

Из первого и третьего уравнений следует, что, поэтому

откуда получим решение, при котором у=2. Поскольку, например, точка (0,2,0) принадлежит допустимой области и в ней у=0, то делаем вывод, что точка (1,1,1) - точка глобального максимума. Экономические выводы из полученного решения очевидны.

Так же следует отметить, что производственная функция описывает множество технически эффективных способов производства (технологий). Каждая технология характеризуется определенной комбинацией ресурсов, необходимых для получения единицы продукции. Хотя производственные функции различны для разных видов производств, все они обладают общими свойствами:

1. Существует предел увеличения объема производства, который может быть достигнут увеличением затрат одного ресурса при прочих равных условиях. Это значит, что на фирме при данном количестве станков и производственных помещений есть предел увеличения производства посредством привлечения большего количества рабочих. Прирост выпуска при увеличении численности занятых будет приближаться к нулю.
2. Существует определенная взаимодополняемость (комплементарность) факторов производства, но без сокращения объемов производства возможна и определенная взаимосвязь этих факторов. Например, эффективен труд работников, если они обеспечены всеми необходимыми орудиями труда. При отсутствии таких орудий объем может быть сокращен или увеличен при росте числа занятых. В данном случае происходит замена одного ресурса другим.
3. Способ производства А считается технически более эффективным, по сравнению со способом Б , если он предполагает использование хотя бы одного ресурса в меньшем, а всех остальных - не в большем количестве, чем способ Б. Технически неэффективные способы не используются рациональными производителями.
4. Если способ А предполагает использование одних ресурсов в большем, а других - в меньшем количестве, чем способ Б , эти способы несравнимы по технической эффективности. В этом случае оба способа считаются технически эффективными и включаются в производственную функцию. Какой из них выбирать - зависит от соотношения цен применяемых ресурсов. Этот выбор основывается на критериях экономической эффективности. Следовательно, техническая эффективность не тождественна экономической эффективности.

Техническая эффективность - это максимально возможный объем производства, достигаемый в результате использования имеющихся ресурсов. Экономическая эффективность - это производство данного объема продукции с минимальными издержками. В теории производства традиционно используются двухфакторная производственная функция, в которой объем производства, является функцией использования ресурсов труда и капитала:

Графически каждый способ производства (технология) может быть представлен точкой, характеризующей минимально необходимый набор двух факторов, нужных для производства данного объема продукции (рис. 3).

На рисунке изображены различные способы производства (технологии): Т 1 , Т 2 , Т 3 , характеризующиеся разными соотношениями в применении труда и капитала: T 1 = L 1 K 1 ; T 2 = L 2 K 2 ; T 3 = L 3 K 3 . наклон луча показывает размеры применения различных ресурсов. Чем выше угол наклона луча, тем больше затраты капитала и меньше затраты труда. Технология Т 1 более капиталоемкая, чем технология Т 2 .

Рис. 3.

Если соединить разные технологии линией, получится изображение производственной функции (линии равного выпуска), которая получила название изокванты . На рисунке показано, что объем производства Q может быть достигнут при разных комбинациях факторов производства (Т 1 ,Т 2 ,Т 3, и т.д.). Верхняя часть изокванты отражает капиталоемкие, нижняя - трудоемкие технологии.

Карта изоквант - это совокупность изоквант, отражающих максимально достижимый уровень выпускаемой продукции при любом данном наборе факторов производства. Чем дальше расположена изокванта от начала координат, тем больше объем выпуска. Изокванты могут проходить через любую точку пространства, где находятся два фактора производства. Смысл карты изоквант аналогичен смыслу карты кривых безразличия для потребителей.

Рис.4.

Изокванты обладают следующими свойствами :

1. Изокванты не пересекаются.
2. Большей удаленности изокванты от начала координат соответствует больший уровень выпускаемой продукции.
3. Изокванты - понижающиеся кривые, имеют отрицательный наклон.

Изокванты являются подобием кривых безразличия с той лишь разницей, что они отражают ситуацию не в сфере потребления, а в сфере производства.

Рассмотрим возможные карты изоквант

На рис. 5 изображены некоторые карты изоквант, характеризующие различные ситуации, возникающие при производственном потреблении двух ресурсов. Рис. 5,а соответствует абсолютному взаимозамещению ресурсов. В случае, представленном на рис. 5,б, первый ресурс может быть полностью замещен вторым: точки изоквант, расположенные на оси х2 показывают количество второго ресурса, позволяющее получить тот или иной выход продукта без использования первого ресурса. Использование первого ресурса позволяет сократить затраты второго, но полностью заменить второй ресурс первым невозможно. Рис. 5,в изображает ситуацию, в которой оба ресурса необходимы и ни один из них не может быть полностью замещен другим. Наконец, случай, представленный на рис. 5,г, характеризуется абсолютной взаимодополняемостью ресурсов.

Рис. 5. Примеры карт изоквант

Для объяснения производственной функции вводятся понятие издержки.

В самом общем виде издержки можно определить как совокупность расходов, которые несет производитель при выпуске определенного объема продукции.

Существует их классификация по временным периодам, в течение которых фирма принимает то или иное производственное решение. Чтобы изменить объем производства, фирме приходится корректировать величину и состав своих затрат. Одни затраты можно изменить довольно быстро, другие требуют для этого определенного времени.

Краткосрочный период -- это временной интервал, недостаточный для модернизации или ввода в действие новых производственных мощностей предприятия. Однако в этот период фирма может увеличить объем выпуска продукции, повысив степень интенсивности использования уже имеющихся производственных мощностей (например, нанять дополнительных рабочих, закупить большее количество сырья, увеличить коэффициент сменности обслуживания оборудования и т.п.). Отсюда следует, что в краткосрочном периоде затраты могут быть либо постоянными, либо переменными.

Постоянные издержки (TFC) представляют собой сумму затрат, которые не зависят от изменения объема производства. Постоянные издержки связаны с самим существованием фирмы и должны быть оплачены, даже если фирма ничего не производит. Они включают в себя амортизационные отчисления на здания и оборудование; налог на имущество; страховые платежи; ремонт и эксплуатационные расходы; платежи по облигациям; жалованье высшему управленческому персоналу и др.

Переменные издержки (TVC) -- это стоимость ресурсов, которые используются непосредственно для производства данного объема продукции. Элементами переменных издержек являются затраты на сырье, топливо, энергию; оплата транспортных услуг; оплата большей части трудовых ресурсов (заработная плата). В отличие от постоянных переменные издержки зависят от объема выпуска продукции. Однако следует отметить, что прирост суммы переменных издержек, связанный с увеличением объема производства на 1 единицу, не является постоянным.

В начале процесса увеличения производства переменные издержки будут какое-то время возрастать уменьшающимися темпами; и так будет продолжаться до конкретной величины объема производимой продукции. Затем переменные издержки начнут увеличиваться нарастающими темпами в расчете на каждую последующую единицу производимой продукции. Такое поведение переменных издержек обусловливается законом убывающей отдачи. Увеличение предельного продукта в течение какого-то времени будет вызывать все меньший и меньший прирост переменных ресурсов для производства каждой дополнительной единицы продукции.

А поскольку все единицы переменных ресурсов покупаются по одной и той же цене, это значит, что сумма переменных издержек будет возрастать уменьшающимися темпами. Но как только предельная производительность начнет падать в соответствии с законом убывающей отдачи, все большее и большее количество дополнительных переменных ресурсов придется использовать для производства каждой последующей единицы продукции. Сумма переменных издержек, таким образом, будет увеличиваться нарастающими темпами

Сумма постоянных и переменных издержек, связанных с производством определенного количества продукции, называется совокупными издержками (ТС). Таким образом, получаем следующее равенство:

ТС - TFС + TVC.

В заключение отметим, что производственные функции можно использовать для экстраполяции экономического эффекта производства в заданный период будущего. Как и в случае обычных эконометрических моделей, экономический прогноз начинают с оценки прогнозных значений факторов производства. При этом можно использовать наиболее подходящий в каждом отдельном случае способ экономического прогноза.

Зависимость количества производимых товаров от соответствующих факторов производства, с помощью которых она изготавливается. Рассмотрим это понятие более подробно.

Производственная функция всегда имеет конкретный вид, так как она предназначена для определенной технологии. Внедрение новых технологических разработок влечет за собой изменение или создание нового вида зависимости.

Данная функция используется для поиска оптимального (минимального) количества затрат, которые необходимы для изготовления определенного количества товаров. Для всех производственных функций, в независимости от того, какой они выражают, характерны такие общие свойства:

Рост объема производимых товаров за счет только одного фактора (ресурса) имеет конечный предел (в одном помещении может нормально работать только определенное число рабочих, поскольку количество мест ограничено площадью);

Факторы производства могут быть взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми (работники и инструменты).

В самом общем виде производственная функция выглядит так:

Q = f (K, L, M, T, N), в этой формуле

Q — объем произведенных товаров;

K — оборудование (капитал);

М — затраты на материалы и сырье;

Т — используемые технологии;

N — предпринимательские способности.

Виды производственных функций

Существует множество типов этой зависимости, которые учитывают влияние как одного, так и нескольких наиболее важных факторов. Однако наибольшую известность получили два основных вида производственной функции: двухфакторная модель вида Q = f (L; K) и функция Кобба-Дугласа.

Двухфакторная модель Q = f (L; K)

Эта модель рассматривает зависимость объема производства (Q) от (L) и капитала (L). Довольно часто для анализа этой модели используется группа изоквант. Изокванта - это такая кривая, которая соединяет все возможные точки сочетаний позволяющих выпускать конкретный объем товаров. На оси X обычно отмечают затраты труда, а на оси Y - капитала. На одном и том же графике рисуют несколько изоквант, каждая из которых соответствует определенному объему продукции при использовании конкретной технологии. В итоге получается карта изоквант с разными количествами изготавливаемых товаров. Она и будет являться производственной функцией для данного предприятия.

Для изоквант характерны следующие общие свойства:

Вогнутый и нисходящий вид изокванты связан с тем, что уменьшение использования капитала при стабильном объеме выпускаемых товаров вызывает рост затрат труда;

Вогнутая форма кривой изокванты зависит от предельно допустимой нормы технологического замещения (то количество капитала, которое может заменить 1 дополнительная единица труда).

Функция Кобба-Дугласа

Эта производственная функция, названная в честь двух американских первооткрывателей, где общий объем выпущенной продукции Y находится в зависимости от используемых в процессе производства ресурсов, например, труда L и капитала К. Ее формула:

где α и b - это константы (α>0 и b>0);

K и L - соответственно капитал и труд.

Если сумма констант α и b равна единице, то принято считать, что у такой функции присутствует постоянный производства. Если параметры К и L умножаются на какой-либо коэффициент, то Y также нужно умножить на этот же коэффициент.

Модель Кобба-Дугласа вполне можно применить для какой-либо отдельной фирмы. В этом случае α - это доля общих затрат идущая на капитал, а β - доля, идущая на труд. Модели Кобба-Дугласа также могут содержать более двух переменных. К примеру, если N - это то производственная функция приобретает вид Y=AKαLβNγ, где γ - константа (γ>0), а α + β +γ = 1.

Производственными функциями называются экономико-математические модели, связывающие переменные величины затрат с величинами выпуска. Понятия "затраты" и "выпуск" имеют отношение, как правило, к процессу производства продукции; это объясняет происхождение названия данного типа моделей. Если рассматривается экономика региона или страны в целом, то разрабатываются агрегированные производственные функции, в которых выпуском служит показатель совокупного общественного продукта. Частными случаями производственных функций являются функции выпуска (зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов), функции издержек (связь объема продукции и издержек производства), функции капитальных затрат (зависимость капитальных вложений от производственной мощности создаваемых предприятий) и др.

Широко используются мультипликативные формы представления производственных функций. В самом общем виде мультипликативная производственная функция записывается следующим образом:

Здесь коэффициент А определяет размерность величин и зависит от избранных единиц измерения затрат и выпуска. Сомножители X i представляют влияющие факторы и могут иметь различное экономическое содержание в зависимости от того, какие факторы влияют на величину выпуска Р. Степенные параметры α, β, ..., γ показывают ту долю в приросте конечного продукта, которую вносит каждый из факторов-сомножителей; они называются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса и показывают, на сколько процентов возрастает выпуск при увеличении затрат данного ресурса на один процент.

Сумма коэффициентов эластичности имеет важное значение для характеристики свойств производственной функции. Предположим, что затраты всех видов ресурсов возрастают в k раз. Тогда величина выпуска в соответствии с (7.16) составит

Следовательно, если , то при увеличении затрат в к раз выпуск возрастает также в k раз; производственная функция в этом случае является линейно однородной. При Е > 1 такое же увеличение затрат приведет к росту выпуска более чем в к раз, а при Е < 1 – менее чем в к раз (так называемый эффект масштаба).

В качестве примера мультипликативных производственных функций можно привести широко известную производственную функцию Кобба – Дугласа:

N – национальный доход;

А – коэффициент размерности;

L, К – объемы приложенного труда и основного капитала соответственно;

α и β – коэффициенты эластичности национального дохода но труду L и капиталу К.

Эта функция применялась американскими исследователями при анализе развития экономики США в 30-х годах прошлого века.

Эффективность использования ресурсов характеризуется двумя основными показателями: средняя (абсолютная ) эффективность ресурса

и предельная эффективность ресурса

Экономический смысл величины μi очевиден; в зависимости от типа ресурса она характеризует такие показатели, как производительность труда, фондоотдача и др. Величина v i показывает предельный прирост выпуска продукта при увеличении затрат i-го ресурса на "малую единицу" (на 1 руб., на 1 нормо-час и т.д.).

Множество точек n -мерного пространства факторов производства (ресурсов), удовлетворяющих условию постоянства выпуска Р (Х ) = С, называется изоквантой. Важнейшими свойствами изоквант являются следующие: изокванты не пересекаются друг с другом; большей величине выпуска соответствует более удаленная от начала координат изокванта; если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с координатными гиперплоскостями и с осями координат.

В материальном производстве большое значение приобретает понятие взаимозаменяемости ресурсов. В теории производственных функций возможности замещения ресурсов характеризуют производственную функцию с точки зрения различных комбинаций затрат ресурсов, приводящих к одному и тому же уровню выпуска продукта. Поясним это на условном примере. Пусть производство определенного количества сельхозпродукции требует 10 работников и 2 т удобрений, а при внесении в почву только 1 т удобрений потребуется уже 12 работников для получения того же урожая. Здесь 1 т удобрений (первый ресурс) заменяется трудом двух работников (второй ресурс).

Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в некоторой точке вытекают из равенства dP = 0:

Отсюда предельная норма замещения (эквивалентной заменяемости) каких-либо двух ресурсов k и l задается формулой

(7.20)

Предельная норма замещения как показатель производственной функции характеризует относительную эффективность допускающих взаимную замену факторов производства при движении вдоль изокванты. Например, для функции Кобба – Дугласа предельная норма замещения затрат труда затратами капитала, т.е. производственными фондами, имеет вид

(7.21)

Знак минус в правых частях формул (7.20) и (7.21) означает, что при фиксированном объеме производства увеличению одного из взаимозаменяемых ресурсов соответствует уменьшение другого.

Пример 7.1. Рассмотрим пример производственной функции Кобба – Дугласа, для которой известны коэффициенты эластичности выпуска по труду и капиталу: α = 0,3; β = 0,7, а также затраты труда и капитала: L = 30 тыс. чел.; К = 490 млн руб. В этих условиях предельная норма замещения производственных фондов затратами труда равна

Таким образом, в этом условном примере в тех точках двухмерного пространства (L, К ), где ресурсы труда и капитала взаимозаменяемы, уменьшение производственных фондов на 7 тыс. руб. может быть компенсировано увеличением затрат труда на 1 чел., и наоборот.

С понятием предельной нормы замещения связано понятие эластичности замещения ресурсов. Коэффициент эластичности замещения характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов k и l к относительному изменению предельной нормы замещения этих ресурсов:

Этот коэффициент показывает, на сколько процентов должно измениться отношение между взаимозаменяемыми ресурсами, чтобы предельная норма замещения этих ресурсов изменилась на 1%. Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности () не существует границ взаимозаменяемости ресурсов. При нулевой эластичности замещения () возможность замены отсутствует; в этом случае ресурсы взаимодополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определенном соотношении.

Рассмотрим в дополнение к функции Кобба – Дугласа некоторые другие производственные функции, широко используемые в качестве эконометрических моделей. Линейная производственная функция имеет вид

– оцениваемые параметры модели;

, – факторы производства, взаимозамещаемые в любых пропорциях (эластичность замещения ).

Изокванты этой производственной функции образуют семейство параллельных гиперплоскостей в неотрицательном ортанте n -мерного пространства факторов.

Во многих исследованиях применяются производственные функции с постоянной эластичностью замещения .

(7.23)

Производственная функция (7.23) является однородной функцией степени п. Все эластичности замещения ресурсов равны между собой:

вследствие этого данная функция называется функцией с постоянной эластичностью замещения (функцией CES ). Если , эластичность замещенияменьше единицы; если , величина больше единицы; при функция CES преобразуется в мультипликативную степенную производственную функцию (7.16).

Двухфакторная функция CES имеет вид

При п = 1 и р = 0 эта функция преобразуется в функцию типа функции Кобба – Дугласа (7.17).

Кроме производственных функций с постоянными коэффициентами эластичности выпуска от ресурсов и постоянной эластичностью замещения ресурсов в экономическом анализе и прогнозировании применяются и функции более общего вида. В качестве примера можно привести функцию

Эта функция отличается от функции Кобба – Дугласа множителем , где z = K/L – фондовооруженность (капиталовооруженность) труда, и в ней эластичность замещения принимает различные значения в зависимости от уровня капиталовооруженности труда. В связи с этим данная функция относится к типу производственных функций с переменной эластичностью замещения (функции VES ).

Перейдем к рассмотрению ряда вопросов практического использования производственных функций в экономи-

ческом анализе. Макроэкономические производственные функции применяются как инструмент прогнозирования объемов валовой продукции, конечного продукта и национального дохода, для анализа сравнительной эффективности факторов производства. Так, важным условием роста производства и производительности труда является увеличение фондовооруженности труда. Если для функции Кобба – Дугласа

задать условие линейной однородности , то из соотношения между производительностью труда (P/L ) и фондовооруженностью труда (K/L )

(7.24)

следует, что производительность труда растет медленнее фондовооруженности, так как . Этот вывод, как и многие другие результаты анализа на основе производственных функций, всегда справедлив для статических производственных функций, не учитывающих совершенствования технических средств труда и качественных характеристик используемых ресурсов, т.е. без учета технического прогресса. Для оценки параметров модели (7.24) ее линеаризируют путем логарифмирования:

Наряду с количественным увеличением используемых объемов ресурсов (трудовых ресурсов, производственных фондов и т.д.) важнейшим фактором роста производства служит научно-технический прогресс, заключающийся в совершенствовании технических средств и технологии, повышении квалификации работающих, улучшении организации управления производством. Статические эконометрические модели, в том числе и статические производственные функции, не учитывают фактор технического прогресса, поэтому используются динамические макроэкономические производственные функции, параметры которых определяются путем обработки временных рядов. Технический прогресс обычно отражают в производственных функциях в виде тенденции развития производства, зависящей от времени.

Например, функция Кобба – Дугласа с учетом фактора технического прогресса приобретает следующий вид:

В модели (7.25) множитель отражает тенденцию развития производства, связанную с научно-техническим прогрессом. В этом множителе t – время, а λ – темп прироста выпуска продукции благодаря техническому прогрессу. При практическом использовании модели (7.25) для оценки ее параметров проводится линеаризация путем логарифмирования, аналогично модели (7.24):

Следует особо отметить, что при построении производственных функций, как и для всех многофакторных эконометрических моделей, весьма важным моментом является правильный отбор влияющих факторов . В частности, необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности факторов и явлений автокорреляции внутри каждого из них. Этот вопрос детально описан в параграфе 7.1 данной главы. При оценке параметров производственных функций на основе статистических наблюдений, включая временные ряды, основным методом является метод наименьших квадратов.

Рассмотрим применение производственных функций для экономического анализа и прогнозирования на условном примере из области экономики труда.

Пример 7.2. Пусть объем выпуска продукции отрасли характеризуется производственной функцией типа функции Кобба – Дугласа:

Р – объем выпуска продукции (млн руб.);

Т – численность работников отрасли (тыс. чел.);

Ф – среднегодовая стоимость основных производственных фондов (млн руб.).

Допустим, параметры этой производственной функции известны и равны: а = 0,3; β = 0,7; коэффициент размерности А = = 0,6 (тыс. руб./чел.)0,3. Известна также величина среднегодовой стоимости основных производственных фондов Ф = 900 млн руб. В этих условиях требуется:

1) определить количество работников отрасли, необходимое для выпуска продукции в объеме 300 млн руб.;
2) выяснить, как изменится выпуск продукции при увеличении численности работающих па 1% и тех же объемах производственных фондов;
3) оценить взаимозаменяемость материальных и трудовых ресурсов.

Чтобы ответить на вопрос первого задания, линеаризируем эту производственную функцию путем логарифмирования по натуральному основанию;

откуда следует, что

Подставляя исходные данные, получим

Отсюда (тыс. чел.).

Рассмотрим второе задание. Так как , данная производственная функция является линейно однородной; в соответствии с этим коэффициенты аир являются коэффициентами эластичности выпуска по труду и фондам соответственно. Следовательно, увеличение числа работающих отрасли на 1% при неизменном объеме производственных фондов приведет к росту выпуска продукции на 0,3%, т.е. выпуск составит 300,9 млн руб.

Переходя к третьему заданию, рассчитаем предельную норму замещения производственных фондов трудовыми ресурсами. В соответствии с формулой (7.21)

Таким образом, при условии взаимозаменяемости ресурсов для обеспечения постоянства выпуска (т.е. при движении по изокванте) уменьшение производственных фондов отрасли на 3,08 тыс. руб. может быть возмещено увеличением трудовых ресурсов на 1 чел., и наоборот.

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО- ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

ЭКОНОМЕТРИКА

Производственные функции

(Материалы к лекции)

Подготовила доцент кафедры

Филонова Е.С. (филиал в г. Орле)

Текст лекции на тему «Производственные функции»

по дисциплине «Эконометрика»

План:

Введение

Понятие производственной функции одной переменной

Производственные функции нескольких переменных

Свойства и основные характеристики производственных функций

Примеры использования производственных функций в задачах экономического анализа, прогнозирования и планирования

Основные выводы

Тесты контроля усвоенного материала

Литература

Введение

В условиях современного общества ни один человек не может потреблять только то, что он сам производит. Для наиболее полного удовлетворения своих потребностей люди вынуждены обмениваться тем, что они производят. Без постоянного производства благ не было бы потребления. Поэтому большой интерес представляет анализ закономерностей, действующих в процессе производства благ, которые формируют в дальнейшем их предложение на рынке.

Производственный процесс - это основное и первоначальное понятие экономики. Что же понимается под производством?

Каждый знает, что производство благ и услуг на пустом месте невозможно. Для того, чтобы произвести мебель, продукты питания, одежду и другие товары, необходимо иметь соответствующие исходные материалы, оборудование, помещение, клочок земли, специалистов, которые организуют производство. Все, необходимое для организации процесса производства называют факторами производства. Традиционно к факторам производства относят капитал, труд, землю и предпринимательство.

Для организации производственного процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве. Зависимость максимального объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией .

Понятие производственной функции одной переменной

Рассмотрение понятия «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда производство обусловлено только одним фактором. В этом случае п роизводственная функция – это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции

В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция (ПФ) называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения – множество неотрицательных действительных чисел. Символ f является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск. В микроэкономической теории принято считать, что y – максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве x единиц. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ – статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Более правильной является символика

где а – вектор параметров ПФ.

Пример 1. Возьмем ПФ f в виде f(x)=ax b , где х – величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(x) – объем выпускаемой продукции (например, число готовых к отправке холодильников). Величины а и b – параметры ПФ f. Здесь a и b – положительные числа и число b1, вектор параметров есть двумерный вектор (a,b). ПФ у=ax b является типичным представителем широкого класса однофакторных ПФ.

График ПФ изображен на рисунке 1

На графике видно, что с ростом величины затрачиваемого ресурса y растет. однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема y выпускаемой продукции. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории (хорошо подтверждаемое практикой), называемое законом убывающей эффективности (убывающей производительности или убывающей отдачи).

В качестве простого примера возьмем однофакторную производственную функцию, характеризующую производство фермером какого-либо сельскохозяйственного продукта. Пусть все факторы производства, такие как величина земельных угодий, наличие у фермера сельскохозяйственной техники, посевного материала, количество труда, вложенного в производство продукта, остаются из года в год постоянными величинами. Меняется только один фактор – количество применяемых удобрений. В зависимости от этого изменяется величина получаемого продукта. Вначале, с ростом переменного фактора, она увеличивается достаточно быстро, затем рост общего продукта замедляется, а начиная с определенных объемов применяемых удобрений, величина получаемого продукта начинает убывать. Дальнейшее увеличение переменного фактора не дает увеличения продукта.

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип "затраты-выпуск" может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у=ax b , рассмотренная выше, может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течении года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) – имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или страна в целом – имеем макроэкономический уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

Точное толкование понятий затрачиваемого или используемого ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых задач, наличия исходных данных. На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах или в рублях выплаченной заработной платы; выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах или в виде своей стоимости.

На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные агрегаты, то есть суммарные величины произведений объемов затрачиваемых ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Производственные функции нескольких переменных

Перейдем теперь к рассмотрению производственных функций нескольких переменных.

Производственная функция нескольких переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

y=f(x)=f(x 1 ,…,х n). (2)

В формуле (2) у (у0) – скалярная, а х – векторная величина, x 1 ,…,х n --координаты вектора х, то есть f(x 1 ,…,х n) есть числовая функция нескольких переменных x 1 ,…,х n . В связи с этим ПФ f(x 1 ,…,х n) называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика f(x 1 ,…,х n ,а), где а – вектор параметров ПФ.

При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х 1 (=К) – объем используемого в течение года основного капитала) и живой труд (х 2 (=L) – количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом, строят двухфакторную ПФ Y=f(K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

ПФ y=f(x 1 ,x 2) называется статической , если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, то есть могут иметь представление в виде временных рядов: x 1 (0), x 1 (1),…, x 1 (Т); x 2 (0), x 2 (1),…, x 2 (Т); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Здесь t – номер года, t=0,1,…,Т; t= 0 – базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,…,Т.

Пример 2. Для моделирования отдельного региона или страны в целом (то есть для решения задач на макроэкономическом, а также на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида y=
, где а 0 , а 1 , а 2 – параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а 1 и а 2 таковы, что а 1 +а 2 =1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г.

ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу, так называемых, мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х 1 =К равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов – в отечественной терминологии),
- затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

Историческая справка

В 1927 г. Пол Дуглас, экономист по образованию, обнаружил, что если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (Y ), капитальных вложений (К) и затрат труда (L ), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к математику Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую функцию:

Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филиппом Уикстидом, как было указано Ч.Коббом и П.Дугласом в их классической работе (1929 г.), но они были первыми, кто использовал для ее построения эмпирические данные. Авторы не описывают, каким образом они на самом деле подобрали функцию, но предположительно они использовали форму регрессионного анализа, так как ссылались на «теорию наименьших квадратов».

Пример 3. Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид:
(двухфакторная) и (многофакторная). ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

этот переход имеет вид: . Вводя соответствующую замену, получим аддитивную ПФ .

Если сумма показателей степени в ПФ Кобба-Дугласа равна единице, то ее можно записать в несколько другой форме:

Дроби
называются соответственно производительностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получаем

т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД. В связи с тем, что 0 1

Отметим, что дробь называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби
называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.

ПФ называется динамической , если:

время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;

параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным временных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью лет, то экстраполяционные расчеты по такой ПФ следует проводить не более, чем на 1/3 лет вперед.

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП , где параметр р (р>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

(t=0,1,…,Т).

Эта ПФ – простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть нематериализованный в одном из факторов технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t)×K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

Пример 4. Приведем вариант ПФКД с учетом НТП

Расчет численных значений параметров такой функции проводится с помощью корреляционного и регрессионного анализа.

Выбор аналитической формы ПФ
диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами или экономических закономерностей. Оценка параметров ПФ обычно проводится методом наименьших квадратов.

Свойства и основные характеристики производственных функций

Для определенности ограничимся производственными функциями двух переменных
. Прежде всего необходимо отметить, что такая производственная функция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, то есть при. ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

Подобно линии уровня целевой функции оптимизационной задачи, для ПФ также имеет место аналогичное понятие. Линия уровня ПФ – это множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение. Иногда линии уровня называют изоквантами ПФ. Возрастание одного фактора и уменьшение другого могут происходить таким образом, что общий объем производства остается на прежнем уровне. Изокванты как раз и определяют все возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного уровня продукции.

Из рисунка 2 видно, что вдоль изокванты выпуск продукции постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

Изокванты обладают следующими свойствами :

Изокванты не пересекаются.

Большей удаленности изокванты от начала координат соответствует больший уровень выпускаемой продукции.

Изокванты - понижающиеся кривые, имеют отрицательный наклон.

Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS ) . Рассмотрим эту величину на примере двухфакторной производственной функции Q(y,x). Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора х. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS берется со знаком минус:

На рисунке 3 изображена одна из изоквант ПФ Q(y,x)

Если взять какую-либо точку на этой изокванте, например, точку А и провести к ней касательную КМ, то тангенс угла даст нам значение MRTS:

Можно отметить, что в верхней части изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что для изменения фактора х на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS будет велико. По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора х на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y. При полной заменяемости факторов изокванты из кривых преобразуются в прямые.

Один из наиболее интересных примеров использования изоквант ПФ – это исследование эффекта масштаба производства (см. свойство 7).

Что эффективнее для экономики: один крупный завод или несколько мелких предприятий? Ответ на этот вопрос не так прост. Плановая экономика отвечала на него однозначно, отдавая приоритет промышленным гигантам. С переходом к рыночной экономике началось повсеместное разукрупнение созданных ранее объединений. Где же золотая середина? Доказательный ответ на этот вопрос можно получить, исследовав эффект масштаба производства.

Представим, что на обувной фабрике руководство приняло решение значительную часть полученной прибыли направить на развитие производства с целью увеличения объемов производимой продукции. Допустим, что капитал (оборудование, станки, производственные площади) увеличен в два раза,. Численность работников увеличилась в такой же пропорции. Возникает вопрос, что произойдет в таком случае с объемом выпускаемой продукции?

Из анализа рисунка 5

следуют три варианта ответа:

Количество продукции возрастет в два раза (постоянная отдача от масштаба);

Увеличится более, чем в два раза (возрастающая отдача от масштаба);

Увеличится, но меньше, чем в два раза (убывающая отдача от масштаба).

Постоянная отдача от масштаба производства объясняется однородностью переменных факторов. При пропорциональном увеличении капитала и труда на таком производстве средняя и предельная производительность этих факторов останется неизменной. В таком случае безразлично, будет ли работать одно крупное предприятие или вместо него будет создано два мелких.

При убывающей отдаче от масштаба невыгодно создавать крупное производство. Причиной низкой эффективности в таком случае, как правило, являются дополнительные затраты, связанные с управлением подобным производством, сложности координации крупного производства.

Возрастающая отдача от масштаба, как правило, характерна, для тех производств, где возможна широкая автоматизация производственных процессов, применение поточных и конвейерных линий. Но с тенденцией возрастающей отдачи от масштаба нужно быть очень осторожным. Рано или поздно она превращается в постоянную, а затем и в убывающую отдачу от масштаба.

Остановимся на некоторых характеристиках производственных функций, наиболее важных для экономического анализа. Рассмотрим их на примере ПФ вида
.

Как уже было отмечено выше, отношение
(i=1,2) называется средней производительностью i-го ресурса или средним выпуском по i-му ресурсу. Первая частная производная ПФ
(i=1,2) называется предельной производительностью i-го ресурса или предельным выпуском по i-му ресурсу. Эту предельную величину иногда интерпретируют, используя близкое к ней отношение малых конечных величин
. Приближенно она показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат i-го ресурса возрастет на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

Например, в ПФКД для средних производительностей основного капитала у/К и труда у/L используются соответственно термины капиталоотдача и производительность труда:

Определим для этой функции предельные производительности факторов:

и
.

Таким образом, если
, то
(i=1,2), то есть предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса. Отношение предельной производительности
i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства

или приближенно

Таким образом, эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент эластичности) приближенно определяется как отношение темпов прироста у к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Сумма +=Е называется эластичностью производства. Например, для ПФКД =, и Е= .

Пример 1. Предположим, что процесс производства описывается с помощью функции выпуска

Оценим основные характеристики этой функции для способа производства, при котором К=400, а L=200.

Решение.

Предельные производительности факторов.

Для расчета этих величин определим частные производные функции по каждому из факторов:

Таким образом, предельная производительность фактора труд в четыре раза превышает аналогичную величину для фактора капитал.

Эластичность производства.

Эластичность производства определяется суммой эластичностей выпуска по каждому фактору, то есть

Предельная норма замещения ресурсов.

Выше в тексте эта величина обозначалась
и равнялась
. Таким образом, в нашем примере

то есть для замещения единицы труда в этой точке необходимы четыре единицы ресурсов капитала.

Уравнение изокванты.

Для определения формы изокванты необходимо зафиксировать значение объема выпуска (Y). Пусть, например, Y=500. Для удобства примем L функцией К, тогда уравнение изокванты примет вид

Предельная норма замещения ресурсов определяет тангенс угла наклона касательной к изокванте в соответствующей точке. Используя результаты п. 3, можно сказать, что точка касания расположена в верхней части изокваны, так как угол достаточно велик.

Пример 2. Рассмотрим функцию Кобба-Дугласа в общем виде

Предположим, что K и L удваиваются. Таким образом, новый уровень выпуска (Y) запишется следующим образом:

Определим эффект от масштаба производства в случаях, если
>1, =1 и

Если, например, =1,2, а
=2,3, то Y увеличивается больше, чем в два раза; если =1, а =2, то удвоение К и L приводит к удвоению Y; если =0,8, а =1,74, то Y увеличивается меньше, чем в два раза.

Таким образом, в примере 1 мог наблюдаться постоянный эффект от масштаба производства.

Историческая справка

В своей первой статье Ч.Кобб и П.Дуглас изначально предполагали постоянную отдачу от масштаба. Впоследствии они ослабили это допущение, предпочитая оценивать степень отдачи от масштаба производства.

Основная задача производственных функций все же – дать исходный материал для наиболее эффективных управленческих решений. Проиллюстрируем вопрос принятия оптимальных решений на основе использования производственных функций.

Пример 3. Пусть дана производственная функция, связывающая объем выпуска продукции предприятия с численностью рабочих , производственными фондами и объемом используемых станко-часов

откуда получим решение
, при котором у=2. Поскольку, например, точка (0,2,0) принадлежит допустимой области и в ней у=0, то делаем вывод, что точка (1,1,1) – точка глобального максимума. Экономические выводы из полученного решения очевидны.

В заключение отметим, что производственные функции можно использовать для экстарполяции экономического эффекта производства в заданный период будущего. Как и в случае обычных эконометрических моделей, экономический прогноз начинают с оценки прогнозных значений факторов производства. При этом можно использовать наиболее подходящий в каждом отдельном случае способ экономического прогноза.

Основные выводы

Тесты для проверки усвоенного материала

Выберите правильный ответ.

Что характеризует производственная функция?

А) общий объем использованных производственных ресурсов;

Б) наиболее эффективный способ технологической организации производства;

В) взаимосвязь затрат и максимального объема выпуска продукции;

Г) способ минимизации прибыли при условии минимизации затрат.

Какое из представленных уравнений есть уравнение производственной функции Кобба-Дугласа?

3. Что характеризует производственная функция с одним переменным фактором?

А) зависимость объема производства от цены на фактор,

Б) зависимость, при которой фактор х изменяется, а все остальные остаются постоянными,

В) зависимость, при которой все факторы изменяются, а фактор х остается постоянным,

Г) зависимость между факторами х и у.

4. Карта изоквант – это:

А) набор изоквант, показывающий выпуск продукции при определенном сочетании факторов;

Б) произвольный набор изоквант, показывающий предельную норму производительности переменных факторов;

В) комбинации линий, характеризующих предельную норму технологического замещения.

Верны или неверны утверждения?

Производственная функция отражает взаимосвязь используемых факторов производства и отношения предельных производительностей труда этих факторов.

Функция Кобба-Дугласа – это производственная функция, показывающая максимальный объем продукта при использовании труда и капитала.

Не существует предела роста произведенного продукта при одном переменном факторе производства.

Изокванта – это кривая равного продукта.

Изокванта показывает все возможные комбинации использования двух переменных факторов для получения максимального продукта.

Литература

Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.

Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.

Микроэкономика/ Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.

Мировая экономика. Варианты аудиторных работ для преподавателей. – М.: ВЗФЭИ, 2001.

Овчинников Г.П.. Микроэкономика. – Санкт-Петербург: Изд-во им. Володарского, 1997.

Политическая экономия; экономическая энциклопедия. – М.: Изд. «Сов. Энциклопедия», 1979.

Производственная функция

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Производственная функция
Рубрика (тематическая категория)	Экономика

Производственная функция - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Производственная функция" 2017, 2018.

- Факторы производства и их взаимодействие. Производственная функция

В конкретных условиях производства товаров и услуг необходимы три основополагающих фактора: рабочая сила (живой труд), капитал (затраты овеществленного труда) и природные ресурсы. Техническую зависимость между различным сочетанием количества применяемых... .

- ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ЗАКОН УБЫВАЮЩЕЙ ОТДАЧИ. ЭФФЕКТ МАСШТАБА

Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая... .

- Производственная функция. Закон убывающей отдачи.

Предприятие как хозяйствующий субъект. Организационно-правовые формы предприятий. Фирма (предприятие) – основная деловая единица рыночной экономики, которая: 1)формирует спрос на ресурсы, 2)производит и предлагает готовые товары и услуги, 3)осуществляет... .

- Производственная функция.

План. Тема 5. Теория производства. Предприятие (фирма) в рыночной экономике. Производственная функция. Экономические издержки. Издержки производства в краткосрочном периоде. Издержки производства в долгосрочном периоде. Четыре модели рынка. Чистая... .

- Производственная функция.

Технология производства и технологические ограничения. Производство – процесс использования рабочей силы и оборудования в сочетании с природными ресурсами и материалами для изготовления необходимых товаров и услуг. Факторы процесса производства... .

- Производственная функция как матрица.

Технически эффективная область производства Имеются два общих типа технического прогресса: нейтральный и ненейтральный. Нейтральный технический прогресс выражается в изменении эффективности технологии и уровня технологической отдачи на единицу масштаба... .

- Производственная функция и равновесие производителя

Фактора в процессе перехода к новым технологиям В заключение еще несколько слов о взаимосвязи предельного и среднего продукта. Предельный продукт для какой-либо точки на кривой совокупного выпуска равен тангенсу угла наклона касательной к кривой в этой точке. Для...