На данном уроке мы узнаем о таком понятии, как коэффициент. Также мы рассмотрим несколько задач, на примере которых сможем без труда находить коэффициенты различных выражений.
Это произведение: число 2 умножается на букву .
В таком произведении договорились число называть коэффициентом .
Коэффициент - это числовой множитель в произведении, где есть буква.
Например:
Поэтому коэффициент равен 4.
Поэтому коэффициент 1.
Поэтому коэффициент -1.
Поэтому коэффициент равен 5.
В математике договорились писать коэффициент в начале, поэтому:
Букв может быть несколько, но это не влияет на коэффициент. Например:
Коэффициент -17.
Коэффициент 46.
Если в произведении несколько числовых множителей, то такое выражение может быть упрощено:
Коэффициент в данном выражении - 100.
Числовой множитель в произведении, где есть хотя бы одна буква, называется коэффициентом.
Если чисел несколько, нужно их перемножить, упростить выражение и таким образом будет получен коэффициент.
В одном произведении есть только один коэффициент.
Если есть сумма, например, такая:
То у каждого слагаемого есть коэффициенты: и .
Если числа нет, то можно поставить единицу. Это и есть коэффициент.
, коэффициент 1.
Найти коэффициент: а) ; б) 
.
а) , коэффициент -50.
б) ,коэффициент .
Итак, коэффициент - это число, которое стоит в произведении с одной или несколькими переменными. Оно может быть целым или дробным, положительным или отрицательным.
При посадке картошки урожай получается в 10 раз больше, чем количество посаженной картошки. Каков будет урожай, если посадили 65 кг?
Решение
А если посажено 90 кг картошки?
А если неизвестно, сколько посажено? Как тогда решать в таком случае?
Если посадили кг, то урожай будет кг.
Итак, 10 - здесь коэффициент (назовем его урожайность), а - переменная. может принимать любые значения, а формула будет рассчитывать величину урожая.
Если урожайность другая, например 9, то формула выглядит так: .
Коэффициент в формуле изменился.
Если рассматривать разные урожайности, то формула по виду будет оставаться такой же, меняться будет только коэффициент.
Значит, можно записать общий вид всех таких формул.
Где - коэффициент; - переменная.
Это урожайность, она может быть равна, например, 10 или 9, как раньше, или другому числу.
Итак, как ответить на вопрос «какой коэффициент в записи ?»?
Если ничего не известно про эту запись, то и являются просто буквами, переменными. Коэффициент единица.
Если же известно, что это часть формулы для расчета урожая картофеля, тогда - это и есть коэффициент.
Иными словами, часто коэффициент может обозначаться буквой.
В математике, физике, других науках много формул, где одна из букв является коэффициентом.
Пример
Плотность вещества в физике обозначается буквой .
Чем больше плотность, тем больше весит один и тот же объем вещества.
Если знать объем вещества и его плотность, то найти массу легко по формуле:
Любой человек, который знаком с этой формулой, на вопрос «какой здесь коэффициент?» ответит «».
Коэффициент - это число в произведении, где есть одна или несколько переменных.
Есть договоренность писать коэффициент перед переменными.
Если числа в произведении нет, то можно поставить множитель 1, он и будет коэффициентом.
Если перед нами известная нам формула, то одна из букв вполне может быть коэффициентом.
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс - ЗШ МИФИ, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.
- Интернет портал «Uchportal.ru» ()
- Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» ()
- Интернет портал «School-assistant.ru» ()
Домашнее задание
Одним из основных статистических показателей последовательности чисел является коэффициент вариации. Для его нахождения производятся довольно сложные расчеты. Инструменты Microsoft Excel позволяют значительно облегчить их для пользователя.
Этот показатель представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому. Полученный результат выражается в процентах.
В Экселе не существует отдельно функции для вычисления этого показателя, но имеются формулы для расчета стандартного отклонения и среднего арифметического ряда чисел, а именно они используются для нахождения коэффициента вариации.
Шаг 1: расчет стандартного отклонения
Стандартное отклонение, или, как его называют по-другому, среднеквадратичное отклонение, представляет собой квадратный корень из . Для расчета стандартного отклонения используется функция СТАНДОТКЛОН . Начиная с версии Excel 2010 она разделена, в зависимости от того, по генеральной совокупности происходит вычисление или по выборке, на два отдельных варианта: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В .
Синтаксис данных функций выглядит соответствующим образом:
СТАНДОТКЛОН(Число1;Число2;…)
= СТАНДОТКЛОН.Г(Число1;Число2;…)
= СТАНДОТКЛОН.В(Число1;Число2;…)
Шаг 2: расчет среднего арифметического
Среднее арифметическое является отношением общей суммы всех значений числового ряда к их количеству. Для расчета этого показателя тоже существует отдельная функция – СРЗНАЧ . Вычислим её значение на конкретном примере.
Шаг 3: нахождение коэффициента вариации
Теперь у нас имеются все необходимые данные для того, чтобы непосредственно рассчитать сам коэффициент вариации.
Таким образом мы произвели вычисление коэффициента вариации, ссылаясь на ячейки, в которых уже были рассчитаны стандартное отклонение и среднее арифметическое. Но можно поступить и несколько по-иному, не рассчитывая отдельно данные значения.
Существует условное разграничение. Считается, что если показатель коэффициента вариации менее 33%, то совокупность чисел однородная. В обратном случае её принято характеризовать, как неоднородную.
Как видим, программа Эксель позволяет значительно упростить расчет такого сложного статистического вычисления, как поиск коэффициента вариации. К сожалению, в приложении пока не существует функции, которая высчитывала бы этот показатель в одно действие, но при помощи операторов СТАНДОТКЛОН и СРЗНАЧ эта задача очень упрощается. Таким образом, в Excel её может выполнить даже человек, который не имеет высокого уровня знаний связанных со статистическими закономерностями.
«Числовой коэффициент », или просто «коэффициент » - термин, который подразумевает под собой одно и то же математическое понятие. Усвоить, в чем смысл термина, очень просто, а найти числовой коэффициент на конкретном примере еще легче. Но для начала разберемся с официальным определением.
Что называют математическим числовым коэффициентом?
Согласно учебнику математики, если выражение состоит из одного числа и нескольких буквенных обозначений, умноженных друг на друга, то данное число и будет коэффициентом всего выражения. При этом количество букв не имеет значения - число может быть умножено на одну букву, на две или сразу на пять, оно все равно остается коэффициентом.
Например, рассмотрим следующие выражения:
- 5*a. В этом примере присутствует одно число - «5» и одна буква «а», и они перемножены друг на друга. Соответственно, число «5» будет коэффициентом всего выражения.
- 7*b*c. Здесь мы видим выражение из одного числа и сразу двух буквенных обозначений. Но поскольку перемножение между ними сохраняется, то число «7» также остается коэффициентом.
- 6*9*a*b. В данном случае мы видим два буквенных обозначения - и целых два числа. Однако ситуации это не меняет, ведь принцип перемножения по-прежнему присутствует. Чтобы узнать коэффициент, нужно просто взять произведение «6» и «9», то есть «54», и переписать выражение как 54*a*b. Число «54» будет коэффициентом выражения.
Необходимо напомнить, что последнее правило распространяется и на выражения, где числовые обозначения стоят не друг рядом с другом, а разделены буквами. Например, 2*c*4*a - мы можем смело переписывать данное выражение в виде 2*4*с*а, потому что при умножении не имеет значения, в каком порядке стоят множители. И таким образом, коэффициент по-прежнему находится легко и просто - это будет число «8».
Не стоит теряться, если в задаче предлагается найти коэффициент для буквенного выражения без чисел - например, y*z. В данном случае всегда используется число «1» - поскольку выражение из примера можно записать в виде 1*y*z. Коэффициент находится в выражениях и с положительными, и с отрицательными множителями.
В каких случаях найти коэффициент для всего выражения нельзя?
Общий коэффициент не может быть найден, если предусмотрены другие действия, помимо умножения. Например, если взять 3*с + а, то число «3» будет коэффициентом лишь для одного из слагаемых, но никак не для всего выражения.
В математических описаниях используется термин «числовой коэффициент », в частности, при работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными удобно использовать понятие числового коэффициента выражения. В этой статье мы дадим определение числового коэффициента выражения и разберем примеры его нахождения.
Навигация по странице.
Определение числового коэффициента, примеры
В учебнике Н. Я. Виленкина математика для 6 классов дается следующее определение числового коэффициента выражения .
Определение.
Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения .
К слову, числовой коэффициент часто называют просто коэффициентом.
Озвученное определение позволяет привести примеры числовых коэффициентов выражений . Для начала рассмотрим произведение числа 3 и буквы a вида 3·a . Число 3 - это числовой коэффициент этого выражения по определению. Другой пример: в произведении x·y·0,2·x·x·z единственным числовым множителем является 0,2 , она и является числовым коэффициентом этого выражения.
А теперь приведем контр пример. Число 3 не является числовым коэффициентом выражения 3·x+y , так как исходное выражение не является произведением. Зато это число 3 является числовым коэффициентом первого из слагаемых в исходном выражении.
А в произведении 5·a·2·b·3·c содержится не одно, а три числа. Для определения числового коэффициента этого выражения, его нужно преобразовать в произведение, содержащее единственный числовой множитель. Как это делается, мы разберемся в следующем пункте этой статьи, в этом заключается процесс .
Стоит отметить, что произведения одинаковых букв могут быть записаны в виде , поэтому определение числового коэффициента подходит и для выражений со степенями. Например, выражение 5·x 3 ·y·z 2 по сути является выражением вида 5·x·x·x·y·z·z , его коэффициентом по определению является число 5 .
Также нужно остановиться на числовых коэффициентах 1 и −1 . Их особенность заключается в том, что они почти никогда не записываются в явном виде. Если выражение представляет собой произведение нескольких букв (без числового множителя) и передним стоит знак плюс, или нет никакого знака, то числовым коэффициентом такого выражения считается число 1 . Если перед произведением нескольких букв стоит знак минус, то коэффициентом такого выражения считается число −1 . Например, числовой коэффициент выражения a·b равен единице (так как a·b можно записать как 1·a·b ), а числовой коэффициент выражения −x равен минус единице (так как −x тождественно равен выражению (−1)·x ).
В дальнейшем определение числового коэффициента расширяется с произведения числа и нескольких букв на произведение одного числа и нескольких буквенных выражений. Так, например, в произведении число −5
можно считать числовым коэффициентом. Аналогично, число 3
есть коэффициент выражения 3·(1+1/x)·x
, а - коэффициент выражения 
.
Нахождение числового коэффициента выражения
Когда выражение представляет собой произведение с одним числовым множителем, этот множитель и является числовым коэффициентом. Когда выражение имеет другой вид, то нахождение его числового коэффициента подразумевает предварительное выполнение некоторых тождественных преобразований , с помощью которых исходное выражение приводится к произведению с одним числовым множителем.
Пример.
Найдите числовой коэффициент выражения −4·x·(−2) .
Решение.
Сгруппируем множители , являющиеся числами, после чего выполним их умножение: −4·x·(−2)=((−4)·(−2))·x=8·x . Теперь отчетливо виден искомый коэффициент, он равен 8 .
Где x·y , x , y - средние значения выборок; σ(x), σ(y) - среднеквадратические отклонения.
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b: , где σ(x)=S(x), σ(y)=S(y) - среднеквадратические отклонения, b - коэффициент перед x в уравнении регрессии y=a+bx .
Другие варианты формул:
или 
К xy - корреляционный момент (коэффициент ковариации)
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1 (см. шкалу Чеддока). Например, при анализе тесноты линейной корреляционной связи между двумя переменными получен коэффициент парной линейной корреляции, равный –1 . Это означает, что между переменными существует точная обратная линейная зависимость.
Геометрический смысл коэффициента корреляции : r xy показывает, насколько различается наклон двух линий регрессии: y(x) и х(у) , насколько сильно различаются результаты минимизации отклонений по x и по y . Чем больше угол между линиями, то тем больше r xy .Знак коэффициента корреляции совпадает со знаком коэффициента регрессии и определяет наклон линии регрессии, т.е. общую направленность зависимости (возрастание или убывание). Абсолютная величина коэффициента корреляции определяется степенью близости точек к линии регрессии.
Свойства коэффициента корреляции
- |r xy | ≤ 1;
- если X и Y независимы, то r xy =0, обратное не всегда верно;
- если |r xy |=1, то Y=aX+b, |r xy (X,aX+b)|=1, где a и b постоянные, а ≠ 0;
- |r xy (X,Y)|=|r xy (a 1 X+b 1 , a 2 X+b 2)|, где a 1 , a 2 , b 1 , b 2 – постоянные.
Инструкция . Укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. Пример нахождения уравнения регрессии). Также автоматически создается шаблон решения в Excel . .
