Понятие о зонной теории твердых тел кратко. Зонная теория твердого тела. Закон движения, сравнивая с

05.05.2021

В рамках модели электронного газа невозможно ответить на вопрос о том, почему одни вещества являются проводниками, вторые полупроводниками, а третьи изоляторами. Следует учесть взаимодействие между атомами и атомами и электронами. Допустим, что кристаллическая решетка металла или полупроводника образована в результате сближения атомов. Валентные электроны атомов металлов существенно слабее связаны с атомными ядрами, чем подобные электроны полупроводников. При сближении атомов электроны приходят во взаимодействие. Как следствие, валентные электроны отрываются от атомов металла и становятся свободными, имеющими возможность перемещаться по всему металлу. В полупроводниках из-за более сильной связи электронов с ядрами атомов для того чтобы валентный электрон оторвать необходимо сообщить ему энергию, которую называют энергией ионизации. Для различных полупроводников энергия ионизации различна от 0,1 до 2 эВ, тогда как средняя кинетическая энергия теплового движения атома порядка 0,04 эВ. Количество атомов, энергия которых больше или равна энергии ионизации относительно не велико. Следовательно, немного свободных электронов в полупроводниках. С повышением температуры, число атомов с энергией ионизации растет, значит, повышается электрическая проводимость полупроводника.

Процесс ионизации сопровождается обратным процессом -- рекомбинацией. В состоянии равновесия среднее число актов ионизации равно, количеству актов рекомбинации.

Понятие о зонной теории

В основе квантовой теории электропроводности твердых тел лежит зонная теория, которая основывается на изучении энергетического спектра электронов. Этот спектр делится на зоны, которые разделены запрещенными промежутками. В том случае, если в верхней зоне, где присутствуют электроны, они заполняют не все квантовые состояния (в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульса), то данное вещество -- проводник. Такая зона называется зоной проводимости, вещество -- проводник электрического тока, тип его проводимости -- электронный. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропроводность большая. Электроны в зоне проводимости являются носителями заряда при прохождении электрического тока. Движение таких электронов описывается законами квантовой механики. Количество таких электронов невелико по сравнению с общим числом электронов.

Энергетические уровни

Энергетические уровни валентного электрона в одном изолированном атоме можно представить, как изображено на рис.1. По вертикали снизу вверх на рис.1 отложены: значения полной энергии электрона и отмечены минимальная энергия электронов проводимости $E_c\ $и наибольшая энергия связанных электронов $E_v.$ Возможные значения энергий электронов заполняют некоторую область или зону энергии $W\ge E_c$. Эта зона называется зоной проводимости. Энергии электронов связи образуют другую зону с $W\le E_v$. Данная зона называется зоной валентных электронов (валентной зоной). Эти зоны разделены энергетическим промежутком шириной:

Этот энергетический промежуток называется зоной запрещенных энергий. Если нет примесных атомов, и дефектов решетки, то стационарные движения электронов с энергией внутри запрещенной зоны невозможны.

Рисунок 1

Разрыв химической связи, который ведет к возникновению электрона проводимости и положительной дырки -- это электронный переход валентная зона -- зона проводимости (см. рис.1 цифра 1). Обратный процесс -- рекомбинация электрона проводимости и положительной дырки - электронный переход 2 (рис.1). При существовании атомов примеси возможно образование дискретных разрешенных уровней энергии (например, на рис.1 это уровень $E_d$). Эти уровни могут существовать не во всем объеме кристалла, а только в тех местах, где находится атомы примеси (эти уровни называют локальными). Каждый локальный уровень дает энергию электрона, когда он находится на примесном атоме. Локальные энергетические уровни делают возможными дополнительные электронные переходы. Так, ионизация донора с образованием электрона проводимости отражена на рис.1 электронным переходом 3. Обратный ему процесс захвата электрона на атом донора -- электронный переход 4 из зоны проводимости на незаполненный уровень донора.

Формирование энергетических зон

Решение задачи о движении электрона в поле периодического потенциала показывает, что существует систем зон разрешённых энергий (рис.2). Каждая зона ограничивается снизу некоторой энергией $W_{min}$ (дно зоны), а сверху имеет $W_{max}$ -- потолок зоны. Эти зоны отделены полосами запрещенных энергий. Ширина разрешенных зон увеличивается при увеличении энергии. Широкие верхние зоны могут перекрывать друг друга, так образуется единая сложная зона.

Допустим, что имеется N изолированных атомов, которые не взаимодействуют. В каждом из них энергия электронов может меняться только скачком, следовательно, характеризуется совокупностью резких, дискретных уровней энергии. В такой системе невзаимодействующих атомов вместо каждого атомного энергетического уровня существует N совпадающих уровней энергии. Сблизим атомы, до образования кристаллической решетки. Атомы начинают взаимодействовать, уровни энергии изменяются. Ранее совпадавшие N уровней энергии становятся различными. Такая система несовпадающих уровней энергии -- разрешенная зона энергий. Получается, что энергетические зоны появляются как результат расщепления дискретных уровней энергии электрона в атомах под действием атомов решетки.

Количество энергетических уровней в каждой зоне очень большое (порядка числа атомов в кристалле), энергетические уровни расположены близко. Значит, в некоторых случаях можно принять, что внутри зон энергия электрона изменяется непрерывно (как в классической теории). Но то, что количество уровней конечно, имеет принципиальное значение.

Итак, совокупность энергетических уровней, на которые расщепляется кратный уровень, называют энергетической зоной (зоной кристалла). Зона, появляющаяся в результате расщепления N- кратного вырожденного основного уровня, называется основой зоной, все остальные зоны являются зонам возбуждения.

Энергетические зоны нельзя отождествлять с пространственными зонами, областями пространства, где находится электрон. В зонной теории полагается, что электрон движется в постоянном электрическом поле, которое создается ионами и остальными электронами. Ионы имеют относительно большие массы и считаются неподвижными. Электроны учитываются суммарно. Они представляются как отрицательно заряженная жидкость, которая заполняет пространство между ионами. Роль электронов в такой модели сводится к компенсации заряд ионов. Электрическое поле модели периодично в пространстве, периодами являются пространственные периоды решетки. Задача сводится к задаче о движении одного электрона в постоянном периодическом поле. Решение такой задачи в квантовой механике ведет к зонной структуре энергетических уровней.

Пример 1

Задание: Опишите зонные структуры металлов, диэлектриков и полупроводников.

Электрические свойства тел связаны с шириной запрещенной энергетической зоны и различиями в заполнении разрешенных зон. Необходимое условие проводимости -- наличие в разрешенной зоне свободных энергетических уровней. На этот уровень поле сторонних сил может перевести электрон. Зону, которая заполнена частично или пустая называют зоной проводимости. Зона, заполненная электронами целиком, называется валентной. Металлы, диэлектрики и полупроводники различаются степенью заполнения валентной зоны электронами и шириной запретной зоны.

У металлов зона проводимости заполнена частично, имеет свободные верхние уровни. При T=0 валентные электроны заполняют попарно нижние уровни валентной зоны. Электронам, которые локализованы на верхних уровнях, достаточно сообщить энергию ${10}^{-23}-\ {10}^{-22}эВ$ для того, чтобы перевести их на более высокие уровни.
У диэлектриков первая, незаполненная зона, отделена от нижней целиком заполненной зоны широкой запрещенной зоной. Для перевода электрона в свободную зону ему требуется сообщить энергию большую или равную ширине запретной зоны. У диэлектриков ширина запрещенной зоны равна нескольким электрон вольтам. Тепловое движение не может переслать в свободную зону большое число электронов.
У кристаллических полупроводников ширина запрещенной зоны между полностью заполненной валентной зоной и первой незаполненной зоной не велика. Если ширина запретной зоны равна несколько десятых эВ, энергии теплового движения хватает для того, чтобы доставить электроны в свободную зону проводимости. При этом возможен переход электрона внутри валентной зоны на освободившиеся уровни.

Пример 2

Задание: Перечислите основные предположения зонной теории.

К основным предположениям зонной теории можно отнести:

Ионы в узлах кристаллической решетки рассматриваются как неподвижные, так как они имеют относительно большую массу. Ионы являются источниками электрического поля. Это поле действует на электроны.
Размещение положительных ионов является периодическим, так как они находятся в узлах идеальной кристаллической решетки.
Взаимодействие электронов заменяют эффективным внешним полем. Электроны взаимодействуют в соответствии с законом Кулона. Это предположение позволяет заменить многоэлектронную задачу задачей с одним электроном.

Физические основы зонной теории

Твёрдое тело представляет собой идеально периодический кристалл.
Равновесные положения узлов кристаллической решётки фиксированы, то есть ядра атомов считаются неподвижными (адиабатическое приближение). Малые колебания атомов вокруг равновесных положений, которые могут быть описаны как фононы , вводятся впоследствии как возмущение электронного энергетического спектра.
Многоэлектронная задача сводится к одноэлектронной: воздействие на данный электрон всех остальных описывается некоторым усредненным периодическим полем.

Ряд явлений, по существу многоэлектронных, таких, как ферромагнетизм , сверхпроводимость , и таких, где играют роль экситоны , не может быть последовательно рассмотрен в рамках зонной теории. Вместе с тем, при более общем подходе к построению теории твёрдого тела оказалось, что многие результаты зонной теории шире ее исходных предпосылок.

Зонная структура различных материалов

В различных веществах, а также в различных формах одного и того же вещества, энергетические зоны располагаются по-разному. По взаимному расположению этих зон вещества делят на три большие группы (см. Рисунок 1):

металлы - зона проводимости и валентная зона перекрываются, образуя одну зону, называемую зоной проводимости, таким образом, электрон может свободно перемещаться между ними, получив любую допустимо малую энергию. Таким образом, при приложении к твёрдому телу разности потенциалов , электроны смогут свободно двигаться из точки с меньшим потенциалом в точку с большим, образуя электрический ток. К проводникам относят все металлы.
полупроводники - зоны не перекрываются, и расстояние между ними составляет менее 3.5 эВ [источник? ] . Для того, чтобы перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости, требуется энергия меньшая, чем для диэлектрика, поэтому чистые (собственные , нелегированные) полупроводники слабо пропускают ток.
диэлектрики - зоны не перекрываются, и расстояние между ними составляет более 3.5 эВ . Таким образом, для того, чтобы перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости требуется значительная энергия, поэтому диэлектрики ток практически не проводят.

Зонная теория является основой современной теории твёрдых тел. Она позволила понять природу и объяснить важнейшие свойства проводников, полупроводников и диэлектриков. Величина запрещённой зоны между зонами валентности и проводимости является ключевой величиной в зонной теории, она определяет оптические и электрические свойства материала.

Поскольку одним из основных механизмов передачи электрону энергии является тепловой, то проводимость полупроводников очень сильно зависит от температуры . Также проводимость можно увеличить, создав разрёшенный энергетический уровень в запрещённой зоне путём легирования . Таким образом создаются все полупроводниковые приборы: солнечные элементы (преобразователи света в электричество), диоды , транзисторы , твердотельные лазеры и другие.

Переход электрона из валентной зоны в зону проводимости называют процессом генерации носителей заряда (отрицательного - электрона, и положительного - дырки), обратный переход - процессом рекомбинации .

Методы расчёта зонной структуры

Энергетический спектр электронов в кристалле в одноэлектронном приближении описывается уравнением Шрёдингера :

где - периодический потенциал кристалла.

Нахождение собственных функций и значений уравнения Шрёдингера по сути складывается из двух частей. Первая часть - это определение периодического потенциала, вторая сводится к решению уравнения при данном потенциале . Расчёт зонной структуры конкретных полупроводников крайне затруднен в силу целого ряда причин, и прежде всего потому, что отсутствует аналитическое выражение для . Поэтому при любых расчётах в формулах содержатся некоторые параметры, значение которых определяется на основе сравнения с экспериментальными данными. Например, ширина запрещённой зоны определяется только экспериментально.

Наиболее широко в конкретных расчетах зонной структуры используются следующие методы:

См. также

Литература

Гуртов В. А. Твердотельная электроника

Цидильковский И. М. Электроны и дырки в полупроводниках. Энергетический спектр и динамика. М.: «Наука» 1972 г.

Киреев П. С. Физика полупроводников. М.: «Высшая школа» 1975 г.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Государственный дальневосточный университет
Запрещённая зона

Смотреть что такое "Зонная теория" в других словарях:

ЗОННАЯ ТЕОРИЯ - твёрдых тел, квантовая теория энергетич. спектра эл нов в кристалле, согласно к рой этот спектр состоит из чередующихся зон (полос) разрешённых и запрещённых энергий. З. т. объясняет ряд св в и явлений в кристалле, в частности разл. хар р… … Физическая энциклопедия

ЗОННАЯ ТЕОРИЯ Современная энциклопедия

ЗОННАЯ ТЕОРИЯ - квантовая теория, объясняющая поведение электронов в твердых телах. Основной результат зонной теории: разрешенные значения энергии электронов в твердом теле образуют определенные интервалы разрешенные зоны, которые могут быть отделены друг от… … Большой Энциклопедический словарь

Зонная теория - ЗОННАЯ ТЕОРИЯ, квантовая теория, объясняющая свойства твердых тел, обусловленные электронами (электропроводность, теплопроводность металлов, оптические свойства и другие). Электроны твердого тела не могут иметь любую энергию. Значения энергии… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

зонная теория - квантовая теория, объясняющая поведение электронов в твердых телах. Основной результат зонной теории: разрешённые значения энергии электронов в твердом теле образуют определенные интервалы разрешённые зоны, которые могут быть отделены друг от… … Энциклопедический словарь

ЗОННАЯ ТЕОРИЯ - один из осн. разделов квантовой теории твёрдых тел, представляющий собой приближённую теорию движения электронов в периодич. поле кристаллической решётки. Согласно 3. т. из за сближения атомов в кристалле на расстояния порядка размеров самих… … Большой энциклопедический политехнический словарь

зонная теория - juostinė teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. band theory vok. Bandtheorie, f; Bändertheorie, f rus. зонная теория, f pranc. théorie des bandes, f … Fizikos terminų žodynas

Зонная теория - твёрдого тела, раздел квантовой механики (См. Квантовая механика), рассматривающий движение электронов в твёрдом теле. Свободные электроны могут иметь любую энергию их энергетический спектр непрерывен. Электроны, принадлежащие… … Большая советская энциклопедия

Зонная теория Адамса - Зонная система, зонная теория Адамса метод определения оптимальной экспозиции фотоплёнки и параметров проявления полученного снимка, сформулированный Анселом Адамсом и Фредом Арчером в 1939 1940 годах. Зонная система позволяет фотографам… … Википедия

зонная теория твёрдого тела - juostinė kietojo kūno teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. band theory of solids vok. Festkörper Zonentheorie, f rus. зонная теория твёрдого тела, f pranc. théorie des bandes du corps solide, f … Fizikos terminų žodynas

Зонная теория твёрдого тела – это теория валентных электронов, движущихся в периодическом потенциальном поле кристаллической решётки; она является основой современных представлений о механизмах различных физических явлений, происходящих в твёрдом теле при воздействии на него электромагнитного поля.

Отдельные атомы (таковыми можно считать атомы газов,
паров, твёрдого тела, если предположить, что расстояния между ними много больше периода кристаллической решётки) могут обладать вполне определённой энергией, или, как говорят, могут занимать определённые энергетические уровни. Такие атомы имеют дискретный энергетический спектр (пример такого спектра приведён на рисунке 1.9 слева). Часть этих энергетических уровней заполнена при невозбуждённом (нормальном) состоянии атома, на других уровнях электроны могут находиться лишь тогда, когда атом возбуждён внешним энергетическим воздействием (увеличение температуры, электрическое поле, электромагнитное или радиоактивное излучение и др.). Возбуждённый атом, как и любая система, стремится к устойчивому состоянию, т.е. к состоянию с минимальной внутренней энергией. Это приводит к излучению энергии возбуждённым атомом в момент перехода электрона на тот энергетический уровень, где энергия атома минимальна. При изменении внешнего воздействия атом может вернуться в нормальное, невозбуждённое состояние.

Рисунок 1.9. Расположение энергетических уровней: уединённого атома – слева от вертикальной пунктирной линии; твёрдого тела – справа.

При сближении отдельных атомов на расстояния характерные для кристаллической решётки происходит перекрытие внешних электронных оболочек, что существенно изменяет характер движения электронов. Теперь электроны могут без изменения энергии посредством обмена переходить от одного атома к другому т.е. перемещаться по кристаллу. Обменное взаимодействие имеет чисто квантовую природу и является следствием неразличимости электронов. Как уже указывалось при рассмотрении ионной и металлической связей, в этом случае уже нельзя говорить о принадлежности того или иного электрона конкретному атому – каждый валентный электрон принадлежит всем атомам кристаллической решётки одновременно т.е. происходит обобществление электронов.

Вследствие обменного взаимодействия энергетические уровни изолированного атома в твёрдом теле расщепляются в энергетические зоны (см. рис.1.9). Разрешённые энергетические зоны разделены запрещёнными интервалами энергии, т.е. промежутками значений энергии, которыми электрон в данном кристалле обладать не может. Ширина разрешённых энергетических зон не зависит от размеров кристалла, а определяется природой атомов, образующих твёрдое тело и симметрией кристаллической решётки. Расщепляются в зону не только нормальные (стационарные), но и возбуждённые энергетические уровни. Чем выше по энергетической шкале разрешённая зона, тем больше её ширина и тем меньше ширина запрещённой зоны.

Каждая зона состоит из множества энергетических уровней, их количество определяется числом атомов, составляющих твёрдое тело, т.е. в кристалле конечных размеров расстояние между уровнями обратно пропорционально числу атомов. В 1 см 3 кристаллического твёрдого тела содержится 10 22 – 10 23 атомов. Поскольку ширина валентной, например, зоны не превышает единиц эВ, то уровни в этой зоне отстоят друг от друга на 10 -22 – 10 -23 эВ. Следовательно, энергетическая зона характеризуется квазинепрерывным спектром и достаточно ничтожно малой энергии, чтобы вызвать переход электронов с одного уровня на другой, если там имеются свободные состояния (уровни).

В соответствии с принципом Паули на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов, поэтому число электронных состояний в зоне оказывается конечным и равным числу соответствующих атомных состояний. Конечным оказывается и число электронов, заполняющих данную энергетическую зону. Подобно энергетическим уровням изолированного атома энергетические зоны кристалла могут быть полностью заполненными, частично заполненными и свободными (пустыми). Внутренние электронные оболочки в изолированных атомах заполнены, поэтому соответствующие им зоны (нижние) также оказываются полностью заполненными.

Самую верхнюю из заполненных зон называют валентной – эта зона соответствует энергетическим уровням валентных электронов внешней оболочки изолированных атомов. Ближайшую к ней свободную, незаполненную электронами зону называют зоной проводимости . Взаимное положение этих зон определяет большинство процессов, происходящих в твёрдом теле.

Основываясь лишь на модели электронного газа невозможно объяснить тот факт, что одни вещества представляют собой проводники, вторые полупроводники, а третьи изоляторы. Стоит принимать во внимание взаимодействие между атомами и электронами. Предположим, что кристаллическая решетка металла или полупроводника сформирована как результат сближения атомов. Связь с атомными ядрами валентных электронов атомов металлов проявляет себя гораздо слабее, чем связь с подобными электронами полупроводников. При условии сближения атомов электроны приходят во взаимодействие. В результате валентные электроны разрывают свою связь с атомами металла, что делает их свободными, обладающими возможностью перемещаться по всему металлу.

Определение 1

В полупроводниках, по причине существенно более сильной связи электронов с ядрами атомов, для того, чтобы разорвать связь валентного электрона нужно сообщить ему так называемую энергию ионизации .

Для разных полупроводников величина энергии ионизации может колебаться от 0 , 1 до 2 э В, в то же время средняя кинетическая энергия теплового движения атома близка к 0 , 04 э В. Количество атомов, энергия которых выше или эквивалентна энергии ионизации, относительно невелико. Соответственно, свободных электронов в полупроводниках не много. С увеличением температуры, число атомов с энергией ионизации повышается, а это значит, что растет и электрическая проводимость полупроводника.

За процессом ионизации всегда идет сопровождение в виде обратного процесса, а именно рекомбинация. В условиях состояния равновесия среднее число актов ионизации эквивалентно количеству актов рекомбинации.

Понятие о зонной теории

Определение 2

Квантовая теория электропроводности твердых тел основывается на так называемой зонной теории твердых тел, которая заключается в изучении энергетического спектра электронов.

Определение 3

Данный спектр подразделяется на разделенные запрещенными промежутками зоны. В случае, если в верхней зоне, где определяется присутствие электронов, они не заполняют каждое из квантовых состояний (в пределах зоны может быть проведено перераспределение энергии и импульса), то данное вещество представляет собой проводник. Подобная зона носит название зоны проводимости , вещество - проводника электрического тока , тип проводимости такого вещества является электронным .

Если в зоне проводимости находится большое количество электронов и свободных квантовых состояний, то значение электропроводности велико. Электроны в условиях зоны проводимости при прохождении электрического тока определяются как носители заряда. Процесс движения подобных электронов может быть описан с помощью законов квантовой механики. Если проводить сравнение с общим количеством электронов, то число таких электронов может считаться малым.

Энергетические уровни валентного электрона в одном изолированном атоме могут быть представлены таким образом, как это проиллюстрировано на рисунке 1 . Снизу вверх по вертикали на рисунке 1 откладываются: величины полной энергии электрона, а также отмечаются минимальная энергия электронов проводимости E c с наибольшим значением энергии связанных электронов E v . Вероятные значения энергий электронов заполняют собой некоторую область или же так называемую зону энергии W ≥ E c . Такая зона представляет собой зону проводимости. Энергии электронов связи формируют другую зону с W ≤ E v . Приведенная зона носит название зоны валентных электронов или, другими словами, валентной зоны. Данные зоны разделены энергетическим промежутком с шириной, определяемой с помощью следующего выражения: E g = E c − E v .

Такой энергетический промежуток представляет собой зону запрещенных энергий. В условиях отсутствующих примесных атомов, а также дефектов решетки, стационарные движения электронов с энергией внутри запрещенной зоны не представляются возможными.

Рисунок 1

Определение 4

Процесс разрыва химической связи, который провоцирует возникновение электрона проводимости и положительной дырки, носит название электронного перехода .

Определение 5

Валентная зона - зона проводимости (смотрите рисунок 1 цифра 1).

Обратный процесс определяется как рекомбинация электрона проводимости и положительной дырки (электронный переход 2 , рисунок 1). В условиях существования атомов примеси вероятно возникновение дискретных разрешенных уровней энергии как,например, уровень E d , проиллюстрированный на рисунке 1 . Данные уровни могут существовать не во всем объеме кристалла, а лишь в местах нахождения атомов примеси (такие уровни определяются как локальные). Каждый из локальных уровней производит энергию электрона, в случае его нахождения на примесном атоме. Локальные электронные уровни дают возможность дополнительных электронных переходов. Как пример, ионизация донора с образованием электрона проводимости проиллюстрирована на рисунке 1 в виде электронного перехода 3 . Роль обратного ему процесса захвата электрона на атом донора играет электронный переход 4 из зоны проводимости на незаполненный уровень донора.

Образование энергетических зон

Из решения задачи о движении электрона в поле периодического потенциала можно сделать вывод, что имеет место система зон разрешённых энергий (рисунок 2). Каждая из зон ограничивается снизу некоторой энергией W m i n или, другими словами, дном зоны, а сверху так называемым потолком зоны W m a x . Данные зоны разделены полосами запрещенных энергий. Ширина разрешенных зон в условиях увеличения энергии возрастает. Возможно перекрытие друг друга широкими зонами, такое явление провоцирует образование единой сложной зоны. Предположим, что существует N изолированных атомов, которые никоим образом не взаимодействуют. В каждом из таких атомов энергия электронов может претерпевать изменения только в виде скачка, таким образом, она характеризуется совокупностью резких, дискретных уровней энергии. В данной системе невзаимодействующих атомов роль каждого атомного энергетического уровня играет N совпадающих уровней энергии. Сократим расстояние между атомами до формирования кристаллической решетки. Атомы начинают взаимодействовать друг с другом, а уровни энергии изменяются. Ранее совпадающие N уровней энергии начинают разниться. Подобная система несовпадающих уровней энергии носит название разрешенной зоны энергий.

Выходит, что энергетические зоны возникают в качестве результата расщепления дискретных уровней энергии электрона в атомах, вызванного действием атомов решетки. Количество энергетических уровней в каждой из зон крайне большое (порядка числа атомов в кристалле), энергетические уровни расположены довольно близко. Таким образом, в некоторых случаях можно принять, что внутри зон энергия электрона претерпевает непрерывные изменения (как это происходит в классической теории). Однако тот факт, что количество уровней конечно, имеет принципиальное значение. Совокупность энергетических уровней, на которые расщепляется кратный уровень, представляет собой так называемую энергетическую зону или, другими словами, зону кристалла. Зона,возникающая как результат расщепления N -кратного вырожденного основного уровня, носит название основной зоны, все остальные зоны определяются как зоны возбуждения.

Замечание 1

Энергетические зоны не могут быть отождествлены с пространственными зонами, областями пространства, в которых находится электрон.

В рамках зонной теории принимается тот факт, что электрон движется в постоянном электрическом поле, которое формируется ионами и остальными электронами. Ионы обладают сравнительно большими массами и считаются неподвижными. Электроны учитываются суммарно. Они определяются в виде отрицательно заряженной жидкости, которая заполняет пустующее пространство между ионами. В подобной модели роль электронов заключается в компенсации заряда ионов. Электрическое поле модели периодично в пространстве, место периодов занимают пространственные периоды решетки. Задание сводится к задаче о движении одного электрона в постоянном периодическом поле. Решение данной задачи в квантовой механике приводит к зонной структуре энергетических уровней.

Пример 1

Дайте описание зонных структур металлов, диэлектриков и полупроводников.

Решение

Электрические свойства тел зависимы от ширины запрещенной энергетической зоны и различий в заполнении разрешенных зон. Существование в разрешенной зоне свободных энергетических уровней является необходимым условием возникновения проводимости. На данный уровень поле сторонних сил может перенести электрон. Зону, которая является пустой или же заполнена лишь частично определяется как зона проводимости. В свою очередь, зона, заполненная электронами полностью, носит название валентной. Металлы, диэлектрики и полупроводники отличаются в области степени заполнения валентной зоны электронами, а также шириной запретной зоны. У металлов зона проводимости является частично заполненной и обладает свободными верхними уровнями. При условии T = 0 валентные электроны попарно заполняют нижние уровни валентной зоны. Локализованным на верхних уровнях электронам для того, чтобы перевести их на более высокие уровни достаточно подвести энергию 10 - 23 - 10 - 22 э В. У диэлектриков первая, являющаяся незаполненной зона, отделена от целиком заполненной нижней зоны с помощью широкой запрещенной зоны. Чтобы перевести электрон в свободную зону необходимо сообщить энергию большую или же эквивалентную ширине запретной зоны. Ширина запрещенной зоны диэлектриков является равной нескольким электрон вольтам. Тепловое движение не имеет возможности перевести в свободную зону большое количество электронов. У кристаллических полупроводников ширина запрещенной зоны между полностью заполненной валентной зоной и первой незаполненной зоной довольно мала. Если ширина запретной зоны эквивалентна нескольким десятым э В, энергии теплового движения хватает для того, чтобы перевести электроны в свободную зону проводимости. При этом вероятен переход электрона внутри валентной зоны на освободившиеся уровни.

Пример 2

Перечислите основные предположения зонной теории.

Решение

В качестве основных предположений зонной теории можно привести следующие:

Ионы в узлах кристаллической решетки рассматриваются как неподвижные, так как они имеют относительно большую массу.
Ионы являются источниками электрического поля. Это поле действует на электроны. Размещение положительных ионов является периодическим, так как они находятся в узлах идеальной кристаллической решетки.
Взаимодействие электронов заменяют эффективным внешним полем. Электроны взаимодействуют в соответствии с законом Кулона. Это предположение позволяет заменить многоэлектронную задачу задачей с одним электроном.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Свойства твердого тела зависят от электронной структуры и особенностей взаимодействия всех его электронов и ядер, для описания которых на основе квантово-механических представлений Ф.Вильсоном (1931 г.) была предложена зонная теория твердого тела. Несмотря на то, что зонная теория справедлива только к идеальным или почти идеальным кристаллам, она считается удобной, наглядной, хотя и несколько приблизительной моделью, описывающей свойства твердого состояния веществ.

Зонная теория — это метод молекулярных орбиталей (МО), распространенный на ансамбль частиц, соединенных в кристалле.

При образовании кристаллов из изолированных происходит перекрытие близких по энергии атомных орбиталей, и образование молекулярных орбиталей, количество которых равно общему количеству выходных атомных орбиталей, перекрываются. При росте числа взаимодействующих атомов в кристалле увеличивается число разрешенных молекулярных энергетических уровней, а энергетический порог между ними уменьшается. Благодаря этому создается непрерывная энергетическая зона, в которой переход электрона из низшего энергетического уровня на более высокий не требует больших затрат энергии.

Согласно методу МО взаимодействие атомов приводит к возникновению связующих и разрыхляющих молекулярных орбиталей, то есть атомные энергетические состояния расщепляются на молекулярные. Уже при взаимодействии двух одинаковых атомов дискретные атомные энергетические уровни превращаются в одну связующую и одну разрыхляющую орбиталь, причем связующей орбитали меньше, а энергия разрыхляющей орбитали больше, чем энергия орбиталей изолированного атома. В системе, состоящей из 1 моль атомов, каждое атомное энергетический состояние расщепляется на N A молекулярных состояний (N A = 6,02 × 10 23), поскольку образуется N A молекулярных орбиталей. Благодаря очень большому числу соседних молекулярных орбиталей, которые энергетически близки друг к другу, изменение энергии электронов на N A молекулярных орбиталях представляет собой непрерывную полосу энергетических уровней — зону.

Энергетическая зона — это совокупность большого количества очень близких по энергии дискретных энергетических уровней.

Общая ширина энергетической зоны, определяется разницей между самым низким и самым высоким уровнями, которая не зависит от количества атомов, а обусловлена равновесным расстоянием между атомами в кристалле.

Энергетические уровни, на которых содержатся валентные электроны, образуют валентную зону. Свободные энергетические уровни, расположенные энергетически выше валентной зоны (а в некоторых случаях и в ее пределах), формируют зону проводимости. В зависимости от природы атомов и типа валентная зона и зона проводимости могут перекрывать или не перекрывать друг друга. В последнем случае между ними возникает разрыв — зона запрета.

Схема расположения энергетических уровней: а) изолированного атома; б) неметаллического твердого вещества

В зависимости от типа атомных орбиталей (s, p, d, f) энергетические зоны кристалла разделяются на s-, p-, d-, f-зоны. Орбитали энергетической зоны заполняются электронами как обычные молекулярные орбитали с учетом принципа Паули и принципа минимума энергии, поэтому максимальное количество электронов в s-зоне равна 2N A , в p-зоне — 6N A , в d-зоне — 10N A и в f-зоне — 14N A .

Хотя зонная теория имеет описательный характер, она позволяет не только объяснить существование различных типов твердых тел (проводников, полупроводников, диэлектриков), но и понять оптические и магнитные свойства кристаллов. Однако важнейшее значение зонной теории заключается в том, что она позволяет регулировать многочисленные физические свойства твердых веществ и создавать на их основе новые материалы со специальными свойствами.