При записи уравнений движения связанных тел необходимо иметь в виду, что второй закон Ньютона формулируется для тела (одного) массойm . Следовательно, при описании движения связанных тел уравнение движения должно быть записано для каждого тела в отдельности, а действие тел друг на друга определяется силой реакции опоры, натяжения нити и т. д.
Задача 10. На столе находится небольшой деревянный брусок массой 290 г, к которому привязана нить, перекинутая через невесомый блок, закрепленный на краю стола. Ко второму концу нити привязан груз массой 150 г. С каким ускорением будут двигаться эти тела, если коэффициент трения дерева о стол равен 0,32?
Дано: |
Решение. |
|
На брусок (рис. 10), расположенный на столе, очевидно (см. задачу 8), действуют четыре силы: сила тяжести; сила реакции опоры; сила натяжения нити и сила трения. На груз, подвешенный на нити, перекинутой через блок, очевидно (см. задачу 7), действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. для каждого из этих тел, полагая, что их размерами в данной задаче можно пренебречь:
Координатные оси можно выбрать отдельно для каждого тела, поскольку после взятия проекций в формулах останутся только модули векторов (их длины), которые одинаковы во всех системах координат. Возьмем проекции векторов на координатные оси, добавим формулу для силы трения и получим:
Поскольку движущиеся тела связаны, то за одинаковый промежуток времени они будут проходить одинаковое расстояние. Отсюда следует, что модули ускорений, с которыми движутся эти тела, одинаковы. Силы натяжения нити, приложенные к бруску и к грузу, возникают вследствие взаимодействия этих тел и по модулю равны друг другу (более подробное объяснение равенства модулей этих сил будет приведено при изучении вращательного движения тел).
Решение системы уравнений выполним в следующем порядке: из второго уравнения выразим силу реакции опоры и подставим в третье уравнение, а получившееся при этом выражение для силы трения подставим в первое:
Сложим левые и правые части уравнений системы, при этом в правой части полученного выражения взаимно уничтожится неизвестная сила натяжения нити, а затем выразим ускорение:
;
Ответ
:
тела будут двигаться с ускорением
.
Движение под действием переменных сил
Если силы, действующие на тело, при его движении изменяются с течением времени, то ускорение, с которым движется тело, не будет оставаться постоянным.Это обстоятельство делает невозможным использование формул кинематики равноускоренного движения и требует применения дифференциального и интегрального исчисления при решении задач такого типа.
Задача
11.
Водный мотоцикл массой 160 кг (без водителя)
движется по спокойной воде. После падения
водителя на крутом вираже и автоматической
остановки двигателя скорость мотоцикла
при его дальнейшем движении по прямой
за 4,5 с уменьшилась в 10 раз. Считая силу
сопротивления движению пропорциональной
скорости (
),
найти коэффициент сопротивления.
Дано: | |
Движение вод-ного мотоцикла пос-ле остановки двигателя происходит под действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально вниз, силы Архимеда, направленной вверх, и силы сопротивления, направленной противскорости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения :
.
Выберем
ось Ox
вдоль направления движения. Тогда для
этой оси уравнение можно переписать
с учетом того, что проекции силы тяжести
и силы Архимеда на горизонтальную ось
равны нулю, а проекция силы сопротивления
:
.
Из уравнения видно, что ускорение, с которым движется водный мотоцикл, не остается постоянным с течением времени, а изменяется вместе с изменением скорости. По определению для ускорения при одномерном движении и произвольном характере зависимости ускорения от времени можно записать:
(именно поэтому в уравнении не взяты проекции скорости и ускорения).
Подставляя формулу в уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция скорости от времени:
.
Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения, полагая, что секундомер был включен в момент выключения двигателя:
.
С учетом формулы Ньютона-Лейбница и правил потенцирования, получим:
.
Если необходимо получить зависимость скорости от времени, то следует взять экспоненту от обеих частей выражения и применить к левой части основное логарифмическое тождество. В данной задаче искомую величину выразим непосредственно из формулы:
;
.
Ответ
:
коэффициент сопротивления движению
.
Урок решение задач «Движение связанных тел»
10 класс
Учитель Смирнова С.Г.
г. Саранск, МОУ «Луховский лицей»
Тип урока : Урок-практикум.
Цель урока: Привить умение применять законы Ньютона при решении комбинированных расчетных задач
Задачи урока:
Образовательные: повторить законы Ньютона, привить умение определять равнодействующую сил при движении по наклонной плоскости. При движении связанных тел.
Развивающие: развивать внимание и речь, совершенствовать навыки самостоятельной и парной работы.
Воспитательные формировать целостное представление обучающихся о мире (природе, обществе и самом себе), о роли и месте физики в системе наук.
Оборудование: компьютер учителя, мультимедийный проектор, Физика 7-11 Библиотека электронных наглядных пособий. “Кирилл и Мефодий”.
Ход урока
1. Орг.момент
2. Организация внимания учащихся
Тема нашего урока: Решение задач « Движение связанных тел»
3. Актуализация опорных знаний
Прежде чем перейти к решению задач, предлагаю проверить как вы к этому готовы.
Фронтальный опрос:
Сформулируйте законы Ньютона
Нарисуйте наклонную плоскость, покажите все силы, действующие на тело при втаскивании тела вверх
Определите проекции этих сил на выбранные вами оси координат
3. Решение задач.
З адача 1. Груз массой 1 кг, лежащий на столе, связан лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через идеальный блок, с грузом массой 0,25 кг. На первый груз действует горизонтальная постоянная сила F, равная по модулю 1 Н (см. рисунок). При этом второй груз движется с ускорением 0,8 м/с2, направленным вниз. Каков коэффициент трения скольжения первого груза по поверхности стола?
Решение.
Два груза связаны между собой нерастяжимой нитью через блок. На первый груз действует сила Н и сила трения , направленная в противоположную сторону движения груза. На второй груз действует только сила тяжести, равная Н. Равнодействующая этих тел равна силе , которая вызывает движение системы из двух грузов с ускорением . Тогда, согласно второму закону Ньютона можно записать:
где - массы первого и второго грузов соответственно. Отсюда находим силу трения:
и коэффициент трения равен
.
Ответ: 0,05.
Задача 2. Грузы массами M = 1 кг и m связаны лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, по которому нить может скользить без трения (см. рисунок). Груз массой М находится на шероховатой наклонной плоскости (угол наклона плоскости к горизонту α = 30°, коэффициент трения µ = 0,3). Чему равно максимальное значение массы m, при котором система грузов ещё не выходит из первоначального состояния покоя?
Решение.
1. Если масса m достаточно велика, но грузы ещё покоятся, то сила трения покоя, действующая на груз массой M, направлена вниз вдоль наклонной плоскости (см. рисунок).
2. Будем считать систему отсчёта, связанную с наклонной плоскостью, инерциальной. Запишем второй закон Ньютона для каждого из покоящихся тел в проекциях на оси введённой системы координат:
Учтём, что T1 = Т2 = Т (нить лёгкая, между блоком и нитью трения нет), (сила трения покоя). Тогда Т = mg, , , и мы приходим к неравенству с решением . Таким образом,
кг.
Задача 3. В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на высоту h, и отпускают. Длина свисающей части нити равна L, Какую величину должна превзойти масса грузика, чтобы брусок сдвинулся с места в момент прохождения грузиком нижней точки траектории? Масса бруска М, коэффициент трения между бруском и поверхностью µ. Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.
Брусок сдвигается с места при условии, что сила, действующая на него со стороны нити, станет больше максимальной силы трения покоя: , . Второй закон Ньютона для грузика в нижнем положении:
. (1)
Закон сохранения механической энергии:
, . (2)
Найдите ускорение груза массой $3m$ в системе, состоящей из неподвижного блока и подвижного блока. Массами блоков и трением в их осях пренебречь. Нить, переброшенная через блоки, невесома и нерастяжима. Ускорение свободного падения $g$.
Решение
Выберем систему отсчета, связанную с неподвижным блоком. Систему координат выберем так, как показано на рисунке (ось координат $Oy$ выделена красным цветом ). Это инерциальная система отсчета, так как она неподвижна по отношению к Земле. В ней выполняются законы Ньютона.
1) Нарисуем силы, действующие на тело массой $m$ (на рисунке обозначены синим цветом ): $m\vec{g_{}}$ - сила тяжести, всегда направленная вертикально вниз; $\vec{T_{}}$ - сила натяжения нити, направленная по нити от тела.
2) Нарисуем силы, действующие систему, состоящую из тела массой $3m$ и подвижного блока (на рисунке обозначены зеленым цветом ): $3m\vec{g_{}}$ - сила тяжести; $\vec{T_{}}$ - сила натяжения нити, направленная по нити от тела.
Предположим, что грузы движутся так, как показано на рисунке. Ускорение груза массой $3m$ обозначим $\vec{a_1}$, а груза массой $m$ - $\vec{a_2}$.
3) По второму закону Ньютона для тела массой $m$: $\,\vec{R_2}=m\vec{a_2}$, то есть $m\vec{g_{}}+\vec{T_{ } }=m\vec{a_2}$.
В проекции на ось $Oy$:
$T-mg=ma_2\,\, (1). $
4) По второму закону Ньютона для тела массой $3m$: $\,\vec{R_1}=3m\vec{a_1}$, то есть $3m\vec{g_{}}+2\vec{T_{ } }=3m\vec{a_1}$.
В проекции на ось $Oy$:
$2T-3mg=-3ma_1\,\, (2).$
5) Чтобы найти связь ускорений $a_1$ и $a_2$ нужно разобраться с кинематической связью тел. Подвижный блок дает выигрыш в силе в два раза. Согласно золотому правилу механики, во сколько раз выигрываем в усилии, во столько же раз проигрываем в расстоянии. Это означает, что если тело массой $3m$ опустится на расстояние $x$, то тело массой $m$ поднимется на $2x$, следовательно.
Цель урока: распространить решение прямой и обратной задачи механики на случай движения тела под действием нескольких сил и движение связанных тел.
Тип урока: комбинированный.
План урока: 1. Вступительная часть 1-2 мин.
2. Опрос 15 мин.
3. Объяснение 25 мин.
4. Задание на дом 2-3 мин.
II. Опрос фундаментальный: Движение под действием силы трения.
Задачи:
1. Чему должен быть равен минимальный коэффициент трения между шинами двух задних ведущих колес и поверхностью наклонной дороги с уклоном 30 0 , чтобы автомобиль мог двигаться по ней вверх с ускорением 0,6 м/с 2 ? Нагрузка на колеса распределена равномерно. Размерами автомобиля пренебречь.
2. Брусок массой m из состояния покоя под действием силы F, направленной вдоль горизонтального стола, начинает двигаться по его поверхности. Через время Δt 1 действие силы F прекращается и, спустя время Δt 2 после этого, брусок останавливается. Чему равна сила трения, действующая на брусок во время движения? На какое расстояние брусок переместится за все время движения?
3. Два шарика одного и того же диаметра, имеющие массы 1 кг и 2 кг, связаны между собой легкой и длинной нерастяжимой нитью. Шарика сбросили с достаточно большой высоты над Землей. Найдите натяжение нити при установившемся падении шариков.
Вопросы:
- Чем объяснить, что при буксовании колес тепловоза или автомобиля сила тяги значительно падает?
- Равно ли время подъема камня, брошенного вертикально вверх, времени его падения?
- Можно ли измерить среднюю скорость ветра, бросая с некоторой высоты легкий предмет. Например, кусочек ваты?
- Если локомотив не может сдвинуть тяжелый поезд с места, то машинист применяет следующий прием: он дает задний ход и, толкнув состав немного назад, затем дает передний ход. Объясните.
- Скрип дверных петель и пение скрипки объясняется тем, что максимальная сила трения покоя больше силы трения скольжения. Так ли это?
- Почему скорость дождевых капель не зависит от высоты туч и сильно зависит от размеров капель?
- Скорость падения капель одного ливня может различаться в 10 раз. Почему?
- Почему взлет и посадка самолета всегда производится против ветра?
- Камень брошен вертикально вверх. В каких точках траектории камень будет иметь максимальное ускорение, если сопротивление воздуха растет с увеличением скорости камня? Как будет изменяться скорость камня?
III . Объясните на примерах задач, решаемых учителем.
Задачи:
1. С каким ускорением движется брусок по наклонной плоскости с углом наклона 30 о при коэффициенте трения 0,2? При каком условии брусок будет скользить (tgα ≥ μ )? Рассмотреть оба случая: движение вверх, движение вниз.
2. Устройство, показанное на рис. 1, в котором два груза поддерживаются блоком, называется машиной Атвуда. Считая, что блок не обладает ни массой, ни трением, вычислите: а) ускорение системы; б) натяжение нити. Проверка справедливости второго закона Ньютона и измерение ускорения свободного падения с помощью машины Атвуда.